Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ш ~/ гзй — ' ( . 4) ' Подставляя полученное значение константы разделения А в уравнение (7.41) и используя преобразование (7.45), которое в настоящем случае имеет вид у(т) = и найдем квазиклассическое решение радиального уравнения. Собственные значения энергии определяются из условия квантования для радиальной компоненты г) — 2" (х) — — пзх = рх ( и, + — ) . хз 2 Отметим, что для любых несингулярных потенциалов квазиклассическое радиальное УШ имеет по крайней мере одну действительную точку поворота ! !ри любых энергиях, так как даже в л-случае центробежный потенциал отличен от нуля.
ЗАДАЧИ 1. Г!оказать, что ВКБ-решение примсниьш тем ближе к действительной точке поворота, чем больше в ней Гу(х). 2. Найти ВКБ-спектр гармонического осциллятора. 3. Найти ВКЬ-спектр частицы в потенциале Морза Н(х) =- ГГе(е' — 1) . 4. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале ГГ(х) = — Гго с!з з(х7а). 5. 1!айти ВКБ-спектр частицы в потенциале Гг(х) = не ея (рх/а), ~х( < а72. 6. Найти ВКБ-спектр частицы в потенциале за х! Н(.,) = Гтс (- — -'), *> О. х а 7. Найти ВКБ-козффициснты Гэ(Е), ЙЕ) в поле е потенциалом ГГ(х) = — х . 2 Использовать приближение Кембла. Сравнить с точным рсшениель 8.
разложив потенциал Р(х) =- ГГО .Ь (х!а) 133 Кеггзиклисстгческое прпблнлкенне до членов х', найти ВКБ-коэффициенты Р(Е), Я(Е) прн Е = (Бь используя результат задачи 7.7. Сравнить с разложением точного решения при х' « 1. 9. Найти ВКБ-коэффнциснт ИЕ) для частицы в поле Н(х) = (го аз Ьтз Рассмотреть случаи (7с > О, Га < О. По принципу построения формул связи ВКБ-приближение пригодно для решения УШ юлько с аналитическими потенциалами, Однако в ряде случаев для оценки коэффициента подбарьерного прохождения Р(Е) мохгно использовать и разрывный потенциал, так как интеграл в показателе экспоненты (7.31) нсчувстяитслсн к наличию разрывов. Для рассмотрения надбарьсрного отражения использование разрывных потенциалов недопустимо.
10. Оценить ВКБ козффиниснт прохождения Р(Е) в поле с потенциалом (рнс. 25) Цх) — — Пе (х < О), ьт(х) — -Ех (х ) О). Такой потенциал представляет интерес для описания холодной эмиссии электронов нз металла а электрическом поле напряхгснностн Е. Величина (7е соогвстстауст работе выхода. Рис. 26 Рис. 25 11. Показать, что лля радиального УШ в сферических координатах использование точной константы разделения Ас -. 1(1 + 1) и преобразования Пантера у(г) =-!пг приводят к тому жс ВКБ-решению, что и преобразование Пономарева (7.45). 12. Найти ВКБ-спектр частицы в кулоновском поле.
13. Найти ВКБ-спектр сферического осцнллятора Н(г) =- 14. Показать, что в квазиклассичсском приближении условно сушсствования связанного состояния в пояс (7(г) = —— совпадает с точным. 15. Найти условие ВКБ-квантования для уровней энергии в потенциале, имеюшем вид дяойной ямы (рис. 2б). Глава 8 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ О. Многие физические свойства веществ определяются в конечном счете кулоновскнм взаимодействием электронов и ядер. Поэтому задачи о спектрах систем заряженных частиц представляют большой интерес.
Простейшая задача о спектре частицы в кулоновском поле была рассмотрена в гл. 5. В этой главе мы рассмотрим более сложные случаи, используя приближенные методы. 1. Рассмотрим расщепление уровней атома водорода в однородном электрическом поле (э44ект Шта1жа), Пусть напряженность поля такова, что энергия расщепления мала по сравнению с разностями уровней невозмущенного спектра, но велика по сравнению с энергией спин-орбитального взаимодействия (см. гл. 10). Потенциальная энергия в атомной системе единип имеет вид (1(г) = — — + Гз. (8.1) Так как функция 11(г) инвариантна относительно вращения вокруг оси з, то проекция 1.- является интегралом движения (см. и. 3.8).
Далее, при отражении в плоскости, проходягцей через ось я, проекция 1. изменяет знак, а функция 11(г) остается неизменной. Следовательно, стационарные состояния, отличающиеся только знаком проекции момента, имеют одну и ту же энергию. Невозмущенные стационарные состояния атома водорода выроз ждены с кратностью п-. Если в качестве базиса при вычислениях по теории возмущений выбрать общие СФ операторов Но, 1з и 1,, то при заданном значении гп для отыскания первой поправки к энергии надо решить секулярное уравнение степени (и — ~гп~).
Задачу можно упростить, если в качестве базиса взять другие функции, симметрия которых соответствует симметрии ~7(г). Характер потенциального поля таков, что начало координат является выделенной точкой, а направление электрического поля— выделенным направлением. Такой симметрией обладает параболическая система координат, если фокус семейства параболоидов вращения поместить в начало координат, а ось вращения направить вдоль оси з. В этом случае к = ° 'щагов), у =;/ы~в1п, з = — (х — 0) .
(8.2) 1 2 Такая система координат ортогональна. Квадрат длины дуги 115 Эгекгггри геекое погге определяется выражением Йе = — ггх + — е(г) + гяггЗ 4х 4ч а элемент объема гг = +ч ггхг(ггд3. 4 Уравнение Шредингера имеет вид 2 Р— у + — (х — г1) у = Еу. (8.3) хаЧ 2 разделим переменные, полагая у = иг (х) ия (г1)— (8.4) гг' 2р Тогда уравнения для функций иг и из примут вид х,' + — '+ — — ' — — х — — хз+ 1г иг = — О, (8.5) Д иг лгг г тг (К~ Г дх йх 1 4х 2 2 + ~ггг+ ш ~~~ + ~ 2+12 и =О.
(8.6) Константы разделения 14 и 12 удовлетворяют условию 11 + 12 = 1. (8.7) Мы будем искать поправки к энергии в первом приближении. Положим в уравнениях (8.5), (8.6) Г = О и найдем невозмущенные ВФ в параболических координатах. Число поверхностей, на которых ВФ обращается в нуль ', зависит от значения Е (Е = — 1гг2п2), а не от вида системы координат. Если обозначить чеРез пг и и г число нУлей фУнкций иг и пя, то пг + п2 + ~т ~ + 1 = п. (8.
8) Числа пг и пя называются нораоолическиии кеонлговылги числгьии. Так как оператор Х= — "+ — ' (8.9) ггег эрмитов на полупрямой (О, ос), то решения уравнений (8.5) и (8.6), соответствующие различным значениям ггг и п2, ортогональны. При пг ~ п'г 136 Е(иви 8 Из ортогональности функпий иы и2 и из условия ( ( п, +па — — п1+ па следует, что недиагональные матричные элементы оператора возму- щения равны нулю: (п1, п~з, 7п(Гс(п1, плп гп)— „( ( „, (((Р 8) (8( „,(8(à — *=8. (848( Следовательно, при нахождении поправки Е(1) отпадает необходимость решать секулярное уравнение: найденные ВФ в параболических координатах являются правильными в смысле п.
6.4. Найдем поправки к значениям энергии уровней атома водорода: (() Г ) и„, (х) и,',.„(8() (х2 — Ч ) Йх817( 2 (в„', (х) в2, (Ч) (х+ ц) 4 8)п (8.13) где =ч, 2 х 11 и' (8. 14) уравнения (8.5), (8.6) можно привести к виду (5.15): 2 1 '8 П 4 47" ,/ Полагая функпии Л; нормированными условием 4 Лзгз дг, = 1, мы представим выражение для поправки к уровням в виде — 1 — 1 Е = — 78' (8. 16) х,'+х,,' Из полученных в гл. 5 результатов (см. (5.5) и задачи 5.3 и 5.5) следует: (8.15) (8 )+1 (7(8(+1 1(п.
= 787 + 12п = пз + 2 2 (8.17) г( = — '(81(7( (8.18) 1 в,п (8.19) Подстановками и1 (х) = Л1 (71) 17771, из (7)) = Лз (гз) з/7228 (8.13) Элекигрггчеекое иоле 137 Подставляя эти формулы в выражение 18.16), получаем Е = — Еп(пг — пз) . ,11) 3 18.20) 2 Итак, в первом порядке теории возмущений 1в линейнол4 по полю приближении) уровень энергии с главным квантовым числом и расщепляется на 2п — 1 компонент. Расстояние между крайними компонентамн ЬЕ =- ЗЕп)гг — 1). Поскольку кратность вырождения невозмущенного уровня равна пз, то линейный эффект Штарка снимает вырождение не полностью. ВФ, определяемые параболическими квантовыми числами пг, пан пг, несимметричны по отношению к плоскости л = О.
При п,г > пз большая часть плотностивероятности электрона расположена в области положительных значений ж В стационарном состоянии с квантовыми числами пг, пз, т средний дипольный момент атома водорода равен 18.22) 18.24) 3 д — л 1П1 П2) 2 2. При пг =- пз линейный эффект Штарка отсутствует. Вычислим поправку к энергии во втором приближении 1квадратичный по полю эффект Штарка), ограничившись случаем основного состояния 1гг =- 1). Из теории возмущений Гэлея — Шредингера следует, что поправка первого порядка к ВФ у, должна удовлетворять уравнению 11) (- — — Ь вЂ” — + ) у =- — Гг — ' 1 1 1 1 1И е 18.21) 2 г 2-1е ггр Решение этого уравнения имеет вид у) ) Ея(, 1) 2 ггр Поправка к энергии второго порядка выражается через поправку к ВФ первого порядка соотношением Е12) у(1)Елу)о) 11г 18.23) Вычисление интеграла приводит к результату ,)2) 9 2 4 Как всегда, поправка второго порядка к энергии основного состояния отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
