Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Во втором порядке теории возмущений энергия взаимодействия имеет вид ь = (О О О~(7~О О О) + у '" " "~10 0 0" . (8. 7) Е о тк Еьо -1- Е,о — Е, — Ед„— Е,| Индекс О соответствует основному состоянию. Первый член в (8.47) описывает энергию классического взаилюдействия гиультиполей и в нашем случае равен нулю.
Во втором члене все слагаемые, в которых одновременно 1, й, 1 ф О, исчезают вследствие ортогональности исходных ВФ; (1 й 1/Г (1, 2) /О О О) = (1 lс11'(1, 2) !О О) (1/О) = О. (848) Частные суммы, в которые входят слагаемые с одним отличным от нуля индексом, учитывают поляризационные взаимодействия в результирующем поле двух остальных атомов. В случае, когда распределение зарядов в атомах обладает шаровой симметрией, эти суммы не могут быть получены путем аддитивного учета энергии взаимодействия каждой пары атомов. Таким образом, в выражении (8.47) сохраняются только члены, в которых два индекса 1О 1 отличны от нуля. При сделанных предположениях относительно распределения заряда в атомах энергия взаимодействия может быть разложена на трн частные суммы: ~(1 л; 01цо о о)~' '~ ' ~(о ь що о о)>о к=~" ' ' +~-' Е о -Ь Еьо — Е„, — Ем ~ Еьо -ь Ею — Еьв — Е„, 'я~О "' ' йтО (ьООЪ'000)/ Еол-Ео — Š— Е~ ьтт 0 1О П.В.
Елютин, В.Д. Кривчонков 146 Глгтва 8 Так как (з')с О/ЦО 0 0) = (з гс/Ъ'(1, 2) !О 0), то выражение 18.40) состоит из трех слагаемых, каждое из которых описывает взаимодействие пары атомов силами Ван-дер-Ваальса. Легко видеть, что этот расчет может быть распространен на произвольное число атомов. злдлчи 1. Показать, что в состоянии атома водорода с параболичсскими квантовыми числами по пз проекция вектора Рунгс — Ленца (5.21) на ось = есть 2. Доказать, что в классичсском случас при дви кении в поле а 11 1г) = — — — Кг сохраиястся величина В = АР ч- — [гг)', гдс А всктор Рунгс — Лснца (5.21). Показать, что соотвстствуюший квантовомсханичсский опоратор коммутируст с гамильтонианом.
3. Опрсдслить наибольшее значснис квантового числа и, при котором движение элсктрона в поло (8.1) остастся квазифинитным (инсат три дсйствитсльиыс точки поворота). 4. Выразить квадрупольный момент заряженной частицы в центральном поле через средний квадрат сс расстояния от центра, 5. Оцснить вслнчину квадрупольного расшсплсння уровнсй атома водорода в поле удаленного ядра 2з на расстоянии В. 6. Рассмотреть методам линейных комбинапий возмоэкность существования иона Нс.,' ~+. 7, Оцснить вариациоиным мстодом поляризусмость системы двух частиц, взаимодойствис которых описывается потснциалом П(г) = дсЦг .
а), в я-состоянии. т!астицы считать заряженными, но кулоновским взаимодействием пренебречь. 8. В случае йгпа »6 з систему, описанную в прсдылушсй задачс, можно считать по свойствам близкой к экссткому ротатору классичсской мсхаиики. Напомним, что нспосрсдствсннос нш1ожснис связей в квантовой механикс нсвозлюжно.
Найти уровни энергии такой системы. 9. Найти поправку второго порядка к уровням эисргии «лгссткого ротатора» с дипольным момснтом И в однородном электрическом попс, Глава 9 РАССЕЯНИЕ О. В гл. 5 мы рассматривали стационарные состояния дискретного спектра для задачи двух тел, взаимодействие которых можно описать потенциалом 11(г). При этом нас главным образом интересовали свойства спектра, а не волновых функций. Бслн при г э оо потенциал взаимодействия обращается в нуль, то при Е > О энергетический спектр будет непрерывным. При рассмотрении состояний непрерывного спектра нашей основной задачей будет отыскание волновых функций, удовлетворяющих определенным граничным у сл овнам.
Решение стационарного УШ Ну = ~ ~' + (У(г)~ у = Еу (9.!) при г — ~ оо имеет асимптотический вид ВФ свободного движения. Мы будем искать решения УШ (9. !), которые при г — э ж имеют вид суперпозиции плоской волны и расходящейся сферической волны: ) ~!сг + г(а),гь~ Здесь мы ввели ватовойвектор 1с, определяемый соотношениями ь'а' р=йк, Е= — '. (9.3) 2т Выберем ось сферической системы координат в направлении волнового вектора 1с падающей волны.
Тогда такую ВФ можно записать в виде (9.2) Уя(г. с! 1) = е + П(й' ст 1) (9.4) г Волновую функцию (9.2) можно интерпретировать, по аналогии с (3.40), (3.41) как суперпозицию ВФ падающей частицы с заданным импульсом р = 1й, испушенной источником, удаленным на бесконечность, и ВФ частицы, рассеянной в центральном поле. Поскольку гамильтониан Н инвариантен при поворотах вокрут оси е (принимаемой за ось сферической системы координат), то граничное условие также можно выбрать инвариантным: уь( ъ 3) = -'ь=+ 1(с!) ' (9.5) 149 Рассеяние Таким образом, при п ~ п полный ток ВФ рассеяния есть сумма токов падающей1плоской) волны и рассеянной 1сфернческой) волны.
Интерференции между падающей и рассеянной волнами нет. Полный поток, рассеянный в телесный угол дй (не включающий направление 1= О), гз,)П йь ~1~ )~г,1П Отношение полного потока вероятности ВФ рассеяния в эчемент телесного угла дГ) к плотности потока в падающей плоской волне называется г)ифференляальнвьч сечение;и рассеяния: ~)~ )~з)П Учитывая, что источники частиц при конечных г отсутствуют, интегрируя 19.10) по поверхности болыпой сферы и переходя по теореме Гаусса д н к интегралу по объему, получим 0= — -Е1 У(~, )+ ~У( ', )~'-'Ж1. я Интеграл в правой части называется палны и сечениен рассеяния: Б = %4~2 ай.
Таким образом, получаем 1ш)'(О) = — в. 4г Соотношение 19.11) называется оптической теореиой. Его физический смысл в том, что интерференция падающей волны с волной, рассеянной на нулевой угол, приводит к выбыванию частиц нз падающей волны, что обеспечивает сохранение вероятности. 2. Стационарное УШ (9.1) может быть представлено в интегральной форме; 5(г) = с(г)+ С (г,г')и(г')3(г')дг', где с(г) и С" (г,г') — общее решение и ФГ для УШ свободного движения. Аналогичная форма радиального УШ рассматривалась в п. 5.11.
По определению (Ь + Й )С1г, г ) = с11г — г~). (9.13) Гаваи 9 15О Как и в п. 5.11, будем искать ФГ в виде произведения линейно неза- висимых решений с1г). В качестве таких решений можно выбрать плоские волны ~(г) =- е' ', (г) с-'ч~ Подставляя в 19.13) выражение для ФГ в форме С1г,г') = А1с1)е'ч1' ")й~, 19.14) получим Г А1с1)1к2 92)с~ч(~ — г') ~Й1 = д(г — г'). Это равенство выполняется тождественно, если А1с1) = 12р) 21кз — 92) Производя в выражении С1г, г') = ~ ' дс1 12р)2 ~ 1ь' — ч'1 интегрирование по угловым переменным, получим -~-сс и —" С1г,г ) = — г19. 4р~~г г'~ Ь~ ц2 1'9.15) Формула 19.15) не определяет ФГ однозначно. Отличный от нуля вклад дают только вычеты в полюсах подынтегрального выражения д = ~й.
Направление обхода полюсов вы- 1 бирается с помощью граничных условий. Решение (9.12) будет содержать расходящуюся волну, если обходить полюсы, как показано на рис. 31. Соответствующая ФГ обозначается С~ 1г, г'): ь не д и — з Сг(г.,г') = — . (9.!6) Рис. 31 4р(г г'~ Формально правило обхода можно задать, положив Й~ = Й~ + ге и устремив е к вулю после вычисления интеграла. Итак, интегральное уравнение для ВФ рассеяния имеет вид у(кз г) = 3113 г) — — Г Гт(г')у1й, г') дг'.
2рлз 3 )г —. г') Рассеяние 151 Используя асимптотический вид ФГ (9.1б); С" (г,г') = — — 'с' 'к', и =- — Й, 4рт с получим асимптотическое выражение для у (Й, г): у(!цг)-)()с,г) — ' е ' (Г(г)у(к,г)пг, зр1~г г представляющее суперпозицию плоской и расходящейся волн в со- ответствии с условием (9.5). 3. При нахождении явного вида ФГ (9. !5) мы использовали в качестве базиса СФ импульса (9.14), что вовсе не обязательно. ВФ рассеяния может быть представлена согласно (9. ! 2) в виде уо = 5 + Со(Е + ге)(Гу, (9.! 8) где Со — ФГ однородного УШ вЂ” есть Со(Е+ 1е) = (Е + ге — Но) Формальное решение УШ (9.
18) фактически определяется интегральным уравнением. Выбрав в качестве базиса произвольную систему СФ гамильтониана Но(),), можно представить (9.18) в виде (з,!!у!з Е, — Б. Ч- се где интегрирование проводится по всем возможным Ь. Решение (9.18) можно выразить непосредственно через функции базиса 5 .. Введем ФГ неоднородного УШ (9.1): С(Е) = (Š— Й) Тогда С(Е) = Со(Е) + Со(Е)ГгС(Е).
Решение (9.18) принимает вид у = 5 + С(Е+ ге)(Г). Уравнение (9.19) допускает формально решение методом итераций С = Со + СоГгСо+ Со(ГСоГгСо+ . (9 20) 4. Если потенциал взаимодействия гГ(г) в некотором смысле мал, то в разложении (9.20) можно ограничиться нулевым приближением, положив С = Со.
Тогда из (9. ! 9) следует: г(с!) = — — ' 5*(Й', г)Гг(г)5 (Й, г) Иг. зрли ) 152 Гливи 9 Выбирая в качестве 1(1с, т) плоские волны, получим 2(с1) = — ' е'ч'о'(г) дг, 2рьв 1 где с1 есть изменение импульса при рассеянии: (9.2! ) ~(сз) = — — г Бс(г) с1г. о Введем безразмерный параметр т = Йа, (9.22) где а — характерная длина потенциала. Для медленных частиц '1т < 1) (9.22) принимает вид 2 оп (9.23) о Таким образом, амплитуда рассеяния медленных частиц не зависит ни от энергии, ни от направления. Для быстрых частиц (т» 1) за- метный вклад в интеграл дает только область малых значений углов 02 < т 1) — окрестность главного максимума функции '"'" = 2о(Чг), Ог где 2о(х) — сфеРическаЯ фУнкциЯ БесселЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
