Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(9.70) о Функция 7'1(йг) действительна и удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (»»+ 1 у»+ (й2 -" ) у 168 улиеи 9 (9.72) Таким образом, 1 -- 1 — ) гН~ ~ (Ь)1, (Иг) и(г) Нг Я1(1) 1 Ч-1 — ( гН~ ~(яг)1„(ьг)и(г) г1г 2 Ь (9.73) 13. Пусть Л = — е — значение энергии, соответствующее свя- 2 . 2 занному состоянию. Тогда при 1: = ~1ш регулярное действительное решение УШ должно убывать при г -+ ос.
Согласно (9.70) асимптотический внд такого решения есть ,1(йг') =,7,(1г) — '— 'Н,"'(Ь.) Н(2)(1г')и(г')„(йг')г'дги+ о + ~ Н1( ()ег) Н( )(Ьа)и(г')1~(1г')г'Вт. (9.74) о Учитывая соотношение 2 что и решение у~ (кг). При малых г 1~(йг) —,71(1г). Таким образом, функция 11(йг) представляет регулярное в нуле действительное решение радиального УШ. Функция у,~(1сг) также регулярна в нуле, поэтому эти два решения должны быть пропорциональны: у~ (Ь ) = с~11(1г). Подставляя это равенство в (9.69), находим с1 = 1 + — гН, (Йг) и(г)11(1сг) гтг~ 2 о Выражение для парциальной амплитуды рассеяния через действительное регулярное решение УШ имеет вид ) то (Лг) и(г) 1', (яг) иг л- -" 1-Г1-' (гНО~(В,)и(г),,(Ь) 1г 2 Ь Элемент Я-матрицы связан с амплитудой соотношениями 1 Л = —,.
(Н~ — 1). 21 169 Рассеяние перепишем формулу (9.70) в виде 5,(йт) = ' ~1 — г — ~ Н, (йт)и(т)1~(йт)те)т + И."(Ят) ~ .р ( (2) 2 ~ 2 ~ + ' ( ) 1+1Р Н1 )(кт)и(т)11(Ь )тй . (9.75) о При й = +бю (а; ) О) функция Н(~) экспоненциально убывает, а Н(2) экспо ненциально растет. Требуя обращения в нуль коэффициента при экспоненциальио растущей функции, приходим к условию 1+1 Н, (йт)и(т)>~(йт)тг1т = О. (9.76) 2 з о Из сравнения (9.76) с (9.73) видно, что в точке й = +1т функция 51(к) имеет полюс. В точке й = — гю функция о1(к) имее~ нуль, что доказывается аналогично. Итак, связанному состоянию с энерги- 1т Я ей — ю соответствует нуль матрицы рассеяния Я(й) на нижней мнимой полу- о — нуль оси и полюс на верхней мнимой полуоси ° . полюс (рис.
35). Обратное справедливо не всегда. 14. Значения волнового числа к, соответствующие рассеянию, лежат на действительной оси. Поэтому наличие полюса Я(й) будет зачетно влиять на парциальную амплитуду, лишь если полюс близок к действительной оси. Соответ- Рис. 35 ствую~цие связанным состояниям полюсы будут поэтому проявляться главным образом в рассеянии медленных частиц (т < 1), когда основную роль играет е-рассеяние. В окрестности полюса м — ав о= м с1Ь и сечение рассеяния имеет вид во = —, ~1 — Но(й)~ Вводя энергию связи е = — йзю~(2та) ', получим фориулу Вигясбаа во =— 2ра' 1 (9.78) то Е+ )е! 170 >.>ввп 9 Таким образом, если в потенциале и(г) существует связанное состояние с энергией связи, малой по сравнению с ио, то сечение рассеяния медленных частиц сильно зависит от энергии.
В борновском приближении сечение рассеяния медленных частиц равно ев=В а . 2 2 Формула Вигнера дает при к — > О значение 4г ~Ъ еи;= — — в . В ,'е! Из этого выражения видно, что при типичных для межнуклонных взаимодействий значениях В - 1 вигнеровское сечение значительно больше борновского. Заметим, что в формуле 19.77) знак ае не играет роли. Поэтому к возрастанию сечения рассеяния медленных частиц приведет как полюс 501й) на положительной мнимой полУоси, соответствУющий связанному состоянию, так н полюс на отрицательной мнимой полуоси. Состояния, которым соответствуют такие полюсы, называются вирт)кгтьпьмш.
Из (9.75) следует, что ВФ виртуального состояния экспоненциально растет при больших г. Из (9.75) следует также, что полюсу виртуального состояния на отрицательной мнимой полуоси соответствует симметричный нуль на положительной мнимой полуоси. В потенциале притя>кения — си(г) ( О с уменьшением 9 полюсы на мнимой оси, соответствующие связанным состояниям, приближаются к действительной оси, а полюсы виртуальных состояний удаляются от нее, как показано на рис.
36. Рис. 37 Рис. 36 Формула (9.78) хорошо описывает зависимость сечения от энергии при рассеянии нейтронов на протонах в триплетном состоянии 1связанное состояние с энергией е = — 2,23 МэВ) и в синглетном состоянии (виртуальное состояние с энергией е = +О, 06 Мэ13). 171 Раствялие 15. Матрица рассеяния может иметь особенности и вне мнимой оси.
Их расположение подчинено определенным требованиям симметрии. Пусть Я(1з) имеет полюс в точке 1 = д + 1аь Тогда из формулы .1,(ась"Я) = е'""',1,(г) следует равенство Я~(/с) = Я, '( — й). (9. 80) Таким образом, полюсу в точке 1 (рис. 37) соответствует нуль в точке 2, симметричной относительно начала координат. Далее, из соотношений следует равенство Я,"(й*) = ь', '(й).
(9.81) Поэтому Я~(й) будет иметь полюс в точке 3, симметричной точке 1 относительно действительной оси, и нуль в точке 4. В верхней полуплоскости Я(1:) имеет полюсы только на мнимой оси. В самом деле, полюсУ в точке йо = 9 + ив соответствовало бы регулярное в нуле решение с экспоненциально убывающей аснмптотикой. Поэтому з~(аког) было бы квадратнчно интегрируемым решениелз УШ, соответствующим СЗ Е = (дз — а ~) + 2ире, что несовместимо с требованием эрмитовости гамильтониана.
Состояния, которым соответствуют пары полюсов в нижней полуплоскости комплексного ь;, называются клали ти~ионарньгин сост<>янпяигь В окрестности такого полюса Ь) (й) имеет вид 5~(й) — ез'~ й — д-1м Сечение рассеяния равно г в — ~ ~Я вЂ” 1~~ — — ~ 1 — сов 2Ь+ '~ гйп2Ь Ьз 1г ( г~г. ~,г. з" (9.82) здесь введено обозначение 8 = й — д. При д =- Π— — з(1+ сов 2Ь)., ар и при небольших фазах.Ь это сечение близко к максимально возмож- ному. При а: « 9 зависимость сечения от волнового числа /с имеет явно выраженный резонансный характер. Формулу (9.82) при 1: 9, 172 Гливи 9 г7» и: принято записывать в виде ь1 р г — 4йе е'~ яви + 4япз г."г, (9.83) (Š— Ев) 1 гГ/22 гдевеличинаЕо = гг~(2гп) ~(г7~ — аз) называетсярвзогсалслойэлераией, авеличинаГ = гг~гп ~даг называется ширгтой7гвзонанса.
Первый член в фигурной скобке (9.83) соответствует резонансному рассеянию на квазистационарном уровне, третий член дает сечение потенциального рассеяния, а второй описывает интерференцию между потенциальным и резонансным рассеяниями. 16. Все результаты, полученные с помощью рассмотрения рассеяния парциальных волн, предполагают конечность фаз ог и относятся к потенциалам и(г), убывающим при г -э оо не медленнее, чем г 2. Кулоновский потенциал, представляющий особый интерес, этому требованию не удовлетворяет.
Однако для рассеяния частиц, взаимодействующих только по закону Кулона, можно получить точное выражение для ВФ рассеяния. Задача рассеяния обладает аксиальной симметрией. Поэтому удобно использовать, как и в п. 8.1, параболические координаты, допускающие разделение переменных в УШ у = 1(х)д(г7). Уравнения имеют вид (в кулоновских единицах) -(-) (-"-) = ~П 77+ ~ Ц вЂ” Ь2)8=О, (9.85) 4„(, Ц где параметры разделения Ьь Ь2 удовлетворяют условию Ьг + Ь2 — — 1.
Граничное условие у ехр (гйв) = ехр ( г' — (х — г7)) (з = (х — 27) — г — оо) (9.86) г'. 7г 2 можно выполнить при всех х, положив 7(х) = ехр (г-х) (подстановка в (9.84) дает ь, = г)ггг2). Тогда из (9.86) следует граничное условие для 8(г7); ов Кг(г7) ехр ( — г-г77' (Ч вЂ” 'г гю).
2 173 Рассеяние Уравнение (9.85) переходит в — ( 9 — ) + ~~ — ' 9 — 1+ — ') 8 = О. ап ~ дп) 'а4 2,) (9.87) Ищем решение в виде д(г)) = ехр ~ — — г))ш(г)) (ср. (5.23)). Тогда (9.87) дает г)ш + (1 — )йг))ш' — га = О. Полагая х = гйг), получим и = сопя1 Г ( — —, 1; х), 1 где е'(а, 9: х) — вырожденная гипергеометрическая функция. При больших х справедливо асимптотическое представление для выро- жденной гипергеометрической функции е(а,9;х) = — (ч) х' "е* х Г(а) х 1+ + + .~+ (а — Ц(а — я) (а — Ц(а — 2)(а — д)(а — я — Ц 1 Х 2гха а (9) — а 1ар Г(,-ч)х х 1+ + [ а(д — а — Ц а(а -р Ц(ч — а — Ц(д — а — 2) + акр (р72Й) + (а71с) 1п Йч 1 е'(а,9: (йг)) = Г(1 Ь 1/Й) 1Йап ахр (р/2Й) — (1/Й) 1п ЙЧ + 1ЙЧ Г(1 — 1!Й) Йач Перейдем к сферическим координатам г) = г(1 — совс1), х= г(1+ совс1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
