Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Используя результат задачи 5.6: 772 г 77 1(1.7 1772) (1-1. Ц получаем окончательное выражение для поправки Е2 (Ц ~'Е~ ~ 5 П+ Ц вЂ” 1(1+ Ц вЂ” 3/4~ 4~а ~ 1(1+ 172) (1-~- Ц Выражение в квадратных скобках можно выразить через ( для различных значений 7' =! ~ — (1 ~ О): 1 2 1' =1+— 1 5 (5 ь Ц вЂ” 1(1-> Ц вЂ” 3/4 1 2 1(1+ 1!2) (1- Ц (1 ' 1/2) (1 ' Ц 5(У гЦ вЂ” 1(1+Ц - 374 1 (1 ч- 172) (1+ Ц (1+ 1/2) 1 Гл44ва 10 188 Складывая поправки Е1 и Е2 при 2 = 1+ 1/2, имеем Аналогично, при 2' = 1 — 1/2 1 2с1+ЦО+1/2) 224 Г 2п4 ~1 4п У -~- 1/2 244 ( 1-';2 Зч1 Таким образом, суммарную поправку при 1 ф 0 можно представить в виде 110.3! ) Формулы (10.29) показывают, что это выражение справедливо и при 1 — — О.
Отметим, что выражение (10.31), определяющее яюнкую структуру спектра атома водорода, впервые бьщо получено Зоммерфельдом на основе старой квантовой теории. Релятивистские поправки приводят к частичному снятию вырождения по /, Кроме главного квантового числа п., энергия уровней зависит и от значения полного момента 11 Однако уровень с заданным и и 1 остается двукратно вырожденным.
Число 1 может принимать значения 2 = 1 ~ 1/2. Этот результат не является следствием приближенного характера вычислений и сохраняется для точного решения. Такое вырождение указывает на существование дополнительного инте1рала движения, не коммутирующего с оператором полного момента. При учете спина электрона состояние частицы в центральном поле задается тройкой чисел и., 11 1. Значение 1 принято указывать в виде правого нижнего индекса при псрелятивистском обозначении.
Отметим, что вычисление поправок высших порядков или рассмотрение точного решения в случае 4 а « 1 не представляют особого интереса по следующей причине. В классической электродинамике система заряженных частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависягцей от координат и скоростей частиц, лишь с точностью до членов порядка (с/с)~. В следуюц1ем порядке (- (и/с)з) необходимо учитывать излучение. Вычисление поправок второго порядка по операторам Г, приведет лишь к величинам порядка (1 /с)4. В гл.
5 рассмотрение задачи двух тел привело нас при вычислении спектра атома водорода к задаче о движении частицы с приведенной массой в поле кулоновского центра. В этой главе мы использовали в качестве исходного пункта релятивистское уравнение Ретятззвпстсьтге попргщки для движения заряда в кулоновском поле ядра. Такое приближение для задачи двух тел оправдано лишь постольку, поскольку можно пренебречь движением ядра. Уравнение для задачи о движении двух заряженных частиц со спином 1~2 было получено Брейтом. Как следует из изложенного, это уравнение справедливо лишь с точностью до членов 1зз/с) . здддчи К Найти унитарный опсратор, осуществляющий прсобркюванис Лоренца.
2. Доказазь, что из уравнения Дирака дяя частицы в злсктромапзитном поле слсдуст уравнение ~(р — — А") (р,, — — А.) -Ь вЂ” в 'Х,,, — гп с ~ у . О, где 1 в = — 199 — дд) = — и', 2 а Р" „— тснзор злсктромагнитного поля. 3. Найти собственные значении оператора скорости релятивистской частицы со спинам ! !2. Этот оператор опрсдслястся соотношением зч =.= — — ~т„Н1 . 4. Вычислить производную от времени от опсратора с р — -А. с Рсзультат сравнить с классическим уравненном двизксния. 5. Доказать соотношения ьр Й. шсз 6.
Доказать, что рслятивистский аналог опсратора Рунгс Ланца й = — 'з" Х + — '" (Х1+ 1) 9'д' (й — Рд') пзс гдс .аззз 9 = з9999 ком мутирует с гамид ьтонианом уравнения Днрака для частицы в кулоновском поле. ПЕРЕХОДЫ О. В предыдущих главах мы рассматривали только стационарные состояния систем. Они описывюзись СФ не зависяших от времени гамильтонианов.
Средние значения наблюдаемых в таких состояниях не зависят от времени. Вне нашего рассмотрения остались два круга задач. Во-первых, система может описываться гамильтонианом Н, не зависяшим от времени, но состояние системы в некоторый момент 1 = О может не быть СФ Н. Возникает вопрос об изменении со временем средних значений наблюдаемых. Во-вторых, гамильтониан Н может зависеть от времени явно. Если система взаимодействует с источником внешнего переменного поля, а влияние системы на источник пренебрежимо мало, то гамильтониан можно представить в виде Н = Но+ Р (1).
(! 1.1) Такая система по определению не имеет стационарных состояний. Если при ~ — > ~ос внешнее поле Г(г) обращается в нуль, то для описания системы удобно использовать полную систему СФ Но. Тогда ВФ системы может быль представлена в виде у1г) = ~~ п„(1)з„е'"', (! 1.2) и где введено обозначение — 1 нп =й Е"п, которое мы будем постоянно использовать в дальнейшем.
Пусть начальное (г — > — оо) состояние системы описывается одной из СФ Но. у =-. 11зп у(г) .—.— з„. с —— В общем случае при ~ — ~ +ос ВФ системы у = 1йп у(г) = 2 а„ $ — ~-~-~о т, не совпадает с ВФ начального состояния. Под действием внешнего поля система совершает переходы в другие стационарные состояния.
Вероятность наблюдения системы при ! — ~ + со в состоянии 1,„— вероятность переходи из состояния ~п) в состояние ~т) — определяется Переходы величиной 2 2Оот ~ Цптп ~ Индекс и относится к начальному, а т, — к конечному состояниям. 1. Пусть при 1 ( 0 гамилыониан частицы Й = р + Г (х) 2го обладает дискретным спектром и частица находится в стационарном состоянии у„(т) с энергией Е„. Пусть при 1 = 0 поле мгновенно изменяется; Н.з. = и + Г л(х). 2т Состояние у„(к) не есть, конечно, собственное состояние Нз.. Вероятности переходов при внезапном возмущении определяются значениями коэффициентов а.„,„в разложении у„(х) по собственным функциям Н„: у„(х) = ~ аьз'ь(т). ь Приближение внезапных переходов оправдано, если интервал Ы, за которые происходит изменение поля, мал по сравнению с величинами 1 6 ъ„а ń— Ел где Еь относится к конечным состояниям.
В качестве примера рассмотрим вероятность перехода атома трития Нз в основное и возбужденные состояния иона Нсзз при Ь -распаде ядра. Время изменения потенциала ядра по порядку величины равно времени пролета Ь-электрона через атом; — = оо~(— оя '11 Е, где ао — боровский радиус. Это время мало по сравнению с характерным атомным временем Т, —.— Йзпл е . Вероятность перехода — 1 — 4 в 1е-состояние определяется скалярным произведением ВФ начального и конечного состояний: " =1'(-")" - (-"') '(-")"'- (-"') """ ыцз =)азП = ~-! =070. 111.3) 9 Здесь Я~ и 22 — начальный и конечный заряды ядра. Заметим, что переходы в состояние с 1 ф- 0 невозможны из-за ортогональности Глиео! 1 192 у(ж, 0) — схр ( — —,) .
Готовящее поле ГГ. (ж) в этом случае представляет собой потенциал гармонического осциллятора: Поле Гг «равно нулю. Спектральная функция а(1г) определяется вы- ражением Г а г хгаг « п(гг) = — ~ у(ач О) схр ( — ггэт) Иж = — ехр ( — ). вр «г2р 2 Зависящая от времени ВФ имеет вид у(т, 2) = а(Гг) схр (г(1сж — ««1)) Ю. Вычисление интеграла дает «(п.а = « « а«~«в 2 (аг -'«г — ) угловых частей ВФ. Аналогично вычисляется и игы 2, — — О, 25.
Таким образом, при гэ -распаде ялра атома трития образующийся ион Нсз~ будет с подавляющей вероятностью находиться в основном или в первом возбужленном состояниях. 2. Задача об эволюции состояния у„(т), приготовленного в момент 1 = 0 мгновенным изменением поля Гà †ГГ „ представляет особый интерес, если гамильтониан Н.~. обладает непрерывным спектром. Физически реализуемые состояния частиц описываются ВФ, локализованными в некоторой области пространства (принадлежащими 1 2), и не могут совпадать с ВФ непрерывного спектра.
Состояние, которое описывается функцией из 1 2, представляющей суперпозицию ВФ непрерывного спектра, называется еолиоеы«и иакегиои. Задачи об эволюции волновых пакетов относятся к первому типу задач, упомянутых в п. 11.0. Рассмотрим волновой пакет свободного движения, который при 2 =- О имел вид Лсрссодвг 193 Распределение плотности вероятности г е) т= ™ . 6 Величину Т естественно назвать временем жизни волнового пакета.
Отметим, что аналогичный результат мы получим лля любого волнового пакета, который при 1 =- О описывается действительной ВФ. Наличие рас- ГУ плывания связано с законом дисперсии для свободных частиц К(й) йз. 3. Особыми чертами обладает процесс расплывания волнового пакета в центральном поле, имеющем вид барьера (рис, 38). Пусть приготовленное при 1 = О состоРис. 38 яние описывается ВФ у(т. О), локализованной внутри барьера*. Схема отыскания зависящей от времени ВФ остается той же, что и в предыдущем пункте. Раскладывая начальную ВФ по системе ВФ стационарных состояний Ф(й, т), нормированных на сьфункцию от й, мы найлем спектральную плотность А(й) = у(т, О)Ф()х т) с(т.
о (11.4) Зависягцая от времени ВФ будет определяться интегралом у(т, ~) = А(й)Ф(й, т)е" '"л Мс. о Пусть г'(й, т) есть решение радиального УШ с асимптотикой е гы'. Тогда функция Ф(й, т), имеющая асимптотику Ф(й, т) — л/ — а1п[йт + с1о(й)], '7 р 13 П.В. Елютнн, В.Д. Крнвчснков (11.5) с течением времени сохраняет ту же форму, что и в начальный мо- мент, однако ширина распределения возрастает со временем: про- исходит расплывание волнового пакета. Расплывание становится существенным при 194 1 лака П где с1о(й) — фаза рассеяния, может быть представдена в виде (., )=,Г-'.1сасел-:: ~- ' л, )~, ~ ) ур2г( где Яо(й) — элемент матрицы рассеяния. Подставляя (11.6) в (11.4), спектральную плотность представим в виде А(й) = — ~а(гй) хЯо(й) — а( — гй), (11.7) 1 тЛо(й) ~ где а(1й) = у(г,0) ~~~(й, г) с(г.
'7 р о Подставляя (11.6) и (11.7) в выражение (11.5), получим ОС у(г, 1) = — а(вй) тЯо(й) — а( — зй) х г ъ~~о(й) з о .,~Г 1,%ел а,е ° л„)~,--'ос= ряс ,ЛДЙ) — (а(1й)Яо(й) — а( — 1й)17( — й, г)е '"' с(й + ч'2р 1 о + " а(1й) — а( — 1й) 1 Д(й, г)е '"~ с(йз и 2р 1 ( Яя(й)2 о Учитывая, что согласно (9.80) оо (й) = эо(й), и заменяя во втором интеграле й на — й, получим з-~х~ у(г,1) = — ~ (а(гй)Яо(й) — а( — гй)1г( — й, г)е ™ с(й (11.8) ъ' 2р,1 Формула (11.8) точная.
Найдем асимптотический вид у(г, с) на больших расстояниях вне барьера. Тогда под интегралом в (11.8) можно заменить функцию 7 ( — й, г) ее асимптотическим значением у(г,й) = — — [а(зй)бо(й) — а( — гй)]ес(ь' "'~)М. (11.9) Л6 196 Нк П оси. Контур интегрирования может быть смещен на действительную ось. Вычисление интеграла (11.10) методом перевала дает у(г,1) = уо(г.1) Нхгр[а~(0)Я(0) — а' (0)). При -, ) г(д — ю) нужно учитывать вклад от полюса Рг в первом квадранте. Тогда у(гг1) — уо(г,е) — 2ргйа(гас) схр ( — 1гй)ПсвЯ(Рг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
