Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При Т » с! второй и третий члены в скобке в формуле (11.30) несушественны и (Ж (Т)) = У 2Тс)= ~ 2рд(0)Т, Последнее выражение применимо не только для выбранной функции корреляции. В самом деле, в подынтегральном выражении формулы (11.29) Рнс. 41 функция су()е) заметно отлична от нуля при )е < с! ' и плавно меняется в этой области. Первая же подынтегральная функция отлична от нуля главным образом в области » < Т '. Поэтому при Т » с! можно приближенно положить 206 Глп пП попадает в область непрерывного спектра, то переход в состояние Ез будет резонансным. Однако выделение двухуровневой системы в этом случае невозможно, так как знаменатели в (11.24) будут малы для группы состояний с Е = Г,.
Для вычисления вероятности переходов в этом случае удобно заменить непрерывный спектр конечных состояний дискретным квазинепрерывным. Это можно сделать, наложив на ВФ непрерывного спектра условие периодичности на границах куба с ребром Е„предполагая, что Е много больше размеров системы (ср.
и. 6.13). Тогда можно использовать выражение для вероятности переходов )т сыоз 1 с о„с 1 що„=— ь~ (11.33) При вычислении матричных элементов ьо„использованы ВФ конеч- ных состояний, нормированные на единицу в объеме Аз. Найдем суммарную вероятность перехода в состояния непрерывного спек- тра.
Она будет определять скорость распада начального состояния: ,з 01 11 и =~ 111.34) р~ьемо' ~й Епг(~) Пусть на систему в течение времени Т действует возмущение 1'1г) = ое Тогда интеграл по 1, вычисляется элементарно: (1! .35) г м.л — ~Г 4 ма ' Т И = — '~ О~по.,~а ' ДЕ.. Д2 1и,о ~)' Число дискретных уровней М,, в интервале (Е„, Е, + ЬЕ.) в пределе А~ — ~ оо пропорционально ширине интервала,ЬЕ,„. Определим функцию плотности состояний г)п) такую, что М)Е, Г + иГ ) = х(йиГь, Функция г(п) имеет размерность эрг ' и пропорциональна объему Лз куба периодичности. Тогда в пределе Ь вЂ” ~ ос суммирование по и можно заменить интегрированием: ПЯ7 Вход ы При больших Т функция 207 "т 5111 Е(а,Т) = 4 (о.о.
о)' меняется значительно быстрее, чем г(п) и ~оо,~ . Эти функции можно вынести из-под интеграла, взяв их значение в точке максимума Е(в,Т) — точкегг = кос. Тогда г гг.о — гг гамп'т И я(Е )~оа,.~ о 4 2 (я.о — г„)г Вычисление интеграла по ио., элементарно: И' = г(Ег ) /гго, !~ — ~ Т. (11.36) я Таким образом, вероятность перехода в состояния непрерывного спектра под действием возмущения (11.35) пропорциональна длительности его действия.
Иными словами, вероятность перехода в непрерывный снектр в единицу времени постоянна. Формула (11.36) называется золотыэг правитои Фо7тигь Отметим аналогию между формулами (! 1.32) и (11.36): их можно записать в виде и и = " ~) о,~' т(Е, — Е; — й ), т я где оьфункция указывает на необходимость интегрирования по о(Е (с весом г(Е)) в случае нерехода в нснрерывный спектр или но о(гг (с весом 1(гг)) в случае перехода под действием некогерентного поля. 9.
Состояния непрерывного спектра обычно вырождены. Если при ~ = 0 система находилась в состоянии уо(Е) — собственном состоянии г амильтониана Но, то под действием постоянного возмущения Г система может перейти в другое собственное состояние гамильтониана Но — у,(Е), соответствующее той же энергии. Вероятность такого перехода дается, согласно (11.36), формулой И'о.
= т(Е) ~ ~о.Г' — '. Т. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение. Состоянию с данной энергией соответствуют две ВФ свободного движения: у, =с'', у =с Рассмотрим переходы между этими состояниями в слабом постоянном поле 1'(х). Вводя «длииу периодичности» Л, получаем г(Е) =— тг гад 208 Глиеа! 1 Вероятность перехода за время Т гг у И Отношение вероятности перехода за единицу времени к плотности потока в одном из состояний у+, у есть, по определению, коэффициент отражения 2 ьу, Д(Е) =,, Н(х)е гш'с1х (11.38) Этот результа~; полученный из нестационарной теории возмущений, совпадает с выражением (3.13), полученным из приближенного ре- шения стационарного одномерного УШ. 10. В трехмерном случае вычисление вероятности переходов меж- ду состояниями с ВФ вЂ” плоскими волнами у =.
ехр (1 — ), различаю1цимися лишь направлениями р, в поле Н(г) приводит, при использовании (11,37), к борновскому приближению для сечения рассеяния. В обшем случае прямая задача теории рассеяния также может быть сформулирована как задача о переходах. Пусть функция у (И) удовлетворяет УШ 1И вЂ” = (Но+1')у, (11.39) дг где Но не зависит от времени. Проведем унитарное преобразование: 3(1ов) = ехр (1 Я )у(1,сс), И(1) = ехр (1 ~ ) 1" схр ( — 1 Я ). Тогда (11.39) примет вид гИ вЂ” "=И,. (11.40) дг Представление (11.40) для уравнений движения называют лредстаеленаен Дирака или представлением взаимодействия. Введем унитарный оператор Й(Р~, 1г) такой, что Н(1п1г)г(ег) = г(1г).
(11.41) Из определения (11.41) следуют свойства оператора с1: (1(1ц 1,) = 1, (Г" (1„1г) = О(1г., 1ч), Н(1ы гг) Н(1г, гз) = (1(1м гз). Пе2>сходы ВО9 Оператор 1>'!тз, 12), описываюший эволюцию системы, удовлетворя- ет уравнению движения Н ~~ = Ь!т)11. д!> Пусть з и з~ — начальное и конечное состояния системы. Оператор !>'111, 12) при 1 — « — ос будем обозначать 11 «1ь), а Г1!1, 12) при 1 — > +ос будем обозначать сг (!): 3 !т) = с« !т)З Предел оператора !.> «1!) при 1 — > +ос лзы будем называть оператором рассеяния Я: Я = 1пп 1т«(1).
Оператор Я унитарен, так как по определению унитарен Г. Физический смысл оператора Я очевиден: если З вЂ” начальное состояние системы, то ЬЗ = З вЂ” соответствуюнтее конечное состояние. Пусть при 1 — > ~ос внешнее воздействие 1т!т) адиабатнчески выключается.
Тогда начальное состояние З и конечное состояние З ! — — Ь'З можно разложить по СФ гамильтониана ЙО. Пусть З = З „где и — набор значений интегралов дни>кения гамильтониана НО. ВеРоЯтность пеРехоДа в состоЯние З ь есть . = КЗьФ~з„яз. Из рассмотрения, проведенно! о в п. 11.8, следует, что переходы возможны только при равенстве энергий начального и конечного состояний.
Элементы Я-матрицы суть функции интегралов движения. Для случая рассеяния в центральном поле Я-матрица содержит только диагональные элементы Ян !зон =,'э!1к), свойства которых рассматривались в гл. 9. ЗАДАЧИ 1. Определить зависимое>ь оз времени дисперсии координаты волновых пакетов, которые при ! — О описывались действительными волновыми функциямн.
2. Рассмотреть изменение со временем произведения дисперсий 2ьт~ 2!р' для пакета, рассмотренною в и. !!.2. 3. Пусть прн ! — О свободная частица описывалась ВФ . ье' ! у1а, О) = >1л) ехр (~! — ), ь !4 П.В. Елкпин, В.Д. Кривченков э)о озгана П где з (х) — действительная четная функция из Ь~. Исследовать изменение дисперсии координаты со временем. 4. Рассмотреть расплывание волнового пакета г з(,О) = роа хз ч- аз Меняется ли его форма со временем? 5.
На гармонический осциллятор мгновенно накладывается внешнее однородное поле х". Найти вероятность перехода в и-е состояние, если при 1 ( О осцилэгятор находился в основном состоянии. 6. Вычислить в приближения внезапных возмущений вероятность перехода амезона в мезоатоме с У » 1 при распаде ядра из состояния 1а в состояние 2а, 7. Вычислить вероятность того, что частица, находившаяся в сьяьге, двигавшейся с постоянной скоростью о, останется в связанном состоянии при внезапной остановке салямы; зависящий от времени потенциал 12'(х,г) = — ЧП(х — ог) (Г < О), Цх.г) = — г?21(х) (1 > О) 8.
При каких временах Т применимо золотое правило Ферьзи для переходов в непрерывный спектр (11.36)? 9. Вычислить по теории возмущений коэффициент отрюкения В(Е) в поле а2 ?? (х) — — — ??о х2 а2 Сравнить с результатом расчета методом ВКБ. 10. На осцилля гор, находившийся при 1 -о — оо в основном состоянии, действует однородное поле, меняющееся со временем по закону Е(1) = Ро ей '(а?). Найти вероятность переходов шо„, не ограничиваясь первым приближением теории возмущений. Глава )2 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ О. В предыдущих главах мы рассматривали различные случаи движения частицы во внешних полях, определявшихся потенциалом 1Г1г), в том числе и в электростатических полях.
При этом оператор Гамильтона содержал только операторы, лействующие на пространственные переменные и не затрагивающие спиновую часть ВФ. Учет релятивистских поправок к УШ, следуюгцих из уравнения Дирака для электрона Гсм и. !0.6), уже в первом порядке по н/с приводит к необходимости рассматривать взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем. Оператор этого взаимодействия Ъ' = — вН тс действует на спиновые ВФ. Таким образом, наложение магнитного поля дает, в общем случае, способ воздействовать на спиновыс состояния частиц.
х' = "' + -сАч — е). 2 с В дальнейшем будем полагать 1 = О. Обобщенный импульс определяется соотношением сз.у с р= =тч+-А. ч с В дальнейшем изложении отличие обобщенного импульса р от кинематичсского тч будет играть существенную роль. Классическая функция Гамильтона определяется соотношением Н = рч — У = — (р — — 'А) 2т с Заменяя, в соответствии с основными положениями, обобщенный импульс на оператор с коммутационными соотношениями Аб, получим выражение для гамильтониана Н = — (р — -А) 112.1) 1. Рассмотрим движение заряженной частицы без спина в электромагнитном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
