Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Порядок расположения сомножителей безразличен. Произведем упорядоченное разбиение множества из Я частиц по бесконечному числу состояний, первое из которых содержит пч частиц, второе из частиц и т. д. Число упорядоченных разбиений равно < Л' ') дч в~па ... и, .../ П"' =1 Здесь 2 и, = Х. Мы считаем, что (кч) = 1, если п, = О.
Базисные ортонормированные функции для коллектива из Х бозонов имеют вид (!3.1) В этом выражении числа п„, фиксированы, а суммирование проводится по всем упорядоченным разбиениям. Функции (! 3, 1) являются симметричными функциями. Для двух частиц ф(2 2 ) = Д 1У,.И )Увй ) + У„И )Уч, И )) если ~п ф и.
Если ьв = и, то ФИ1 чв) у (ч1)у (чз). (13.2) Нормированная антисимметричная ВФ стапионарного состояния системы тождественных фермионов может быть записана в виде детерминанта, составленного из одночастичных ВФ; Р = ' Пс1~у, (~Д. (13.3) Индекс! — — номер строки (1 < ! < Х) — фиксирует состояния, в которых находятся частицы, причем индексы а расположены в порядке возрастания (а~ < аз < < аьч). Индекс Й (1 < Й < М) указывает номер столбца.
Функции, находящиеся в й-м столбце, зависят от координат и спиновой переменной ь;-частицьь Перестановка двух наборов координат (замена д, ~-~ о,) есть перестановка двух столбцов детерминанта. Она приводит к изменению знака Ф. Требование анзисимметричности приводит к условию Ф(Ф, ., Ф, ~Л,; Чм) = (1, что соответствует равенству двух столбцов матрицы. Вместе с этим ВФ обращается в нуль и нри равенстве двух строк матрицы (аь .= а„ч). То,ведеетеенные чиетнлы 225 Таким образом, для того чтобы ВФ системы невзаимодействукв- щих фермионов была отлична от нуля (т.
е. чтобы состояние было физически реализуемо), необходимо, чтобы в каждом состоянии у„ находююсь не более одной частицы. Это требование также назы- вается нршп1ипои 1?ьппн (в узком смысле). Оно справедливо и для состояний системы слабовзаимодействующих фермионов. которые можно приближенно описывать с помощью детерминанта одноча- стичных ВФ, Для системы двух фермионов 2 (ужй1)уп(г12) ут(92)уи(Ч~)) (13 4) 2. Гамильтониан системы электрически взаимодействующих ча- стиц в нерелятивистском приближении не зависит от спинов.
Поэто- му УШ удовлетворяет каждая из спиновых компонент ВФ. Полная ВФ может быть записана в виде Ф = 1(гпгя,,,,)с(вы в2,.,,), Однако требования симметрии полной ВФ приводят к некоторым ограничениям на координатную ВФ э'(гы гз,... ), поэтому нз всех возможных решений УШ физически может реализоваться лишь неко- торая часть. Рассмотрим следствие симметрии для системы двух тождествен- ных частиц. ВФ может быть записана в виде Ф = с1(г~ + гз)Ф(г~ — г2)с(иы в2). Функция с1(г~ + г2), очевидно, всегда симметрична по отношению к перестановке г~ ч-~ гз. Для Ф(г~ — гэ) перестановка координат эквивалентна инверсии системы координат.
Для частиц со спином 0 спиновый множитель равен единице. Тре- бование симметричности ВФ при перестановке эквивалентно требова- нию четности Ф(г~ — г2) прн инверсии. Если взаимодействие частиц описывается центральным потенциалом ~7(~г~ — г2 ~), то переменные в УШ для функции Ф разделяются в сферической системе координат. Так как четность состояния совпадает с четностьк> орбитального момента, то система двух одинаковых частиц со спином нуль может находиться только в состояниях с четным орбитальным моментом 1.
Рассмотрим систему двух частиц со спином 112. Спиновые ВФ такой системы были рассмотрены в п. 4.! 1. Общая СФ операторов с2 и Я„соответствующая синглетному состоянию (Я вЂ” — О), есть ~0,0) = — ' Е~ч-) — ~-+)). ъ'2 Очевидно, спиновая ВФ нечетна при перестановке частиц. Поэтому в состоянии с Я = 0 Ф(г~ — гз) должна быть четной функцией; воз- можны только четные значения орбитального момента 1. Спиновые 15 П.В. Елютии, ВД. Кривчеиков 226 1 вава 13 где А = 1'(Г! — Г2)[21(Г1)[ [!2(Г2)[ 1(Г11(Г2, ,7 =- 3 *1(Г1)! 1(Г2)Ъ'(г! — га)! 2(г1)! 2(г2) г(Г1!(Г2.
(13.5) Величина Г, определяющая разность энергий, называется обивания инее р1!1о.и. 3. При рассмотрении задачи рассеяния двух тождественных частиц орбитальная ВФ должна быть, в соответствии со сказанным в п. 13.2, симметрична или антисимметрична по отношению к перестановке координат частиц в зависимости от их суммарного спина. Это относится к взаимодействиям, при которых суммарный спин является интегралом движения. Вместо граничного условия (9А) мы выберем асимптотическое выражение ВФ рассеяния тождественных частиц в виде у = е' " 3: е ' + ' [Г(сД ~ ((р — с1)) . Верхний знак (плюс) соответствует четной орбитальной ВФ (четный суммарный спин). Дифференциальное сечение рассеяния в этом ВФ триплетного состояния [1,1) = [+,+), [1,0) = — ' а+ — )+ [-+)), [1, — 1) = [+, --), очевилно, четны по отношению к перестановке координат. Следова- тельно, в состоянии с Я = 1 орбитальная ВФ Ф(г! — г2) должна быть нечетной функцией: возможны только нечетные значения орбиталь- ного момента Е В обшем случае энергетический спектр задачи двух тел зависит от 1.
Поэтому возможные значения энергии зависят от полного спина системы. Про такую зависимость говорят, что она вызвана обмвнивм взаииодейо1пвиеи. Если оператор взаимодействия 1'([г! — г2[) двух тождественных частиц со спинам 1 /2 мал (напрнмер, по сравнению с энергией внешнего поля !1(г,)), то взаимодействие можно учесть как возмущение. Невозмушенным орбиталям 1 У1,2,— [!1(Г1)32(Г2) ~ ~1(Г2)!2(Г1)! соответствукзт в первом порядке теории возму ц!ений средние значе- ния энергии взаимодействия Е! 2 = А +,.7, Тожсг есаеенные частицы 227 случае в.И) = ~У(сг)+ У(р — 4)~ с!11.
(13.6) Аналогично, дифференциальное сечение рассеяния для нечетного суммарного спина )в.И) = ~1И) — У(р 1)~ )П. (13.7) Формулы (13.6), (13.7) относятся к случаю столкновения частиц с заданным суммарным олином. Обычно опыты по рассеянию проводятся с иеполяризованными пучками частиц и мишенями и наблюдается среднее значение эффективного сечения. Предполагая равновероятность осуществления каждого спинового состояния, для двух фермионов со спином 1г2 получим 1 3 в~ф — в* + — ви ° 4 4 4. В предыдущем изложении мы ограничивались случаелг системы двух тождественных частиц.
Для рассмотрения систем с большим числом тождественных частиц удобно использовать метод вторичного квантования. Рассмотрим систему тождественных фермионов. Пусть у,. (г7) есть некоторая полная система ортонормированных функций. Выбор этой системы определяется соображениями удобства. Эти функции совсем не обязаны быть собственными функциями одночастичного г а мил щон иана. Для описания системы тождественных фермионов достаточно указать, какие одночастичные состояния заняты: Ф = ~...1„...
1„... 1„н...). (! 3.8) с,си+еде, = О, с~:с+с~се) =О, ь ь с;е„+стас, = 5,~, (13.9) г5* Напомним, что все состояния перенумерованы и номера состояний в этой записи возрастают слева направо. Такая функция соответствует функции (13.3) -- детерминанту, включающему строки с индексами а,, соответствующими единицам в функции (13.8). Функцию (13.8) мы будем называть ВФ системы в прес)стсгелгеггигг чисел эаполненая. Функцию Ф удобно представить в несколько ином виде. Пусть ~О) есть ВФ ваку киного состояния, для которой все числа заполнения в (! 3.8) равны нулю. Введем операторы е, ег,, удовлетворяющие соотношениям 228 2лиаа !3 действие которых на вакуумную ВФ в представлении чисел заполнения определяется правилом сь'/О, Оы О) = (О, 1ь, О), су,.)0,1зи0) = /0,0ь,0).
Здесь и в дальнейшем мы обозначаем через А набор чисел заполнения; 0 означает набор, состояший из одних нулей. Операторы сг + и сь называются фсрни-операпюраии рождения и уничтожения соответственно. Смысл названий ясен из формул (13.10). Свойства ферми-операторов при г = Й рассматривались в задачах к гл. 1.
Из формул (13.10) следует, что функция Ф может быть представлена в виде Ф = сг,с~э... с,ч(0). (1 3.11) Отметим сушественность порядка операторов рождения в этой записи: такая функция соответствует детерминанту со строками (а1, а2,... ). Очевидно, что ВФ (13.11) удовлетворяет правилу симметрии, меняя знак при перестановке а! ~-э ай. Такой замене соответствует перестановка строк детерминанта (! 3.3).
Выше л~ы подразумевали, что речь идет о системе невзаимодействукнцих частиц. Однако функции Ф образук~т полную ортонормированную систему, по которой может быть разложена произвольная ВФ системы взаимодействующих частиц, удовлетворяющая правилу симметрии. 5. Пусть гамильтониан системы тождественных фермнонов имеет вид (13. 12) где !Н вЂ” одночастичный гамильтониан: 6; = р* +Г(ж;), зт, а Р', — потенциал взаимодействия между частицами ! и э2 Т'! = ~'(~г., — г ~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
