Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Второй (полюсный) член в этой формуле можно переписать в виде ур(г,е) — гг2ра(г)го)М(йо)а схр(щт + аг) охр ( — г (еа — гт,г2) г'г гг Здесь использованы введенные в главе 9 обозначения резонансной энергии и ширины уровня: Но =- (д — са ) —, Г = 2да —. яг 62 2гп т Таким образом, при наличии у системы квазистационарного состояния в расплывании волнового пакета можно выделить две стадии. Первая — нерезонансное расплывание, которое описывается членом уо(г,1). Оно связано с наличием в разложении начальной волновой функции компонент с болыпими й и наиболее существенно при малых временах. Вторая — распад квазистациоРг парного состояния, который описывается членом у г(г, 1).
В общем случае этот член не мал по сравнению с уо(г, 1). Функцию у р(г, 1) можно интерпретировать как ВФ состояния с комплексной энергией Е = Ео — гГ/2, убывающую со временем по экспоненциальному закону. Отметим, что ВФ квазиРис. 39 стационарного состояния возрастает при больших г. Поэтому приготовленный волновой пакет не будет совпадать с ВФ квазистацонарного состояния и распад не будет в точности следовать экспоненциальному закону.
4. Рассмотрим в качестве примера потенциал сферической оболочки и(г) = уй(г -- и). Рассмотрим а-случай. Особенности Я-матрицы будут определяться, согласно (9.76), уравнением ггг 1+ гой Н, з((гг)и(г)1п()гг)г'гг = О. (11.11) о 197 Леретады Для вычисления корней этого уравнения нам даже не надо определять регулярное решение УШ при всех г. Очевидно, что при г < а оно совпадает с,1,72 Ят).
Используя равенства Н ", 1я) = — г)1 — е', 3,7 1л) = — а)пя, 10) . Г2 т72я = )/ . '- 11 перепишем уравнение 111.11) в виде 1+1 — — 1 — е' =О. 111. 12) 2т 2т Здесь введены обозначения: т — )са, с1 = да. Полагая 2т = ж + 1д и приравнивая нулю действительную и мнимую части 111. 12), находим р + с1 — сте " соа т = О, ж + с1е "а)п х = О. Этой системе удобно придать вид совал = (1+ — ) ел. ашк е" = — а т Очевидно, что второе из этих уравнений определяет действительную кривуютолько при р < О. Полюсы Я1)с) вне мнимой оси лежат в нижней полуплоскости комплексного й в согласии с общим результатом.
Графическое решение„определяющее положение полюсов, показано на рис. 40. 1га й Рис. 40 2 т ш„2 (~' ) Отметим следующие свойства полученного решения. По мере уменьшения прозрачности барьера 1с ростом ст) действительные части полюсных значений д„стремятся к пра ~, а резонансные уровни энергии — к значениям уровней энергии в сферической яме большой глубины. Мнимые части щ„полюсных значений сильно зависят от и. В пределе при с1 — > оо 198 Г.«пл Выражение для ширины уровней квазистационарных состояний мож- но представить в виде В„= 2ш„о ~' -13(Е„) 1 р„, (! 1.13) т та где )9(Е„) — коэффициент прохождения через барьер дс1(х) Лля частицы с энергией Е„(см.
п 3.9). Соотношение (11.13) сохраняется и в общем случае, если только область внутри барьера достаточно широка: Ы~р.) ' ~ . В самом деле, решение с асимптотикой е'"" можно рассматривать как стационарную ВФ системы с источником частиц единичной мощности в начале координап Пусть прн 1 = О источник выключен. Запишем уравнение непрерывности (11.14) тле Л вЂ” точка, лежащая вне барьера. Учитывая, что при наличии квазнстацнонарного состояния изменение Яг,е) происходит медленно, можно положить з = — ехр ( — — 1) Плотность вероятности ~а(г) = !у1г)/Я внутри барьера существенно болыпе, чем вне его. Поэтому, используя определение коэффициента прохожлення Б(Е), можно записать | а Р1е) о Учитывая уравнение непрерывности, получаем а Г р Р1Е) Л га откуда следует оценка (11.13).
Используем формулу (11.13) для оценки скорости радиоактивного а-распада ядер. Потенциал взаимодействия а-частицы и ядра складывается из сильного короткодействук>щего притяжения при г ( го и кулоновского отталкивания (У вЂ” заря,ч ядра ло распада) 2(У вЂ” 2)е~ а г т Гл иП Умножая разложение (11.19) на з „скалярно, получим 16 —" = ~ь Ъгяь(1)аь. ~й ь Зависимость от времени матричного элемента Г„ь11) включает в себя, кроме зависимости $'11), экспоненциальный множитель Пусть при 1 = 0 аь„, = ф . Представляя аь„1г) в виде разложения по степеням е, в первом порядке получаем На~ ~ И ' = )гь (1), Л откуда аь„) =- — — $5,„(1) сМ. (11.20) о Вероятность перехода равна 'г'ьч е'"""'М 1 шдь =— 6~ (11.2!) Необходимым условием применимости (11.21) является схолимость интеграла: нри 1 -э ж гамильтониан должен совпадать с невозмущенным ЕХо.
Если возмущение стремится к конечному пределу 1шт Г(г.) = И, ~ О, 1 — ~ч-сс то решение (11.20) следует преобразовать. Интегрируя по частям, получаем Ь ь П)гэ" м дК, г.'"'""' Оья ——— Й~к„д~ а~а ыл! 1 е ь д~ (11 э2) Первый член в этой формуле в пределе 1 — э ос определяет поправку первого порядка к ВФ состояния у 1см.
формулу (6.14)). Вероятност ь перехода определяется квадратом второго члена; 2О! Переходы В предельном случае внезапного включения поля '" = 1ь„с!(1), где )хя„= (Й~На. — Н ~и), и формула (11.22) принимает вид 2 изпя — „2 (11.23) "апа Условие применимости формул (11.21Н11.23) состоит в малости соответствующих вероятностей перехода. Поэтому результат (11.23) нельзя использовать для решения задачи, рассмотренной в п. 11.1. Рассмотрим противоположный предельный случай, когда изменение 1х(1) за промежуток времени ехе - и „мало. В этом случае под интегралом (1! .22) будет стоять произведение медленно меняющейся и быстро осциллирующей функции и значение интеграла будет малым.
Рассмотрим возмущение )х(1) = Ъ'о ( — + — агсФя а1) . ~2 р Тогда интеграл в (11.22) вычисляется элементарно: асс ! а1ап ыс! 10 — е/ р ) 1+ (а!)а и вероятность перехода шьп= ", е лап;„.и при иь„» а оказывается экспоненциально малой. При медленном (адиабатическом) изменении внешнего поля система с подавляющей вероятностью будет оставаться в основном состоянии. б. Рассмотрим важный частный случай возмущения, периодически зависящего от времени: )х(г) = )хосозн~. Тогда, согласно формуле !11.20), !П ц, ешащ т е-ч -о ! оь 2й и-~-а п — а где мы ввели обозначение ияп Полагая Я=и+а, В=и — а, 202 Г.«пл для вероятности перехода получим выражение (И„ь! ГЗ вЂ” созе 1 — сояЯ1 1+сояэай — воз Ш вЂ” созЯС) ял 'х л Я2 йЯ (11.24) Вероятность перехода периодически меняется во времени. Если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот системы а, то Л « Я и в формуле (11.24) можно пренебречь вторым и третьим членами: (1! .27) ~Ь,~р-~ 1 — соя Й1 зяз л~ В частном случае точного резонанса 1Л = О) вероятность перехода (11.26) квадратично зависит от времени.
Условием применимости формул (11.25), (11.26) является малость соответствующих вероятностей перехода. Если частота внешнего поля близка к одной из собственных частот; ноз = а, то наиболее вероятными будут переходы между состояниями ~0) н ~1). Пренебрегая переходами в другие состояния, можно ограничиться рассмотрением двухуровневой системы. Отметим, что из (11. 25) следует, что при рассмотрении двухуровневой системы мы можем заменить оператор У неэрмитовым оператором 1 к'1г) = го. — е ™ 2 Пусть на двухуровневую систему действует внешнее поле к'1т) =- г о7 1г) е Ограничившись рассмотрением состояний ~0) и ~1), мы можем представить ВФ системы в виде у1х,1) = афзо(ж)е'""'+ 6(1)З,(к)с"". Уравнения для коэффициентов разложения а(т), о1г) имеют вид 10 — — Ъ"оз У(1) е'"6, Ж гй — = Ъ'шЯ)е ' 'а.
Ж Здесь введено обозначение сз для расстройки частот системы и поля: <1= ню — и Исключая а, из второго уравнения системы (11.27), получаем — — — ~ — 1пз (1) + Ы1 + "' Ь = О. (11,28) Й~ ж ~~й > яз Переходы 2ОЗ Решение уравнения (11.28), удовлетворяюшее начальному условию Ь( — оо) = 0 прн с~= О, имеет вид Ь(Ь) = ь1 ~"" (' М.
ь Вероятность перехода при 1 — ~ ос в состояние ~1), чх тсо~ = а1п —" 1(1)ог = яп Й, л зависит от единственного параметра Й. При значениях Ф = 2Й = (2п+ 1)р система с достоверностью переводится в дружное состояние. Такой импульс внешнего поля называется р-импульсом. При Ф = 2пр система с достоверностью остается в начальном состоянии. Рассмотрим случай отличной от нуля расстройки при ДЬ) = сопв1 (прямоугольный импульс). Решение уравнения (1! .28) имеет в этом случае вид Ъ(1) = с~с'~" + сзе'~", где е б Чг= — -+Й, Чя= — +Й, 2 % ~' Д2 Пусть при Ь = 0 система находится в состоянии (0) (Ь(0) = 0).
Соответствуюшее решение имеет вид Ь(г) = — 1=ехр ( — г в1пйг) . лй ' 2 Зависяшая от времени вероятность перехода есть ю(г) =- в1п Й1. Ь~1Р При наличии расстройки двухуровневая система не может быть с достоверностью переведена в состояние ~ 1) . Максимальное значение вероятности при заданной расстройке тем ближе к единице, чем больше ~'гш ~. 204 Тлп пП 7. Выше мы рассматривали переходы между состояниями дискретного спектра под действием когерентного внешнего поля 'г'(г) = 1 з(г)е "~. Рассмотрим в рамках теории возмущений переходы между парой уровней под действием импульса резонансного внешнего поля (и = нзо), амплитуда которого У(г) обрашается в нуль при г ) Т, 1 < О, а в интервале О < 1 < Т представляет случайный стационарный гауссов процесс с равным нулю средним (~(1» = О и заданной функцией корреляции В(т) = У(~)УР+т». Под усреднением здесь понимается усреднение по различным реа- лизациям случайного процесса.
Вероятность перехода в теории воз- мущений определяется формулой (11.21): ~фЮ о ~ 1'оД ьао~ = — —— дг (Г~(Т» = аш~ — — д(и) й~, (11.29) где спектральная плотность случайного процесса д(и) есть фурье- образ функции корреляции ЯМ) = — В(т)е "'Йт. зр В качестве примера рассмотрим экспоненциально коррелированный процесс д ( т ) ~ я с ~ и у где Ч вЂ” характерное время корреляции. Тогда Ф ) У з + ( ) Так как ~(1) — случайный пропесс, то наибольший интерес предста- вляет средпее по реатнзанияи значение вероятности перехода ющ. Среднее же значение функции г'з(Т) выражается формулой* Переходы 205 ч )Г')т)) =~)О) ) .; ' ("— ) .
— 'и = 2рткБ) Таким образом, если длительность импульса внешне) о поля велика по сравнению со времени корреляции, то вероятность перехода линейно растет со временем: п)о) = 1 ос) й з ' 2РД(0) Т (11.3! ) В общем случае нерезонапсного поля выра>кение для средней вероятности перехода имеет такой же вид, с заменой д(0) на и(ы — )ею). Поэтому формулу (11.31) удобно представить в виде п))п =- ро>п ' 2РТ(ыо>)Т (11.32) где >()ео>) спектральная плотность амплитуды поля на частоте перехода. Формула (11.32) выведена из теории возмушений.
Поэтому она применима только при не слип)ком болыпих Т, пока вероятность перехода и)о> остается много меньше единицы. 8. Если при гармоническом воздействии на систему значение энергии Е-,- = Ео+бы При подстановке последнего выражения в (11.29) интеграл вычисляется элементарно: (г'з(Т)) = >"~ 2с1з ~ — — 1+ с ~"] . Зависимость функции (Гз) от Т показана на рис. 4 !. При Т « « с1 (га(Т)) = ~зТЯ вЂ” вероятность перехода меняется со временем квадратично, как и в случае когерентного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
