Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Найдем унитарный оператор, осуществляющий преобразование поворота системы координат. Выберем представление, в котором в новой системе координат волновая функция у, как функция незави- симых переменных, имеет тот же вид, что и в старой (см. п. 4.! 0). Поскольку при пространственном повороте р преобразуется, как вектор, то для того чтобы уравнение (10.11) обладало правильны- ми трансформационными свойствами, величина Ьа также должна преобразовываться, как вектор.
Оператор, осуществляющий преоб- разование р, известен. При повороте вокруг оси з он имеет вид р = Г~рГ, Г = е'-'. (10. 12) Здесь!. — оператор орбитального момента. Он действует на функ- ции пространственных переменных. Матрицы а, и Ь от простран- ственных переменных не зависят, а поэтому преобразовываться опе- ратором Г не будут.
Из требования инвариантности уравнения (10. 1! ) следуют соотношения е' 'Ьазе ' ' = Ьа1 сов! +Ьая в!п1, е .Ьаае . = — Ьа1я1п1+Ьаясов), з! — — гг с' 'Ьазе ' ' = Ьаз. Используя явный вид матриц 0 в1 о — вз 181 Ретятлвистские поправки Следовательно, в случае свободного движения величина 1+ Х/2 является интегралом движения. Оператор ! = 1+ в = 1+ -'Х 2 (10.13) есть оператор полного момента частицы, в = Х/2 — оператор спина. Рассмотрим проекцию спинового момента на направление импульса свободной частицы ао ! вр 0 0 вр Гамильтониан уравнения Дирака, выраженный через субматрицы, имеет вид 0 вр а 1 0 0 ™ 0 — 1 вр Используя формулу (вА) (вВ) = АВ + 1в [А х В), у (г, !) = у (г) е '"~ , получим еу (г) = Ну (г) .
Выразим четырехкомпонентную функцию у через две двухкомпонентные функции Уз Уз Уз ' Уз Используя стандартное представление матриц а;, !э, получим систему 2 е) = сврс+ гпс 1, 2 ~ = свр) — тс с. (10.14) непосредственным вычислением легко убедиться, что оператор 6 коммутирует с гамильтонианом. Для свободной частицы величина проекции спина на направление импульса, называемая спиральвостыо, сохраняется. Из явного вида матрицы Х ясно, что проекция спина монет принимать лишь значения ~1/2 (в единицах 6).
Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2. Замечательно, что для установления этого не требуются никакие дополнительные предположения, кроме выдвинутых в и. 10.!. 4. Найдем стационарное решение уравнения Дирака для свободной частицы в состоянии с заданными значениями компонент импульса. Полагая 182 Еспвв 10 Волновые функции состояния с определенным импульсом удовлетворяют уравнениям 1гпсз — е) 1 + сирс = О, (10.15) сир) — (гпса + е) с = О. Условие совместности этой системы линейных уравнений состоит в равенстве нулю ее определителя. Учитывая операторное тождество 110.14), получаем гпзс~ — еа+ сара = О, , = ~,й р'т Двум знакам в этом выражении соответствуют два типа решений уравнения Дирака. Таким образом, задания компонент оператора импульса в общем случае недостаточно для описания движения свободной релятивистской частицы: нужно указать еще значение параметра 1.
Решения с 1 = +1 будем называть поломсительными. Одна из двухкомпопентных функций может быть выражена через другую: свр с— 3. увсв 1 е Таким образом, из четырех компонент функции у, соответствующей заданному р, только две могут быть заданы независимо, остальные две определяются при выбранном 1 из формулы 110.16). Пусть ехр (1 — ) = а ехр (г — ), где а — спиновая функция, не зависящая от координат.
Тогда а у(г) = с схр(з — ) шс2 -1- е В систелзе отсчета, где движение частицы является нерелятивистским, е = 1(гпса + Е), где Е « гпсз. Поэтому для положительных решений 1при е > 0) свр с= 1- — 1((1, ввсв ~ в Ъпс а для отрицательных (при е < 0) свр . зтс . с= 1= — — 1))1. тис-' — е р Таким образом, в нерелятивистском предельном случае две из четырех компонент у оказываются малыми по сравнению с двумя другими. Ретятиеисгпские попраики 183 (10.18) (е — еф — те ) ) = св (р — еА) с, 2 l с (е — еФ+ гпся) с = ев (р — — 'А) 3.
5. Уравнение Дирака часто бывает удобно представить в другой, более симметричной форме. Положим ж' = (ег, г) (и = О, 1, 2, 3). Выберем метрический тензор в виде 8, = с1„( — 1+ 2с1„,о) . Введем оператор 4-импульса р =16 п дк„ Тогда уравнение (1ОЛ 1) можно переписать в форме (о'р. — те) у = О., где матрицы 4' определяются равенствами ~"=Ь, у"=Ьаь (Ус=1,2,3).
Матрицы о удовлетворяют соотношению ф'д'+ 9'д"' = 2д" . Индексы матриц о поднимаются и опускаются по правилу 4" = 8"д.. б. Рассмотрим уравнение Дирака для движения заряженной частицы со спином 1!2 во внешнем электромагнитном поле, ко- торое описывается 4-потенциалом А, = (Ф, А). Классическая ре- лятивистская функция Лагранжа имеет вид е' = — п|с ~11 — — + -Аи — еФ.
Компоненты обобщенного импульса соответственно равны Ро=-Ро+еФ, Р=- ' =-Р +-сА, ди с где р' — компоненты 4-импульса свободной частицы. Обобщив пра- вило гл. 2 на релятивистский случай, мы заменим в уравнении Ди- рака оператор ри на выражение для него, содержащее обобщенный импульс. Итак, уравнение Дирака для частицы во внешнем электро- магнитном поле имеет вид ~ф (ри — -'А,) — тс] у == О. Рассмотрим уравнение Дирака в электромагнитном поле в нере- лятивистском случае. Четырехкомпонентную функцию у удобно вы- разить через двухкомпонентные 3 и с: 184 7 лава! д Ограничимся случаем слабого поля е — еФ вЂ” тся « пгс . 2 Выбирая положительное решение и полагая Е = е — пгс2, получим Е) = с в (р — — А) с + еФ), с св (р — -'А) с —-- = ' ° (р--еА1,. ЕЬ2тсг — сФ Ъпс ( с / Исключая функцию с, находим В) = ( — ] ]р — УА)] .~- Ф]1.
Используя тождество 110.14), приходим к равенству Е) = ~ — (р — 2А) +еФ вЂ” — вго1А ~2т с 2тс 110.20) Введем напрягкенность магнитного поля Н = го1 А. Тогда Е) = ~ — (р — — А) + еФ вЂ” (вН) ]2т( с / 2тс 110.21) ед а = шов, по = яспс с магнитным полем. Величина по называется.нагнетало/и Бора, по —— 9,27 10 ~~ эрг Гс Экспериментально наблюдаемый магнитный момент электрона действительно очень близок к значению во.
Для нуклонов имеют место значительные отклонения. Это уравнение для большой в нерелятивистском пределе двухкомпонентной функции) называетсяураенениеи Парги. Соответствуюшее уравнение для 11г) имеет вид гЬ вЂ” ~ — — (р — -'А1 + еФ вЂ” 1вН) з. 110.22) дс '121п ' с / 2тс Дополнительный член в гамильтониане 110.22) можно интерпретировать как энергию взаимодействия собственного магнитного диполь- ного момента частицы 185 Рскативистскис поправки (10.23) + ((и'Н) х р) 3 — (иГ)рзх (10.24) В первом члене в правой части с принятой точностью можно произвести замену Š— Г(г) = —" 2ш Окончательный вид оператора Н: Й = НО + Г! + Г2+ Гз, где Но = — + ~'(г) оп есть обычный нерелятивистский гамильтониан частицы в заданном поле. Первый дополнительный член атзс2 учитывает релятивистскую зависимость кинетической энергии от импульса. Второй дополнительный член ((57сг) х р) з (! 0.26) 7. При выводе уравнения Паули мы пренебрегли членами порядка (те~) ~(Š— сФ).
Поэтому полученное уравнение не содержит релятивистских поправок к гамильтониану заряда во внешнем электростатическом поле. Отыскание таких поправок представляет интерес для атомной спектроскопии. Пусть Л = О, сФ = Н(г). Тогда (Š— Г (г)) 7 = с врс, (2тпс + Š— Г (г)~ с = сир). Учтем члены следующего порядка в разложении (10.20): Тогда для функции з получаем (Š— 1г (г)) 3 = — [1 — ~ вр).
ир 1 Š— 1т(г)1 2 ( г С помощью коммутационного соотноцзения [вр, гвр) = — И, (в ягас1 г') (вр) и тождества (10.14), получаем равенство вр Г'вр = (р — И, ("7 Г" р + 1в ('7 Г' х р1) . С учетом этого равенства уравнение (10.23) принимает вид 186 Ггиав! 0 описывает энергию стгн-орбилшзьного взсггьиоде1)стеня. Он может быть интерпретирован как энергия взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем. В центральном поле г сШ (г) т йт и оператор 1' 2 может быть преобразован к виду С".
= !г х р) — — ' = — 1в. !10.27) 4таса т Дг зтпас~г Дт Наконец, третий дополнительный член 1тз = ' (~717) х7 4т.'са не может быть сохранен в таком виде из-за своей неэрмитовости: 4та с.' Заменяя его в соответствии с правилом и. 2.1 эрмитовой частью, получим которая называется иогдполнногг тонког) структуры. Вычисление поправок от операторов 171 и )гз облегчается тем, что они действуют только на радиальную часть ВФ. В кулоновском поле ядра 17 = — Х!т а а „(1) аа~' 1 З = 4тх1(Г) ЕЗ = . с10. 8 2па (!0.29) 178 = ' '7~17. (10.28) 4~пас' Это выражение называется энергией контактного взсг11эиодействия и не имеет наглядной интерпретации или классического аналога.
8. Рассмотрим влияние релятивистских поправок на положение энергетическихуровней водородоподобных ионов. Поскольку в стационарных состояниях р - лао «пгс, то релятивистские члены малы, и — 1 можно ограничиться их учетом в первом порядке теории возмущений. Введем атомные единицы. Тогда операторы Р и примут вид а -4 а -1 пст 11= Р ~ 12аа 8 2 глт )тз = — ~7~!7. 8 Здесь введено обозначение а для безразмерной величины Лс 187,04 187 Ре7ят77477стские лолрае7п7 Таким образом, контактная поправка отлична от нуля только для а-состояний.
Поправка от члена )71 вычисляется с помощью представления оператора 171 в виде (10.30) Итак, К, ' = — '(В„'72777„'77' ')= ' (— При вычислении использованы результаты задач 5.4 и 5.5. В нерелятивистском приближении энергия электрона в водородоподобном атоме не зависит от спина. Поэтому для вычисления спин- орбитальной поправки можно взять в качестве невозмущенных ВФ общие СФ операторов 72, 7', и!2, рассмотренные в п. 4.13. Учитывая тождество ,2 (2 -2 мояаю переписать выражение для оператора возмущения в виде а 2 1 (2 12 2) (Ц Таким образом, для поправки Е2 имеем выражение Е(') =- ~' -' ~7 (7'+ ).) — (((+ Ц вЂ” -3~ (1 Ф 0), Е( =0 ((=О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
