Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(1), и уравнение (12.22) распадается на пару уравнений: гй — ' = — кгоЖ(т) вг, дг гй — ' = коМ'(г) в . дг 5. Рассмотрим движение заряженной частицы со спином 172 в магнитном поле. Уравнение Паули имеет внд 2 И вЂ” = — 1 р — -А) гР— аго (в.як ) гР. дг 2.т Х е Очевидно, в постоянном и однородном поле М'. ВФ могут быль представлены в виде произведения орбитальной и спиновой функций, причем собственными спиновыми функциями будут состояния с заданной проекцией спина на направление поля: 218 Гдово 12 Эти уравнения могут быть проинтегрированы $ 2 в1 = с1 ехр — '~ Ж'(1) сН, аз = сзехр — — 'Я М'(1) дХ о о ГДС КОНСтаНтЫ С1 И сз ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ НаЧаЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ.
ОТМЕ- тим, что вероятности проекций спина на направление магнитного поля со временем не меняются. б. Рассмотрим движение заряженной частицы со спином в неодо у нородном поле (опыт Штерна— Герлаха). Форма полюсных наконечников злектромагнита и распоРвс. 42 ложение координатных осей изображены на рис. 42. Плоскость аОу является плоскостью симметрии магнитного поля. Г!ри малых значениях з, х напряженность поля можно представить в виде .4;, = Их, Я'„= О, М,' — М5 — Ггя. (12.23) Для простоты рассмотрим движение в ~аком поле нейтральных частиц с магнитным моментом хи спином 1!2 (нейтрон, атом водорода).
Пусть волновой пакет, описываюший состояние частицы, характеризуется при( = О средними значениями х=у=Е=О, х=й=О, у=и. Если размеры волнового пакета малы по сравнению с областью, в которой применимы формулы (12.23), то уравнение Паули можно записать в виде 16— ЕЛ Уя ь',5~у, / О1 . 1 О,1 у, ! уз 1 1 ΠΠ— 1 =1 уз Уравнение для каждой из компонент имеет вид 63 16у1 — ' — — ~ у ~ + хйху2 + х (аРо — й ) у и 2т 16уз = — —,„Ьуя+ Йху1 — х(Жо — йх) у 2т Будем искать решение этой системы в виде (12.24) .ш.жа г'о~,жо 1 у1 — — и1ехр( — 1 ' 1(, уя =изехр(т' ' ().
(12.25) Магнитное иоле 2!9 Подставляя (12.25) в (12.24), полу.чим 6' ообо Ъит = — — 'Ьио + пйпиз ехр (2о ' ~~ — пбяиы зт " (12.26) 6г . п,Жо Низ = — — Ьиз + пйпио ехр ( — 2г' ' 1) + пйяи1 . 2т 6 Экспоненциальные функции в правых частях уравнений осциллируюг с периодом Т=2р —. п,Мо Для значений поля Ж вЂ” 10з Гс и магнитных моментов порядка боровского магнетона е6 зто время осцилляций Т = 10 1 с мало по сравнению с характерным временем пролета частицы через систему т = Л/и. Приняв длину полюсов магнита Л = 1 см, а скорость частиц и = -10 м~с (порядка тепловых скоростей молекул), получим тм10 ~ с. Усреднив уравнения (12.2б) по промежутку времени Ы при условии Т « Ье « т, получим пару независимых уравнений для усредненных функций им иьс 4оо 6 И вЂ” =.
— — Ьи| — пйаиы ои Зт оби 6~ '-~из + пйги2. Й Ъп Каждое из этих уравнений имеет вид нестационарного УШ для частицы в однородном поле, направление которого зависит от значения проекции спина. Поскольку средние значения г для каждого из пакетов удовлетворяют классическим уравнениям движения, то среднее значение Б будет увеличиваться для частиц в состоянии ~+) и уменьшаться для частиц в состоянии ~ — ). При достаточно большом времени пролета смешение волновых пакетов может значительно превышать их ширину.
На выходе из прибора падаюший пучок частиц расщепится на два пучка, в каясдом из которых проекция спина на ось ' будет иметь определенное значение. 7. При рассмотрении уравнения Паули в и. 10.6 мы нашли, что в нерелятивистском приближении частице со спином 1!2 можно приписать магнитный момент 220 Гговг 12 А — — [в х 8тас) -] . Вводя наггрягкенность поля Ж = го1А и используя равенства го1 (А х В) =- Аг((т — В 71(тА+ (В~7) А — (А~7) В, Ж»7 8гаг( — = — 4рй (г), г для оператора (12.27) получим ва 7' = 41яввсз(г) — + — гпя 3 (ае) (вг) ! а гг гг Для отыскания поправки к энергии в первом порядке теории возму- щений надо вычислить среднее значение оператора возмущения 1" по невозмущенным ВФ. Ограничимся рассмотрением в-случая.
То- гда последний член в (! 2.28) обращается в нуль. При вычислении интеграла от второго и третьего членов следует проявить осторож- ность, так как интеграл от каждого из этих членов по отдельности расходится. Однако, учитывая, что 777Я 3 (Йг) (777г) (,-7) (-т7. 1 Гз 75 7' а интеграл может зависеть лишь от относительной ориентации векто- ров в, в, момпго заменить (12.28) средним по направлениям значением (вг!7) (в77) — — 7 — (вв) 77з-. (12.30) г 3 г (12.29) Итак , (я ) 3. (0) го 3 3 пзог Выше мы рассматривали взаимодействие сливового момента с внешним магнитным полем. Аналогичным образом можно описывать и взаимодействие между магнитными моментами частиц.
Если ядро атома обладает магнитным моментом, то при учете взаимодействия электронов с магнитным полем ядра атомные уровни энергии — вообще говоря, вырожденные — — расщепляются. Такое расщепление называют сверхтонког) сгггруклгурой уровней.
Рассмотрим сверхтонкое расщепление в атоме водорода. Оператор взаимодействия имеет вид Ъ' = 2вс [(Ар) — + в.Ж] . (!2.27) Будем рассматривать ядро как классический точечный магнитный диполь с моментом в. Вектор-потенциал имеет вид 2э! Моенитное поле Магнитный момент ядра го связан с его свином г соотношением Таким образом, усредненный по ВФ оператор возмущения 16 вг !г = — потм — — —.
"' оо Собственные значения опертора в! вычисляются так же, как и для 1в: вт = ( (! -1- 1) — г(г+ 1) — я(я+ 1), где через 1 обозначен полный момент атома. Так как я = 1/2, то возможны лишь два значения 1: 1 = 1 ~- 1,12. Для атома водорода (г = 1/2) уровень !а!~2 расщепляется на два подуровня, расстояние между которыми здЕ = — гоощр — о (2!+ 1) — 0,93. 10 зтэрг (12.31) оо мало по сравнению с расстоянием между компонентами тонкой структуры (см. гл.
10). ЗАДАЧИ 1. Показать, что в классическом случае при движении заряда в поле (12.! 3) проекция кинематического момента на направление поля всегда полоюпельна, в отличие от г-проекции обобщенного момента 1 — яро рр, . 2. найти коммутационные соотношения лля компонент скорости тг, заряда в однородном магнитном иоле. 3. Онределить спектр и ВФ заряда в постоянных однородных и азаимно пернендикулярных электрическом и магнитном полях. 4.
частица со сонном 112 находится в переменном магнитном поле сяз(1). при ! = О сциновая функция частицы имела вид с .—. с сове 41 Ч е "в!он! ~— ). Определить среднее значение проекций спина на оси щ, д н зависимость направления поляризации частицы от времени. 5. Определить спииовую ВФ частицы со свином 1!2 в магнитном поле .Эгь —..Элд ВШ ЧСОВИ1, .М'„:,тт'ВШ ЧЯ!НИ!, Ятз .
ьиг' СОВ С!. 6. Два прошив зафиксированы на расстоянии а в магнитном поле напрюкенности,Уг', образующей угол ч с линией, соединяющей протоны. Определззть уровни энергии, рассматривая диполь-динольное взаимодействие как возмущение. 222 1 лава 12 7. Магнитное поле создается кольцами Гельмгольца — двумя круговыми витками проволоки, расположенными в параллельных плоскостях так, что центры их находятся на общей оси.
Ток,7 по ннм течет в одном направлении, радиусы колец и расстояние межлу их цен.грами -- а. Движение влоль оси колец ограничено стенками на рассюянни жЬ от плоскости симметрии (Ь « а). Используя метод, иззгозкенный в п. 11.3, оценить время мгизни квазистационарного состояния электрона, соответствующего низшему уровню Ландау. Положить | = 1 А, расстояние а = 10 см.
г .гава 13 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ О. В классической механике описание движения коллектива частиц в принципе сводится к определению закона движения каждой отдельной частицы. При этом совпадение физических параметров частиц не играет принципиальной роли. Качественно иная ситуация в квантовой механике. Волновой функцией оггисывается поведение всего коллектива частиц. Отдельной частице при наличии взаимодействия нельзя сопоставить ВФ. Если ВФ коллектива совпадающих по своим физическим свойствам частиц отлична от нуля в некоторой области, го вопрос о том, какая именно частица может быть обнаружена в этой области, не имеет смысла. В квантовой механике совпадение физических свойств частиц приводит к их полной неразличимости.
Е Все известные частицы таковы, что ВФ, описывающая коллектив из Аг тождественных частиц, 'рог ° г1м) где г1, означает совокупность координат и проекции спина частицы, при замене % «ггу % ~гй либо меняет знак г'антисимметричггая ВФ), либо остается неизменной 1симыетричная ВФ). Симметрия ВФ не зависит ни от взаимодействия между частицами, ни от наличия внешних полей и определяется следующим правилом. Система тождественных частиц с целыми спинами — система базанов — описывается симметричной ВФ.
Система тождественных частиц с полу целыми спинами — система г1гергггганав — описывается антисимметричной ВФ. В нерелятивистской квантовой механике это правило следует рассматривать как одно из основных положений. Оно называется ггрилцилаи Паут (в широком смысле). Рассмотрим систему из Аг невзаимодействующих тождественных частиц. Гамильтоииаи такой системы имеет вид к †з — 1 г †! Пусть уг (гг) — полная ортонормированная система СФ одночастич- ного гамильтониана Ь. 224 Гдово 13 Рассмотрим коллею ив из Х тождественных бозонов. Обозначим через (и,) произведение функций у,, зависящих от координат и спиновых переменных каких-то определенных кч частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
