Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 35
Текст из файла (страница 35)
и фи' (13.41) Если п и и' не равны 1, то левая часть выражения (13.41) есть нуль. Рассматривая два случая 1) гр = 1, п ~'= г' и 2) и = 1, и' 4'= 1, мы Если спины всех электронов в состоянии Ф параллельны, то НФ = = НоФ. Рассмотрим состояние Ф, в котором суммарный спин системы на единицу меньше максимального. Обозначим через Ф,, состояние, отличающееся от Ф тем, что спин у 1-го электрона перевернут.
Решение УШ ищем в виде 23б Езави 13 получим — 1(Ч вЂ” Чы')(А1Ф вЂ” АзФ ') = (Ез — Ео) ~' АФз п 1 Так как функции Ф, и Фз при з Р з ортогональны, то, составляя скалярное произведение, йолучим ~,7(Ч; — с1. )(А — А,) = (Š— Ео)А (13 42) Для того чтобы функция Ф удовлетворяла теореме Блоха, должно быть (ср. п, б.14) А; = Ае'~ч. (13.43) Подставляя (13.43) в (13.42), получаем Е~ = Ео+,~, 1(Чо)(1 — с*"'"), Чо —— Чз — Чз.
(13 44) о~о Если,1 > О, то энергия состояния с максимальным олином соответствует основному состоянию, а состояния с ВФ Ф=А 5 е'~чФ, 1 и энергией (13.44) описывают возбужденные состояния системы, которые называются спиновыми волнами. злдлчн 1. Считая, что взаимодсйствис между нуклонами в триплстном состоянии описывается потенциалом задачи 5д8, объяснить отсутствие связанных состояний в системе двух нейтронов.
2. Навоз зависимость дифференциального сечения рассеяния поляризованных тождественных частиц со олином 1/2 от угла ь мсзкду направлениями пояярнзации. 3. Потенциал взаимодействия тождественных фсрмионов со спином 1/2 представляет сферический барьер (В » 1). Найти в(ч) для медленных частиц в синглстном и триплетном состояниях. 4. Показать, что величина обменною расшеплсния уровней системы нз двух слабо взаимодействуюшнх зождествснных фермионов со олином 1Г'2 может быль представлена как СЗ обменного оператора Дирака 1 3Рзз = 1 — (1 + взвз). 2 5. Найти СФ и СЗ оператора облзснного взаимодействия системы нз трех злоктронов -"- . (УззРзз + ГззРзз -'г .УззРз~). 6.
Ноказатьь что оператор полного числа частиц 237 7гкксдеслгеенные часлгггпы колгмутируст с гамильтонианом в представлении вторичного квантования. Здесь Ь„ Ь,ь — операторы Бозе или Ферми. 7. Для системы пз гз' тождественных частиц со спином 1гг2 определить максимальное чвсло различных уровней энергии с заданным значением полного спина Я.
8. Показать, что оператор квадрата полною спинового момента системы Х электронов могкет быть предо гавлен в виде 9. Показать, что оператор — ЛиРи ь<г коммутируот с оператором квадрата полного спинового момента. АТОМ 1. Простейшими после атома водорода и водородоподобных ионов системами являются двухэлектронный атом гелия (Е =. 2) и гелиеподобные ионы (У ) 2).
Рассмотрим вычисление энергии основного состояния атома гелия по теории возмущений. В нулевом приближении атом можно рассматривать как систему двух невзаимодействующих электронов в поле ядра: -2 2 2 2 о„= — ' — г — '+ — ' — г — '. 2т г1 21и гг (14.! ) ВФ нулевого приблня ения есть просто произведение одноэлектрон- ных ВФ: Ф (г1, гя) =- — ( — ') ехр ~ — — (г1 + г2)~ . Р ао ао Энергия системы в нулевом приближении есть гтг 2 !ьо = — 2. (14.3) 2ао Взаимодействие между электронами учтем как возмущение. Оператор возмущения имеет вид 2 (тм 12) = + (Г1 - Гг) В первом порядке теории возмущений поправка определяется средним значением энергии возмущения г Е ' = Рос = Фс(гз, г2) -'— Фо(г1, гз)г(г1г!гз (14.4) 712 О.
Энергетический спектр и волновые функции атома водорода подробно рассмотрены в гл. 5. В этой главе мы рассмотрим методы отыскания энергетического спектра и ВФ атомов, содержащих более одного электрона. При этом учет тождественности атомных электронов и требование правильной симметрии ВФ будут играть существенную роль.
Точные решения уравнения Шредингера для системы из трех и большего числа частиц не известны. Поэтому для нахождения спектров сложных атомов мы используем приближенные методы. 2З9 Атии Для вычисления интеграла воспользуемся известныл! выражением — — — У~ (сн! )з) У~* (с12, 22), (14.5) ргг р> 21-~-1 ! рь ьш где индексы <, ) относятся к меньшей и большей из величин г! и гз соответственно. Поскольку ВФ нулевого приближения сферически симметрична, отличный от нуля вклад в интеграл (14.4) дадут только члены с 1 = т = О. Итак, 22!' ='— '( — ) ~ р(2 "') о аг х ~ ехр( — 2 )гасла+ ~ ехр( — 2 )2221гг г! с(г!. (14б) ! ) 2 аа о о Интегралы вычисляются элементарно: Е(') = б_#_ез/8ао. Окончательное выражение для энергии основного состояния: Е уза + 5у'- (14. 7) ао 8 ао Этот результат можно улучшить, заменив в (14.2) величину Я вариационным параметром 2.
Напомним, что вычисления в первом порядке теории возмущений эквивалентны вычислениям с помощью вариационного метода при не наилучшем выборе пробной функции (см. и, б.!2). Итак, Е (2) = — ( з — 222+ -2) . аг г'2 5 аа 8 Минимальное значение Е(з), соответствующее значению 5 .=г— 16 (14. 8) есть г Ео — — —. 1г — -г+ — ) е Р 2 5 252 ао 8 256 т = -'-- (гя — -'-г+ — '-" ) (14.9) Меньшую, чем У, величину «эффективного заряда» з можно обьяснить взаимной экранировкой электронов. Экспериментально наблюдаемой величиной является энергия ионизации 1, необходимая для отрыва одного электрона.
Она равна разности Ео — Ео, где Ео— энергия оставшегося иона— 240 Глава 14 (14.11) Для атома Не формула (14.9) дает значение 1 = 0,85 а. е. Экспериментальное значение 1 = 0,9035 а. е. Как видно из сравнения формул (14. 1) и (14.3), малым параметром теории возмущений е в нашем случае является величина г '. Поскольку для гелия е = 0,5, то согласие нашего расчета с экспериментом может расцениваться как удовлетворительное.
Для гелиеподобных ионов с большим Я согласие с экспериментом улучшается. С другой стороны, при а = 1 формула (14.9) дает отрицательное значение потенциала ионизации. Однако в действительности энергия ионизацни иона Н1 положительна: 1 = — 0,7 эВ. Причины неприменимости теории возмущений очевидны. 2. Выбранная нами ВФ основного состояния (14.2) симметрична по отношению к перестановке пространственных переменных Г1, Гг. В соответствии с общим требованием антисимметричности полной ВФ эта координатная ВФ соответствует состоянию системы с полным спином Я =- 0 (парасостояние). Система в ортосостоянии— состоянии с Я = 1 — должна описываться антисимметричной координатной ВФ. Такая ВФ не может быть построена из двух одинаковых орбиталей. Поэтому в качестве исходных функций используем Функции (14.10) — это ВФ основного и первого возбужденного (2в) состояний частицы в кулоиовском поле.
Из функций у,, уг могут быть построены как антисимметричная орбиталь ортосостояния 1 фв = — [У1 (Г1) Уг (Гг) У1 (Гг) Уг (Г1)[, Л так и симмметричная орбиталь парасостояния 1 ч'в = [У1 (Г1) Уг (Г2) + У1 (Г2) Уг (Г1)1. Л Вычисление поправки по теории возмущений дает -81)-А+~ 2("-А-7 Существенно, что обменный и итеграл в в = У1 (Г1) Уг (Гг) У1 (Г2) Уг (Г1) г(Г1 агг гм положителен. Таким образом„ортосостояние лежит ниже парасостояния.
Расщепление уровней незначительно. Экспериментальные значения энергии возбужденных состояний суть Е, = — 2,146; Е, = — 2,175 (в атомных единицах). 241 А паол г де индексы а и а принимают значения от 1 до Да. Одночастичные функции 2,(а1) предполагаются ортонормированными: 3, (а1 ) 3 ь (аб) ааааа = с~я. Воспользовавшись совпадением пробной ВФ 114.12) с ВФ коллектива невзаимодействующих фермионов, в этом приближении мы можем говорить о состоянии отдельного электрона. Выражение «электрон в состоянии 3 а я применительно к системе взаикаодействующих частиц означает, что функция з, входит в детерминант (14.12). Из вариационного принципа следует уравнение Гамильтониан атома Н в системе, связанной с ядром, имеет вид и ь" Й = ~а )аа+ ~ ~ 'аткь. а кь (14.13) Одночастичный гамильтониан ат, содержит кинетическую энергию и энергию взаимодействия с ядром а-го электрона: )а;= р* зааа Двухчастичный оператор ат,ь описывает взаимодействие электронов: 2 „ 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
