Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Такой случай соответствует задаче о подбарьерном прохождении. Пусть при х > хг. р1х) = 1р1х)1. Тогда импульс р1х) можно представить в виде ри1 = е и1,/~, — ., и* - ..г . Здесь С1х) — функция без нулей. Найдем направления линий Стокса нз точек х1 и х . У точки поворота х1 С1 згг ехр (1, ( — + — ) ), р1х) = С1 хг Отсюда находим направления линий Стокса: =-о 1 = 1 11 31 = г 31 2Р. ги . — г У точки поворота х импульс р1х) можно представить в виде тг хг т, р1х) = Сг~х — тг — Сгтггеги . Направления линий Стокса в точке хг . '1и| х +1 А В С' .+1 В .-~г 32,1г 32 Р~ О +1 — 2 О Зп =,г 32 =Р .— 1 й,— 2 хг — +-,хх Ие х — 2 - 2,, 3 Направления линий Стокса показа- -1-2 — 1 ны на рис.
22. При решении одномерного УШ для состояний непрерывного спектра мы отыскивали решения, асимптотиками которых при х — 1 хос являлись ВФ свободного лвижения — одномерные волны ехр (1йх). ВКБ-решения аналогичны ВФ свободною движения на сопряжен- ных линиях Стокса — линиях, на которых 1т Р1х) дх = О. 17.29) хл В нашем случае сопряженные линии Стокса совпадают с лучами вдоль действительной осн х > хг и х < х1. Рис.
22 126 Гинеи 7 Направление потока вероятности на сопряженных линиях Стокса опрелеляется следующим прлвиепи Хединвеь Если решения у„, у, убывают в верхней полуплоскости, го на сопряженных линиях Стокса они описывают поток вправо. Так, при х > хз волне, распространяющейся вправо, соответствует уз~: в области С, ог раниченной осью х и линией Стокса (+Ц, решение У2 убывает (по определению решение у экспоненциально мало на линии (+Ц). Установим формулы связи между ВКБ-решениями в областях А и С: УГ'=Уз~ Уп =Уз =У~ схр 2 Р(х)ах = Узе — к е1 Ул =е Уг +е Уз. Так как в области А р(х) = е*'(р(х)(, то решения, представляющие в этой области простые волны, лаются формулами ,— 1р/2 ,— гр/2 узь — — в у,, уп — — е у Используя эти выражения, находим формулу связи (7.30) Физическая интерпретация формулы связи (7.30) очевидна.
В области С существует только поток вправо (распространение частицы, прошедшей за барьер). В области А существуют потоки вправо и влево, соответствующие падающей и отраженной частице. По опрелелению, данному в и. 3.3, находим ВКБ-выражение для коэффициента прохождения: 6. Рассмотрим ВКБ-решение в непрерывном спектре при Е > (7о. В этом случае на действительной оси точки поворота от- сутствуют. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда уравнение лля точек поворота р(х) = 0 имеет два комплексно-сопряженных корня (рис.
23): х1 = а + гЬ, .гз = а — 2Ь. Точки х1„х2 мы будем называть комплексными точками поворота. Проводя между точками поворота разрез и полагая х =- а + 12, г(х = е"7 дз, Кеазиилиее(и(еское приближение 127 -)-1 — 2 Рис. 23 3/2 з(р-)-3),)2) х е Отсюда направление линий Стокса у точки х( будет: — Р .-г .-1 .-2 Р 31 = ~ 3) =Р1 3) = Р; 31 з' ' ' з' У точки хг аналогично находим .-)1 2р . '2, .— 1 .— 2 4р 32 = —, 32 — 2Р, 32 =О,.
3' з' Сопряженные линии Стокса выходят из точки х1 под углами О) гр 02 гр 3' 3 и лишь асимптотически приближаются к действительной оси при х — > 3ос. Расположение линий Стокса (+), ( — ( и сопряженных линий Стокса (О) показано на рис. 23. Рассмотрим формулы связи для ВКВ- решений на О1 и на 02: ув=уо УС = УО~ (7.33) ул — уо +е уо.
(р72 По правилу Хединга на 02 функция уоз соответствует потоку вправо, у,') — потоку влево, на 01 направления обратные. Деформнруем контур интегрирования для х, далеких от а, придвинув контур к действительной оси и разрезу (рис. 24). Тогда р(1х = ), рдт+1 р(1х. (7.34) запишем выражение для импульса вблизи точек поворота; р(,)= 4(к)р'(к — и ))( (и — — и*г.) )(732) где А(х) — действительная функция без нулей. Положим р(а) = (р(я)( на правом берегу разреза; угол 3 будем отсчитывать от по- 2 '1 ложительного направления мнимой оси. Тогда вблизи х1 а — Ь = (2 — Ь(е", х — х1=с ~ (2 — Ь). Учитывая (7.32), можно записать р(х) = А1з/ге((Р)~~))2), 128 7лово 7 Положим ач Й = 1т — р(ж) г/ж .
Тогда на левом берегу разреза первый из интегралов в правой ча- сти (7.34) есть — й/2 и 1тк — — й/з-~-ч,'2 :г1 уо г ' уь; уо - е ч~~ "~~у„, (7.35) -'; - ь~з о- ьн О1 где введено обозначение уй г — — схр ~г р(х) дж, Рис. 24 тДр1к)/ а индексы Л, Л соответствуют потокам вправо (Л) и влево (И. Направление определяется по правилу Хединга для ВКБ-решений ус~. Подставляя (7.35) в формулы перехода (7.33), получим (А) ун+ е "7~ ~у ' с — ун (С). (7.36) Физическая интерпретация этой формулы очевидна.
В области С существует только поток вправо (распространение частицы, прошелшей за барьер), В области А существуют потоки вправо и влево. ВКБ-выражение для коэффициента надбарьерного отражения, согласно определению, данному в п. 3.3, есть Ж! Я(Е) = е ~~ = схр — — 1ш 2ш[Š— Г~х)] г)ж . (7.37) 7. Применимость квазиклассических выражений для коэффициентов прохождения и отражения можно оценить с помощькз уравнения непрерывности. Для подбарьерного прохождения ул =-О, 2с = тэ(Е) (мы предполагаем, что поток вправо в области А нормирован на единицу).
Аналогично, для надбарьерного отражения 1пп ул = 1 — Л(Е), 1пп багз = 1. Таким образом, область, в которой потенциал Г(х) заметным образом отличен от нуля, действует как источник частиц. Это физически Кеазикл ассе ческое прнотолкение 129 откуда Р(Е) = ' „, Л(Е) = Аналогично, для надбарьерного прохождения Р(Е) = , Л(Е) = Такое приближение, лежащее за прелелами метода ВКБ, называется прибтжеплел| Кембла.
Коэффициенты Р(Е) и Л(Е) в приближении Кембла лают результат, близкий к точному, при любых Е для полей с потенциалами (7о7'(х/а)при х «1. Отметим, что при Е = Го в этом приближении Р = Л = 17'2. Представим выражение для коэффициента надбарьерного отражения (7.37) в вице (7.39) и1 Л(Е) = схр -- 1гн ~ 1 — ' " с(ж 2 ю ( ((т) х оъ'2гп юл где 2тЕ По Для высоких энергий (шз » 1) интеграл в правой части может быть представлен как разложение по степеням ш '. (7.40) Очевилно, наиболее существенную роль играет первый член (7.40): л(в)= р(-„- =, р(-„- л).
9 П.В. Елютин, В.Д. Кривнснков неудовлетворительно; поэтому выражениями (731) и (7.37) можно пользоваться только при условиях Р(Е) «1, Л(Е) «1. Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы коэффициент при экспоненциально большой на линии Стокса функции (у"' на линии ( — 1, у на линии [+]) менялся так, чтобы выполнялось уравнение непрерывности. Полагая (для подбарьерного прохождения) ау, +и "~ау, л — е и требуя сохранения тока в асимптотической области, получаем 130 7лпеа 7 Показатель экспоненты нс содержит характерной глубины потенциала (7о. Таким образом, в приближении ВКБ коэффициент отражения при заданной энергии остается конечным и при 17о — т О, что физически неудовлетворительно.
Поэтому для рассмотрения надбарьерного отражения частиц высоких энергий точность принятых асимптотических решений оказывается недостаточной*. 8. Выше мы рассматривали ВКБ-решенне для одномерного УШ (7.1). Результаты могут быть использованы н в тех случаях, когда УШ допускает разделение переменных в криволинейных координатах. Особенно большой интерес представляет случай центрального поля (7(т) = Юо7(того), так как к этому случаю приводит задача двух тел. Уравнения для радиальной Л(т) и угловой 1т(с1) частей ВФ имеют вид — — ' (тз — ') + |Š— (7(т) + —,~ 71 = О, (7.41) — (в)пс1 — ') + ( — А —,, ) )т = О; (7.42) здесь А — константа разделения.
Эти уравнения относятся к типу более общему, чем (7.1), а именно: — ' г(х) — '' + т(х, Е)у =. О. (7.43) т(:т) лт, дт, Такое уравнение можно привести к виду (7.1) бесконечным числом способов, определенных с точностью до произвольной непрерывной функции у(х); замена 1(у) у = и(х) у = -' — — , —— сводит уравнение (7.43) к квазикласснческому виду е — ~ + [р'(х)]2[т(х) + е(х)]з = О, где е(х) = — — 1(х) — 1п ]1(х), '(' ) 1, 2 ех [ у у'(т)) ' Е(х) = — ' 1п [г(х)д (т)].
Соответствующее квазиклассическое решение (в исходных переменных) имеет вид у (х) = [т(х) + е(х)] тасхр хг т(х) + е(х) е(х . (7.44) Кесгзикласси ч еское приошли ение В качестве дополнительного условия 1ютребуем, чтобы квазиклассическое решение (7.44) в особых точках уравнения (7.43) имело степенную асимптотику у (х) = х (с1 + сях+...
) с тем же показателем и, что и точное решение. В случае, когда г(х) имеет простой нуль, этому условию отвечает преобразование Поно.иарееп (7.45) приводя1цее к равенству е(х) = О. Для уравнения (7.41) эта процедура нуждается в изменении, так как г(х) имеет нуль второго порядка. Начнем с уравнения (7.42): р(с)) = 1п(к (с1)2). ВКБ-решение в классически доступной области есть У (с1) — соз р(с1) Й1 —— ~/ ми сдф~) 4) Я1 где р(с1) = — А— еш Константу разделения А определим из условия квантования где х = соя с1.
Вычисляя интеграл, получаем А = — (п, + !пз! + 1/2) = — (У + 1/2)Я = — 1', что отличается от точного значения константы разделения Ао = — 1((+ 1). ВКБ-решение для угловой ВФ имеет вид ,..е=)1й ' х соа 1л —,, дс1-— Гливи 7 При 12 » киз н)п 2 г) это выражение переходит в /2 1 / тр Рт Г1ш(С)) = — СОН !11Гà — — — -7! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
