Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 17
Текст из файла (страница 17)
д~, Теорггя ыогнгущешй и ыггрггог)иоггныгг.иыпгог1 Эти условзгя дают и, однородных линейных уравнений н 1Н11 — ЕБи) а1 = О. 16.55) 1=1 Условие их совместности — равенство нулю детерминанта систе- мы 16. 55) — дает уравнение и-й степени, и действительных корней которого являются приближенными значениями энергии. Коэффи- циенты аь1, аьгг ..., аь, определятся подстановкой Еь в (6.55) и дают у1, — ВФ состояния, обладающего энергией Еь. .1о) Отметим„что если в качестве 51 использованы произвольные ортонормированные ВФ, соогве гствующие вырожденному с кратно- стью т состоянию с энергией Ео, то Нгг = ЕО Ьгн = д1нг и условие совместности 16.55) приводит к сскулярному уравнс- нию (6.25) теории возмущений с вырождением.
Рассмотрим случай и, = 2. Тогда уравнения (6.55) имеют вид и1 1Н11 — ЕЯ11) + пг (Н12 Ео12) = О, а1'1Н12 — ЕБ12) + ог 1Нгг — ЕЕгг) = О. Детерминант этой системы есть Тгс11Е) = 1Н11 — ЕЕи) 1Н22 — ЕЯ22) — 1Н12 — ЕЕ12) . Введем обозначения: Нгг Е1 = — —, Ягг ' Тогда 1эы1 (е) ~Е Е) ~Е Е) (и„— ез,г)' ьг ганг яггЯгг В силу неравенства Коши 511522 > Я1~2, поэтому при достаточно больших Е Т)с1 (Е) > О, а при Е = Е1 и Е = Ег )Эс1(Е) < О. Следовательно, один из корней уравнения )Эс11Е) = О лежит при Е < Е1, т.
е. ниже нижнего невозмущенного уровня, а другой —— при Е > Ег„т. е. выше верхнего невозмущенного уровня. Таким образом, учет возмугцения методом линейных комбинаций приводит к оп алкиванию уровней. 14. Используем изложенные приближенные методы для решения задачи об одномерном движении частицы в поле с периодическим потенциалом г'1х). Рассмотрим случай сильной связи, когда ВФ частицы локализована вблизи минимумов потенциала гл1х).
Найдем уровни энергии частицы в поле с потенциалом 1г)х) = ~~г 1г'(гг — па,)г 112 Ггави б считая известными СФ и дискретные СЗ уравнения ьг дг1 Нозт, г + Н(х)зп, 2Р, дкг Пусть Ео — энергия одного из уровней гамильтониана Но. Используем метод линейных комбинаций. Выберем пробную функцию в виде у (х) = ~~( Ап) (х — па) . Функции 5 (х — па) удовлетворяют уравнениям — — (х — па) + Г(х — па)5 (х — па) = Ео) (х — па) .
д .и 2т, Используя равенство (6.55), получаем систему уравнений 2 Ап(Н „— ЕЯ и) =О. (6.57) и В силу периодичности потенциала интегралы перекрьпия Я,„п зависят только от разности гп — и. Матричные элементы Н„„удобно представить в виде Нтп = ЕОНт — и + йт — п1 где введено обозначение е -« =~((* — '( К в(' — "'(((* — "'(г* п пап (6.59) Таким образом, система (6.57) принимает вид Ап (йт- — (Š— Ео) Н .-и) = О и Поскольку потенциал 1'(х) периодический, можно потребовать, чтобы пробная ВФ у (х) удовлетворяла теореме Блоха (см.
п. 2.12): у (х+ гпа) = е' т'у (х) . Ддя этого должны выполняться равенства А = Ае(ьп' и— Тогда из формулы (6.58) следует: Е=Ео+ Х.япеа-я ' здесь введен новый индекс суммирования р = п — пк Теорггн ыггзггущеггий и ыг~риаииоггггыгг.иенгод Если период потенциала а больше характерной длины спада функции 5 (х), то с ростом ~р~ значения Ьр и Яр быстро убывают. Это и соответствует предположению о сильной связи. Учитывая, что Яо = 1, и пренебрегая Яр при (р( > 1 и Ьр при ~ф ) 1, получим выражение для энергетическою спектра Е(Ь) = Ео+ Ьо+ 2Ьг соайа. Таким образом, в случае сильной связи энергетический уровень одиночной ямы Ео превращается в зону ширины 4Ьг, расположенную в окрестности уровня одиночной ямы. 15.
Рассмотрим задачу об одномерном движении частицы в поле с периодическим потенциалом в случае слабой связи, когда в качестве ВФ нулевого приближения можно использовать ВФ свободного движения. Развитые в этой главе методы непригодны для определения СФ и СЗ непрерывного спектра. Поэтому мы воспользуемся распространенным приемом, позволяющим заменить непрерывный спектр дискретным. Потребуем, чтобы исходная ВФ свободного движения удовлетворяла требованию периодичности у (х + Ьга) = у (х) и была нормирована на единицу в интервале О < х ( Хп. Тогда у(х) = е' нгдча Возможные значения Й определяются из условия периодичности Ь„= — Рп (гг=О, х1, 4:2, ...).
Таким образом, возможные значения Ь дискретны, дискретным ста- новится и невозмущенный энергетический спектр Е~О1 Ь-'Ь,', (6.63) 2гн, Теперь для определения энергетического спектра в поле можно использовать теорию возмущений. Зто и соответствует предполо- жению о слабой связи. Учитывая поправки к энергии до второго порядка, получаем гу гг Еа = Ег") + — ~ е гь"еЪ'(х)ег 'ег~~+ ~~ ~~~' ~ ')~ .
г6.64) -'та ~ ~ ' Ео [Ь) Еы(Ч) о над Поправка первого порядка ко всем уровням одинакова. В пределе прн Ьг — г ос она не зависит от гу и есть просто среднее значение 8 П,В. Елютин, В.Д. Кривнсвков 114 Гк~во б потенциала ,(В а Выражение (6.64) применимо, если разности энергий в знаменателе третьего члена не малы по сравнению с соответствующими матричными элементами в числителе. В силу периодичности потенциала ь" (х) вхоляшие в выражение для по- К Е правки второго порядка матричные элементы (чьей) = — е'(" и) 'Ъ'(х)г1х Л отличны от нуля, только если гс — 9 = — гп,. а Невозмушенный энергетический спектр двукратно вырожден по возможным значениям )с.
Поэтому Рис. 19 выражение (6.64) заведомо теряет применимость в окрестности точек К = рп1 и. Возмущенное значение энергии в окрестности этих точек можно определить с помошью теории возмущений для двукратно вырожденного уровня. Пренебрегая всеми матричными элементами, кроме (к — 2рз1 аЧЪ'Я, при )с, близком к туп~а, получаем — (Еь+ Е„) ~ (Еь — Еч) + 4~'~ .
(6.65) Дискретный спектр как функция и в невозмушенном и возмущенном случаях изображен на рис. 19. При значениях й„= ргггго в дискретном спектре (квазинепрерывпом при больших Х) возникает запрешенная зона ширины сз„= 2ра„ч„. Отметим, что с возрастанием и размеры запрещенных зон убывают. злдлчи 1. Вычислить, ограничиваясь псрвым порядком теории возмущений, спектр в- состояний в экранированном кулоновском потенциале г ет(г) = — — е при 1 >) ас. Оценить максимальное и, при котором применима теория возмущений.
2. Найти поправку первого порядка к энср гни основного состояния атома водорода с учетом конечности размеров ядра. Ядро полагать однородно заряженным шаром Тегг)гггл еознуи!ений и еаоиаг(иоииыгг.мел!од 115 радиуса Е. Оценить границы применимости результата для мсзоатомов, в которых одни изэлектроновзаменснх-мсзонон(щ,,-207щьм Я А" з 1,25 10 'з см, где Л -- число нуклонов), 3. Вычислить поправку первого порядка к уровням гисргии гармонического осцнллятора ()г, т, и .—" 1) при наличие возмущения )г .—.— ет". 4. Показать, что для частицы в а-состояниях в кулоновском попс цснтробелгный потенциал нсльзя рассматривать как возмущение при ЕгН « Его,' Указание.
В области выполнения неравенства сравнить результаты с разлогкснисм точного решения. 5. Вычислить поправки первого и второго порядков к уровням энергии гармоничсского осциллятора(л, ии и — 1) при наличии возмущения !г егз. сравнить с разлолгснисм точного решения. Оценить радиус сходимости ряда. 6. Найти поправку второго порядка к энергии основного состояния атома водорода в однородном электрическом поле.
У к аз а н и е. Решить уравнения для поправки первого порядка к волновой функции у! г. 7. Нанти поправку первого порядка к СЗ эрмитовой матрицы 1То прн наличия возмущения е)Э: Сравнить с разложением точного решения. В условиях задач 6.8 — 6.!2 использованы следующие обозначения; Еа, Ег— энерпги основного и первого возбужденного состояний, Р:,,', Е, — оценки сверху и сниз~, гг(х, а) — пробная функция. 8. Используя ц(х, а) = х с1г' ' (ах), найти Е, для гармонического осциллятора, положив гг, пг, и = !. Проверить выполнение теоремы внриала.
9. Найти Ео для гармонического осциллятора, используя а) с1г (х, а) —.. е о) цз (х, а) = 1 — а'х~ (!х~ < а ); в)гзз(х, а) = (1+ах ) е Указание. При вычислении Е с пробными функциями цг (х) и дз(х) учесть разрывность цг(х) при х — — — О. ! О. Вычислить Ее для гармонического осциллятора, используя ц(х,а,Ь) =- е ""' совЬх. У каза и и с. Уравнения для параметров а.
ь удобно решать методом итераций, приняв в качестве нуловог о приближения для а значение, полученное в задаче 6.9, а). 11. Используя неравенство (6.45) и прооную функцию (6.46), нанти Ее для гармонического осциллятора. 12. Доказать неравенство уг Ез Ео> !2— Ег — Я 11б Глина б Указание. Рассмотреть интеграл тт .— — ~ у (Н вЂ” гуо~ (Н вЂ” Нз) у г(х. 13.
Используя варнацнонный метод, решить задачу 3.8. 14. Доказать, что с ростом 1 энергия наинизшего связанного состояния частицы в центральном поле с моментом 1 возрастает. 15. Вычислить энергию основного состояния ангармоиичсского осциллятора (е«1) Н= — (р -гх +ег ) 2 используя пробную функцию Ч(х, а) = е""', с точностью до е . Сравнить с результатом задачи 6.3. 1б. Докиать слслуюшую формулу; используя для определения Е~'О теорию возмущений Ьриллюэна — Внгнера.
17. Найти поправки первого и второго порядков к энергии уровня в поле (г(х) = — дп(х] при наличии возмущения аэ (г(х( = е1"о хз -~- аэ Глава 7 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ (7.2) где т(х) = г1 — 7'(х). Подставив в (7.2) решение вида у(х) = схр — 4(х) о(х, (х 2 (7.3) получим для д(х) нелинейное уравнение Риккати гх — ~ + т(х) — гГ2 = О. (7.4) дх Решение уравнения (7.4) мы будем искать в виде асиыптотического ряда по степеням х, полагая х малым: фх) = ~( — гх) с1„(х). (7.5) Подставляя (7.5) в (7.4), приходим к рекуррентным уравнениям дч 1 Е ( ) 1 ) ос-В О. Рассмотрим метод отыскания приближенных СЗ и СФ для одномерного уравнения Шредингера, носящий название квазиклас- сическоео приближения или эиетода ВКБ — по именам Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
