Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(5.9) а — ~ Оа Рассмотрим одномерное УШ с потенциалом !/!!х!) = !/ (г). В поле с четным потенциалом ВФ либо четны, либо нечетны: ВФ поповна~ о состояния у<>(х) не обращается в нуль в силу осцилляционной теоремы, и поэтому функция у о (г) не удовлетворяет условию !5.7). Функция первого возбужденного состояния у,(х) нечетна, так как имеет только один нуль; соответствующее решение у,(г) удовлетворяет условию (5.7). Таким образом, дискретный спектр для радиального УШ (5.5) содержит хотя бы одно значение, если дискретный спектр одномерного УШ с потенциалом Г(!х!) = Г(г) содержит не менее лвух значений. Последнее условие выполняется не все~ да.
4. Если моногонный потенциал притяжения Ь (г) < 0 слабо сингулярен при г — 0 (1йп Ю)г)г~ = 0) и убывает при г — > оо быстрее, а — ~о чем г, то существует некоторое предельное значение момента Ь такое, что при 1 ) и связанные состояния отсутствуют (кривая ~) на рис. 13).
Необходимым условием существования дискретного спектра является И существование области г! < г < тэп в которой У!(г) < 0 (рис. 13, а и р). Будем рассматривать 1 как непрерывный параметр. р С ростом ! корни г и г2 уравнения а!1г) = = 0 сближаются, переходя при 1 = е|~ в двукратный корень го. Пусть Бг1г) = 1/о)'Яа). Тогда в точке го Рь(го) = О, 1 (го) =О,т.е. ГоХ ( — ~ =-,, (5 10) ' а/ 2гага а С'о у1 (г ) 2ь!ь -Ь т')Л а ~а/ 2гаг~ Разделив (5.! 0) на (5.11), получим уравнение, определяющее го = = пхо.' / !хо) = — — / (хо), 2 82 Гтиви 5 зависящее только от вида функции йх).
Подставляя это значение в (5.10), получаем ь(ь+1) < ", "1(хо) =Итхойхо)), (512) где  — борновский параметр (3.12). Максимальное значение ь, совместимое с (5.12), обозначим ьл . Величина в фигурных скобках есть безразмерная константа порядка единицы. Таким образом, при В))1 ~.л = ътВ. ао = ' =- 0,529 10 см, дт атет называемую ттттрттвскттм ретдагсатт, и времени 1о = = 0,242 10 'ос. тает Эти величины определяют типичные пространственно-временные масштабы лля атомных систем, поэтому их удобно использовать в качестве основы системы единиц (так называемые атомные вдттнттт1ьт). Уравнение (5.13) имеет в атомных единицах (при Я = 1) вид '(' '"Л 2(В '') Л= О (514) ттгт т ттт тт е/ При Е ( 0 движение финитно и энергетический спектр дискретен.
Нас интересуют решения (5.14), квадратично интегрируемые с весом г~. Введем обозначения: 2г х=— и 1 тт — 2.8 ' Уравнение принимает вид '"+-''~+ ~" ' '"+" л=о (5.15) т1ет т Лг '1г 4 те 5. Рассмотрим энергетический спектр и ВФ связанных состояний для системы двух зарядов. Связанные состояния существуют только в случае притяжения. Такая система описывает свойства атома водорода и водородоподобных ионов (Не, 1 )т и т. д.), Уравнение для радиальной ВФ: т1тт г дг тт л' ~ т~ где константа а, характеризующая потенциал, есть Яс . Здесь е— 2 заряд электрона, а а — целое число, равное заряду ядра в единицах е.
Константы е, га и тт позволяют построить величины с размерностью длины Центри»ьное поле Найдем асимптотики радиальной функции Л(г). При х — » ж, опуская в (5. (5) члены х ', х 2, получаем д'В 21 л г Поэтому при больших х Л с~'~2; требованию нормированности удовлетворяет только Л - е "2. Асимптотики при и — » 0 были определены в п.
5.2. Подстановкой Л(х) = х е "г на(х) уравнение (5.15) сводится к виду* х — + (21 + 2 — х) — '' + (и — 1 — 1)ао = О. нп" нп Решение этого уравнения, конечное при х = О, легко найти, подставив ш(х) в виде степенного ряда Π— и (Π— п)(1 — п) пг О ч 1 (О + 1)(1 + И 2! + (Π— п)(1 — п)(2 — и) п~ — +..., (О + 1)(1 + 1)(2 Ь 1) 3! (5.17) где Е„= — —. (5.19) Число и называется ааовныи кеонтоеыи ннслояь В обычных единицах это выражение имеет вид Яи = — га '",,"' .
(5.20) вагапа Эта формула была получена Бором (1913 и) на основе старой квантовой теории, Паули (1926 а:) из матричной механики и Шредингером (1926 г.) с помощью решения дифференциального уравнения. Задача о спектре атома водорода представляет уникальный пример проблемы, допускающей точное решение, прекрасно согласующееся с экспериментом. ! =- 2) + 2. — х.
= — и + 1+ 1. При х — » оо функция ао(х) должна расти не быстрее конечной степени х, для этого и должно быть целым. Тогда ао(х) будет полиномом степени п. Итак, — и+1+1 = — )гг п = 1+1+ 1 (й = 0,1,2,...) (5.18) при заданном значении 1. Отсюда, используя определение и, находим энергетический спектр 7 ливи 5 6. В классической механике при движении в кулоновском поле притяжения (7(г) = — а(г сохраняется ввкпюр Рунге — 7ениа. г+ 1 (5.21) г т,а Докажем это дА 1 [ .
~ г(гг) — г(гг) вг та тв Из уравнений движения находим Используя тождество [г[гг]) = г(гг) — г(гг), получаем д~А [1г) + (г(тг,г)) 0 (5.22) Ж тгв тг' В квантовой механике вектору А сопоставляется оператор А = -'+ -'([)р~ — [рЦ. (5.23) Мы положили У = 1 и использовали атомные единицы. Оператор А коммутирует с гамильтонианом Н=Р— — -'. 2 г Компоненты А, связаны коммутационными соотношениями '[А;,А ~ = — (е ь(ь 2Н с компонентами оператора орбитального момента. Компоненты оператора Рунге — Ленца не коммутируют с компонентами 1,", в силу общих соотношений (4.8) 1, А.~ = (ео.яАы (5.25) Наличие не коммутирующих между собой и сохраняющихся (т.
е. коммутирующих с Н) операторов А,;, (З ведет, согласно общим результатам п. 1.18, к вырождению собственных значений гамильтониана Н частицы в кулоновском поле. Непосредственно из формулы (5.18) видно, что состояние с главным квантовым числом и вырождено по значениям 1 с кратностью д = п. Такое вырождение, связанное с наличием дополнительного интеграла движения (5.23), специфично для кулоновского поля и называется случайныи, Центрильное ноле Как и во всяком центральном поле, состояния с заданными значениями п и 1 вырождены по величине проекции момента с кратностью 21 + 1. Таким образом, полная кратность вырождения состояния с главным квантовым числом п есть н-1 С = ~ (21 + 1) п2, 7. Состояния атома водорода с квантовыми числами п, 1, гп мы будем обозначать векторами ~п 17п), указывая значения квантовых чисел всегда в таком порядке. Радиальные ВФ определяются формулами (5.
16) и (5.! 7) и зависят, в силу центральной симметрии, только от и и й (5.26) где А„1 — нормировочные множители, а Т „,1 (г) — полиномы Лаг- 21-~-1 гера, которые с точностью до постоянного множителя определяются первыми членами разложения (5.17). Приведем выражения для простейших случаев: (1в) ' 7'1 1~ ( в) ' 7'2 (2р): ззз = 1. (Зя); 1 =1 — 2г+ 2 г'. 3 27 Так как угловые части ВФ, определяющие СФ операторов / и (,„мы выбрали нормированными, то радиальные ВФ следует нормировать условием Г Й,1(г)г г(г = 1.
о Нормированные радиальные функции имеют вид Приведем явный вид полных ВФ состояний 1е, 2л, 2р с различными проекциями орбитального момента: /1,0,0) = — е /2,0,0) = — (1 — -) е ~2,1,0) =1 ге '1 соло, 4ъ~2р ~2,1,~1) = ~1' ге "1~в1пс1 е~п. 1 'в,г 86 Гзова 5 8. При рассмотрении задачи двух тел в п. 5.0 мы нашли, что система описывается ВФ вида Ф(гы гз) = Ф ( 1 1 э а ") у(г1 — гз). (5.28) Если между частицами существует взаимодействие, то у(г1 — гз) не есть ВФ свободного движения.
В этом случае Ф(гы гз) нельзя представить в виде произведения ВФ частиц 5 (г1) 5 (гз): переменные, которые разделяются в УШ, не есть координаты частиц. При наличии взаимодействия между частицами, волновой функцией описывается лишь система в целом, но не каждая из частиц. В соответствии с основным положением А2 это означает, что теряет смысл понятие состояния отдельной частицы.
Для каждой подсистемы можно ввести некоторый оператор, который позволяет вычислить все величины, относящиеся к этой подсистеме. Ограничимся случаем, когда подсистема есть отдельная частица. Пусть ~~ — оператор, действующий на координаты частицы 1. Тогда его среднее значение можно представить в виде 11 = Ф*(гы9)1зФ(гз 9)4г1 (Ч: (5.29) где 9 обозначает все, кроме гм аргументы Ф. Интегральный оператор с ядром г(г'„гз) = Ф*(9, г1)Ф(9, г1) д9 называется патрулей плоьчности частицы 1.
Из сравнения с (5.29) получаем выражение для среднего значения оператора )п У1 =ВрУ1 . Очевидно, матрица плотности есть эрмитов оператор г (г. г ) = г(г, г). Диагональные элементы матрицы плотности )~2) определяют распределение вероятности координат частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
