Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Потребуем, чтобы компоненты А, Ая, А„имели один и тот же вид в системах Е' и Е. Разумеется, средние значения оператора А, вычисленные в системах Г, Е, должны совпадать, если рассматривать их из «неподвижного» пространства: | у' (х, р, г)(А 1'+ А„3'+ А.-)с)у'(х, 13, г) дг = МО.Н«НО7 с 'му (ж,у,з) = 5(аху, ) При этом е н" Аен-' = А', или, используя формулы (4.5), А~,=А,сов)+Алаш)=е п=зА,е' А~ = -А, вш 5 + Ая сов 5 = е-им А«е' А', = А. =. е ' 'А,е' ".
-Й. Разумеется, переход к новому представлению осуществляется унитарным оператором, позтому коммутационные соотношения (4.6) не изменяются. Такое представление удобно для нахождения интегралов движения. Заметим, что оператор Аа есть инвариант по отношению к поворотам: — н ~Аз г1,о А(2 Ая Следовательно, [(оА'1 = О.
(4.7) Если оператор Гамильтона имеет вид Н= — "+(7( )., то при враШении вокруг произвольной оси, проходяШей через начало координат, он сохраняет свой вид. Следовательно, ((зй1 = О. и операторы Ц являются интегралами движения. Отметим, что представление, рассмотренное в п. 4.2, аналогично представлению Шредингера — используются инвариантные операторы и преобразующиеся функции, а представление, рассмотренное в п.
4.3, аналогично представлению Гайзенберга — используются инвариантные функции и преобразуюшиеся операторы. б) компоненты векторного оператора А„А„, А имеют один и тот же вид в различных системах Е, Г; в) векторы среднсго значения векторного оператора А в системах Е и Г совпадают для наблюдателя в «неподвижном» пространстве. Можно перейти к другому представлению, в котором координатная ВФ при переходе от Е к Е' не меняется, а сами векторные операторы преобразуются как векторы.
Переход к такому представлению в случае поворота на угол 5 вокруг оси осуществляется оператором (7( ): 62 Упоев 4 4. Пусть А, суть компоненты векторного оператора, действующего на функции координат. Операторы 1и удовлетворяющие комму- тационным соотношениям [(',А) =9~,ьАь (4.8) [)п)1 = (е> ь(>п (4.9) где е, .ь — единичный антисимметричный тензор, называются компонентаьзи оператора г>рб>итптьного мишенью.
Далее, из (4.7) следует: [1;,1 ) = О. (4.10) Разумеется, (4.10) можно получить и как непосредственное следствие из (4.9). Имея в виду дальнейшее обобщение, рассмотрим спектр векторного оператора момента,7, компоненты которого удовлетворяют соотношениям [,У;,,Уь) = (е>ь>.3 .. Оператор квадрата момента,Уа коммутирует с каждой из его компо- нент. Следовательно, существует общая система СФ: 2 У99 ~У99' ,У,у Операторы,У> и Уь (( ф к) не коммутируют и общей системы СФ не имеют. Найдем спектры операторов У~ и У,. Введем операторы ,У| —— ,У.„. + 9,У„, ,У =,У, — 7,',У„. Рассмотрим коммутатор [,У,, У+1; Ут,У вЂ” У~ У> = [У9 ..У,1 ~ ( [У„,У9) = (У„з-. У„ 292, — 2~(,У.
*1), 2,(2 у,„) = (в*1)(2 у,„„). Следовательно, Уьу суть также СФ У, с собственным значением 9> ~ 1, т. е. ~ У9'" 1 91 99 — У99 ~'~вУ9,9 1 ' Так как а = (,>чу „му 9) = (у, И,У у„) = Ь9, Мовене то подбором фазового множителя вида е" (а — лействительное) для функций у„„можно сделать а. действительным и равным Ь,. Тогда (4.11) Так как уз+уз+ уз1 ) з+ +б ° — (у„„Ф,.„) = (У*у...: У'у„.) ' о Ь = (у,. У'„-~,.) = (Уя~... 2я~,.) ~ О (норма любой функции неотрицательна), то у)в. При фиксированном о значения ж ограничены сверху и снизу.
Пусть ь и 1 есть соответственно наибольшее и наименьшее значения в при заданном ч; У,у =О, У у„=О. Используя операторные равенства 1,7.ь =,7~ — У~ — У„ у у уа уз+ у действуя (4.12) на у и (4.13) на у,„получаем о — и — в=о, о — 1 — 2=0, 2 2 (ь — 1+1)(т. ~-1) = О. Так как по условию ц > 1, то ь = — 1=,У.
(4.12) (4.1З) Отсюда получаем о =,У(,У+ 1). При заданном д проекция момента п принимает 2 1+ 1 отличающихся на единицу значений: от У до —,У. Поэтому разность т,— 1=2.У или полуцелые, ЛХ =- 1 + 1У2 (й =- О, с1, =Е2,... ), числа. Заметим, гто состояние с заданным о = У(У+1) вырождено с кратностью 2,У + 1 по значениям проекции момента ЛХ. Это есть частный случай установленного в п. 1.18 правила: операторы У; и,7ь коммутируют с,Уз, но не коммутируют между собой. Под должна быть целым числом.
Таким образом, собственные значения проекции момента,У.- (мы будем обозначать их буквой Л!) суть целые, ЛХ=1 (1-=0,х-1,-Е2,...), б4 Хяпап 4 «состоянием с моментом .7» мы будем понимать состояние с д = = Х(Х + 1), в котором максимальное значение проекции момента есть Х. Такие состояния будем обозначать ул м или ~,ХЛХ). 5. Найдем матричные элементы операторов 1,,7я в представлении, в котором .Хз и,У.- диагональны.
Из (4.11) и (4.12) имеем а Х- Х~-уэм ~ =- амХ узм = а муз м ,Х(Х + 1) — (ЛХ вЂ” 1) — (ЛХ вЂ” 1) = азат, (4.14) ам = Подставляя (4.14) в (4.11) получаем Хзудм-~ = (Х+ЛХ)(Х вЂ” ЛХ+1)уэм. Следовательно„матричный элемент оператора Х ~ есть (ХЛХ(Х,(Х.,ЛХ вЂ” 1) = (Х- ЛХ)(Х- и+ 1),1 „. Аналогично (ХЮ Х-~~ М) = (."+ ЛХ)(Х М+1)эн,м-н Используя определения операторов Хз,,Х, находим (3М(1 ~,Х, М вЂ” 1) = — (Х + ЛХ)(3 — М + 1), ( ХЛХ(Яд~.Х М 1): ( У + М)(Я М + 1) ° 6. Из коммутационных соотношений (4.8) следует, в частности, [1„рь) = гелчрь Таким образом, существуют общие СФ операторов 1- — проекции момента на ось а и р. — проекции импульса на ось з. Гамильтониан свободного движения может быть представлен как квадрат векторного оператора. Поэтому существуют общие СФ операторов Но, 1 и 1,. Свободная частица может находиться в состоянии с определенными значениями Е, 1, пз.
Через тп мы здесь и всюду в дальнейшем будем обозначать проекцию орбитального момента на ось ж Рассмотрим оператор орбитального момента одной частицы в сферических координатах г, с~, ): = гсоа), д = гашс1а1п), х = гвшцсоа). (4.15) Момент 65 Ф (г, ц, 1) = Ф + с!а ~ — — + — — ), с 1дФдч дФд1! ~, дс1 да д! да) Ф'(г, с1, 1) = (1 + 1!ада) Ф(г,с1. 1). (4.! 7) (4.18) Так как при таком повороте в = я+ус!а, у =- д — яда, х =- и, то из формул (4.15) получаем г соя(с! + с)с!) =- г сов с! + г вш с! яш 1 с!а. (4.19) г вш 1 яьпп(с!+ с)с1) = г вш с1 я)п 1 -- г соя с!да. (4.20) Первое из этих соотношений дает — вш с!с)с! = вш с!гйп 1 да, — = — в1п 1.
дч да Из соотношения (4.20) получаем сов о вш 1 дс! + вш с! соя 1 дз = — сов стда, дз, с .дч сов 1 яш с! — = — соя с! — сов с! вш да да Подставляя сюда (4.21), имеем ~ = — стй ст сов ) . (4.22) да Подставляя (4.21) и (4.22) в (4.17) и сравнивая правые части (4.17) и (4.18), находим ,lе .д .дт =- 1( вш) — + сгй с!сов 7' — !. дс1 дз Рассматривая поворот вокруг оси у, получаем ./ .д ..д~ 1л — — 1( — сов 5 — + с18 с!вш дч дз 5 П.В.
Елютин, В.Д. Кривчснков Пусть Ф(г,сь)) — ВФ частицы в системе Е; Ф'(т.,с1,1) — ВФ частицы в системе Е'. При повороте системы координат на бесконечно малый угол вокруг оси Фс(г, с1, 1) .— — Ф(г, с1, 1 + с!а) =. Ф+ с!а —, д! ' Ф (т. с1, 7) = (1+ Л,да) Ф(т, с1,1). Из сравнения правых частей этих равенств следует: — =Л,Ф, 1а = — з —. (4. 16) дз ' дз При повороте системы координат на бесконечно малый угол вокруг оси т 66 Глава 4 Отсюда находим и явный вид операторов (э, 1: д . д 1+ = ехр (з 25) (.х — + 2 с1бс1 — ), 2 2Г1д21дг.д11 г + 2 + = | г 2 + ( 2 ))' |М222Чд12 Мпядл(, дЧ)2 Последний оператор с точностью до множителя есть угловая часть оператора Лапласа.
7. Рассмотрим СФ оператора проекции орбитального момента. Из (4.16) получаем дФ 1,Ф = тФ = — 2',—, дз откуда (4.24) ъ% где значения гп, в силу коммутационных соотношений, могут быть как целыми, так и полуцслыми. Потребуем эрмитовости оператора 1,: з, г р 2 «*Где(1 = дЧ-«г11 + «*Я2р) — «*д(0). о о Таким образом, оператор 12 будет эрмитов на классе функций, удо- влегворяющих условию «'д(2р) = «*ДО). (4.25) СФ 12 принадлежат классу 1 з(0, 2р) и удовлетворяют условию эрми- товости (4.25). Этому условию удовлез воряют также любые диффе- ренцируемые ВФ, разложимые по Фьч(5); Г(1) = ~~1 аье' ", к = 0,~1,~2,...; ь С(З) = ~~ ояе' ', Й = х —,~ —,..., только с целыми или только с полуцелыми значениями т, но не ком- бинации функций Г и С.
Выбор возможных значений т делается на основе сравнения с экспериментом. Величина проекции орби- тального момента может принимать только целочисленное значение (в единицах гг). Рассмотрим общие СФ операторов 1, и 1-. Из (4.14) следует: 1-У1т = (1+ "')(1 "'+ 1) Угт-0 '- ул = '21у24- . Момент 67 По индукции можно показать, что ГЫ (2Ц! (( — ) УП= ~/ „,,У11 — Ь Полагая ( — й = т, получаем (1 + т)! У1т,, ( — ) Ул. По определению (4.26) Т,у„=О. Используя (4.23), подстановкой у 11 —— е11' Он(а) О2р получаем уравнение — = 1 с18 ст Од. с10л Нч Отек~да Оц = А вгп 1 Определяя постоянную А из условий нормировки, получаем 011 =- ( — () ~( ' ' — гйп с1. (21 Ь 1)! 1 2 2'11 Формулы (4.24), (4.26) и (4.27) полностью определяют вид собственных функций оператора( — сферических функций У1 = — е' '( — 1) 11 ( )( )1 Р1 '(соа с1), (4.28) % 2(1 + т)! где Р1 (соа с1) — присоединенные полиномы Лежандра: Р1т(сов с1) = — гйпт с1 (соаз а — 1)1.
2'11 (с1 сов ч) Мы будем использовать также обозначение П1 (сов с1) для нормированных присоединенных полиномов Лежандра: П1"'(сов с1) = ( )( ' )1 Р1т(соз с1). 2(1 Ь т)! 8. Онеритор инвереин Р, введенный в и. 1.2 для одномерного случая, меняет знак всех координат: Р-'(ж,у. ) = з( — т...— у,— е). При инверсии правая и левая системы координат переходят друг в друга. Определенный таким образом оператор Р эрмитов и унитарен.
68 Гзовп4 В силу равенства -а Р =Т СЗ оператора инверсии равны ~1. СФ оператора Р называются четными при Р = 1 и нечетными при Р = — 1. В нерелятивистской квантовой механике гамильтониан замкнутой системы при дискретном унитарном преобразовании инверсии остается инвариантным: РНР=Р НР=Н. Поэтому гамильтониан коммутирует с преобразованием инверсии. Следовательно, четность состояния является интегралом движения. Оператор инверсии Р коммутирует и с каждой компонентой оператора орбитального момента ~Р,Я =0.
[Р,Ц =0. Следовательно, аау, = а(а+ 1)у,. Пусть у — общая СФ операторов Р, 1 и 1.. Тогда из последнего 2 равенства вытекает, что четности состояний, отличающихся только значением проекции орбитального момента, совпадают. Определим четность состояния одной частицы с моментом 1: Ру( ь)) =-- у(г,р — ы + з) Зависимость ВФ от углов определяется СФ момента (4.28): у = Р, (совс1)е Ру = Р~ ( — спас~~волге' ' = ( — 1) Р~ (сов ц)( — 1)™е"'..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
