Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 7
Текст из файла (страница 7)
васк Из теоремы Хеллмана — Фейнмана получаем 2 — = — (гг,~ — — ~п,) = — (и( ~ — 1 — ) (и) . 1В В ' ав ' В ' (, '1в) Величина в обкладках в последнем выражении представляет собой квадрат эрмитова оператора; его среднее значение для всех нормируемых функций ~п) положительно (ср. задачу 1.15). Таким образом, для любой потенциальной ямы ~ )О (3.14) относительные энергии связи состояний дискретного спектра при возрастании борновского параметра монотонно возрастают. 4. Рассмотрим задачу о слабой потенциальной яме (В « 1) в наиболее важном случае Н = (7г = О.
Пусть, например, яма заданной формы углубляется и сужается так, что Го — ~ ж, а — ~ — О, а ее емкость остается постоянной. Это условие описывает (слабый) предельный переход потенциала в б.-функцию Дирака: 1ппН(х) = -дс1(х). Так мы приходим к рассмотренинз УШ с съпотенциалом (сьямой) — — ун — дс1(ж) у = — Еу.
(3.16) 2т При ге ф О и Е < О у этого уравнения существуют убывающие при ~т~ — ~ оо решения, совпадающие с асимптотикамн (3.8): у (ге) = Аехр( — ю(т~), (3. 17) где А — нормировочный коэффициент(рис. 3). В точке ж = О вторая производная функции (3.17) имеет интегрируемую сингулярность. 7ловп3 Следовательно, у' испытывает конечный скачок, а у непрерывна. Интегрируя уравнение (3.
16) в окрестности точки к = О, получаем — — ~у' (+О) — у'1-О) ~ = оу (О) . зт Подставляя в это выражение ВФ (3.17), находим 18.18) 6' ' 26~ Правильной нормировке ВФ соответствует значение А = т/ю. Учитывая, что согласно (3.15) д = Л 1гоа, где К = г'(р)г)р есть числовой множитель порядка едини- цы, для относительной энергии связи по- лучаем выражение К~ Рис. 3 е= — В, где  — борновский параметр (3.12). При заданном выше предельном переходе борновский параметр В да — + О. Итак, в одномерной потенциальной яме, для которой интеграл (3.15) конечен и отрицателен, при малых значениях борновского параметра существует состояние дискретного спектра с малой в сравнении с глубиной ямы энергией связи е ог В.
По сказанному в и. 3.4 пределу  — г О соответствует также переход а = сопв1, 1Го — ~ О. Потенциальную яму Г(гс) в этом случае можно заменить с~-ямой, так как ее ширина а оказывается малой в сравнении с длиной локализации ВФ: ю »а. ув Уравнение (3.18) можно рассматривать как специфическую форму описания взаимодействия — через наложение условий на локальные характеристики волновой функции.
Модели сЬпотенциалов являются одними из простейших в квантовой теории и часто используются как элементы при построении более сложных моделей (см. п. 3.3 и задачи 3.4 и 3.5). 5. Рассмотрим теперь случай сильной потенциальной ямы, В» 1. С ростом В значения е„возрастаюп оставаясь ограниченными сверху; е„( 1. Поэтому при В» 1 естественно ожидать существования состояний дискретного спектра с энергиями, близкими к глубине Однаиерное днпженне 43 г СГ( ) нгн Х2 2 Система с гамильтонианом р тн 2 г 0 2т 2 называется варено>тческигн осцизлягпороль Найдем энергетический спектр г армонического осциллятора.
Так как ни при каких Е на всей оси не выполняется условие Рнс. 4 Е ) ЬГ (х), то движение частицы при любой энергии будет фини гным, и существует только дискретный энергетический спектр (ср. (3.6)). Удобно выбрать параметры модели т, и и константу теории а единичными масштабами. В получающейся системе осцилляторных единиц масштабы длины (Ь), импульса (Р ) и энергии (Е) равны соответственно 1. = —,, К = йгн.
Введем безразмерные операторы координаты и импульса, сохранив за ними прежние обозначения: — Р:=Р "у д' ч'Вгггн Они удовлетворяют коммутационному соотношению [х,р1 = — г. Введем пару эрмитовски сопряженных операторов а = — (т, + гр), а = — (х — гр) . (3.21) ъг2 ч'2 Они называются онерагпоргмаг унггчпюжения и рождения (квантов) соответственно. Непосредственным вычислением получается их коммутационное соотношение [аг а '„=-. 1.
(3.20) Р = Лт,ъ (3.22) ямы, Ен = — Ьго. В классической механике финитное движение вблизи минимума потенциала называется малыми колебаниями. Простая модель для их описания получается, если разложить потенциал ЬГ (х) вблизи минимума в ряд по степеням х и отбросить в разложении все члены выше квадратичного (рис. 4). Взяв точку минимума в качестве начала координат, получим Ьг(х) =-~.о+' " ~о — '.
(3.19) Сдвинем начало отсчета энергии в точку — 11о и введем традиционное обозначение Глава 3 ау, = йу (3 23) Найдем энергию основного состояния гармонического осцнллятора еэ, Поскольку среднее значение произведения эрмитовски сопряженных операторов ае и а неотрицательно, минимальное собственное значение гамильтониана (3.23) ео > 1/2. Из ограниченности спектра снизу и равенства (3.25) следует, что ВФ основного состояния уо должна удовлетворять равенству ауо — — О и соответствовать энергии еэ = 1~2.
Ранее было показано, что разность между последоватедьными СЗ гамильтониана (3.23) равна единице. Отсюда для энергетического спектра осцнллятора (в обычных единицах) получаем Гв=3 (и+-). (3.26) б. Найдем волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятора в координатном представлении. ВФ основного состояния удовлетворяет уравнению аув —— О. Используя выражение (3.21), получаем уо — — А ехр( — — ) . '~У о гсуо = дк Гамильтониан гармонического осцнллятора, выраженный через операторы рождения и уничтожения, в осцилляторных единицах имеет вид Н = а'а+ —.
(3.23) 2 Использование операторов а и аэ позволяет найти спектр гармонического осциллятора алгебраическим методом*. Пусть у, — СФ оператора Н, отвечающая СЗ е (а а+ — )у, = еу,. Рассмотрим действие оператора аь на обе части этого стационарного УШ: а+(а+а+ — )у, = (а+а — — )а~у, = юч у„ Н(а у,) =(е+1)(а у,). Итак, если у, — собственная функция гамильтониана, отвечающая собственному значению е, то у, = а' у, есть собст венная функция, отвечающая СЗ е-1- 1. Считая обе функции нормированными, это утверждение можно выразить равенством а у.=ну .ы (3.24) где п — нормировочный множитель. Аналогично доказывается ра- венство Одно верное днннсенне Авала~ ично х аун = типун и (3.28) Рис.
5 Эти равенства определяют матричные элементы операторов рождения и уничтожения между нормированными ВФ гармонического осциллятора. Из соотношение (3.27), используя явный вид оператора рождения, получаем формулу для ВФ п-го стационарного состояния у„(х) = (2"п хУр) (х — — ) ехр ( — — ) . (3.20) Функции у„(х) можно представить в виде у„(т) = (2" п э/р) Н„(т) ехр ( — — ), где Н„(т) — полиномы п-й степени, известные как полиномы Эр- мита. Например, Но (х) = 1, Н1 (т) = 2х, Нз (х) = 4х — 2. Четность полинома Эрмита совпадает с четностью его номера. По- линам Эрмита Нь имеет й действительных корней; это — частный случай осцилляционной теоремы, упомянутой в и.
3.3. Замена потенциала Ь' (х) потенциалом гармонического осцилля- тора (3.20) оправдана, если энергия основного состояния мала в сравнении с глубиной ямы (йн « Го), и если область локализации волновой функции основного состояния Ь = -агин мала в срав- нении с характерной шириной ямы а.
Из сравнения (ЗЛ 9) и (3.20), считая ун (О) 1, имеем Ь7 Н г~а Го (3.30) Нормировочный множитель А определяется из условия Аа у~(х)дх = А" с о(х =- Ав /р = 1, откуда А = р ' . Итак, нормированная волновая функция основно- — Н4 го состояния (рис. 5) ..(х) =. '"-.( — "'1 2 / Определим теперь нормировочные множители в выражениях (3.24) и (3.25).
Если функция ун нормирована, то (а у„, а гун) = (у„, а а ун) .= ~п(~, аа'у„= (е+ -) ун = (п+1)ун, а у„= хУп+1у„,, (3,27) Вз«звп3 (3.35) зз «в(з — ) .= -, ' ' —. р„(.| . е (3.38) Из этого соотношения вытекает оценка зависимости числа .Ф' уровней дискретного спектра от борновского параметра при В » 1: ,.)' - ъ~В. (3.31) Из формулы (3.30) следует также асимптотический вид зависимости относительных энергий связи е„от борновского параметра при В » 1: е„- 1 — (и + — ), (3.32) где 1 — числовая константа, зависящая ог формы потенциала. 7.
Для описания потенциальных ям часто применяются модели кусочно-постоянных потенциалоа. Рассмотрим состояния дискретного спектра в прниоугольпой вне (рнс. 6)— потенциале 1«' (а;), заданном уравнениями 5Г Ф = -5'о (14 < а) з 1,г(к) = 0 (/г! > а). (3.33) В безразмерных переменных р=,т/а, о= — Е/Уо уравнение Шредингера имеет вид Рнс. 6 — — ув — э (у) у = — еу, (3.34) где 1" (у) =- 1 при )у~ ( 1 и г' (у) = — 0 при ~у~ > 1. В области д > 1 уравнение ув = Веу имеет убываюшее при д -э оо решение у = А ехр ( — ъ«В ау) .
Потенциал 5г (т) четен; следовательно, волновые функции состояний дискретного спектра должны быть либо четны, либо нечетны. Поэтому внутри ямы возьмем решения (3.34) в виде «,[«)=- «В[~- ~Р ° «.[«)=г «ВД- )Р. Для четных решений ук из условия непрерывности у в точке у = 1 имеем «рв р †.) = р. р(-«вез а из условия непрерывности у'— — «вв(з — )в «««(«-,)= — 'в з р( — в Г (з.зз) Разделив (3.36) на (3.35), получаем уравнение зз,,вв(« — В= à — '= ввез. (3.37) Аналогично для нечетных решений у в находим Оовииерное двмьсенве 47 Трансцендентные уравнения (3.37) и (3.38) удобно анализировать графически. На рис.
7 показаны графики функций в левых и правых частях равенств (337) и (3.38). Функция Р, (е) в правой части (3.37) на интервале О < е < 1 пробегает значения от О до ос. Поэтому при и в Рис. 8 Рис. 7 любом значении В существует по крайней мере один корень (3.37), а с ним — одно связанное состояние, которое описывается четной ВФ. При В « 1, заменяя тангенс его малым аргументом, из (3.37) получаем для энергии связи основного состояния выражение аэ - - — 2В~. Первый член в правой части этого выражения совпадает с результатом, найденным выше в модели с$-ямьь С ростом В первое нечетное решение, соответствующее второму связанному состоянию, появляется при значении В = р" /4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
