Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Легко проверить унитарность оператора П~; | у (кч х) у" (т,, х) г1х = ~Л3+ = Х = с$и,и. Матрица оператора Л в своем собственном представлении диагональна: Х тип = — у~и (х) Хуи (х) ~Хх = ~-тгзти. Для определения матричных элементов необходимо найти собственные функции и собственные значения оператора Л. Если они известны, то оператор Х приведен к диагональному виду. 15.
Пусть я„(х) — полная ортонормированная система собственных функций оператора К. Функции я„(х) могут быть разложены 16 Гл г по СФ оператора Л; д„(х) = ~ А„„,у,„,(х). Из условия ортонормированности системы следует: д„ )х)о (х) (1х = с)„„„ ~(А А'„у((»з)~ '(А А;„,у;(. )~ Ал = Ц„А; ) у((*)у;(*) Ах = = ,'» А„*„А; с)(ь = ~~» А*,А,Аь =- с),„». Это условие означает, что матрица А„, унитарна: АА" = 1. Таким образом, переход от дискретного 1-представления к дискретному Л -представлению есть унитарное преобразование, задаваемое оператором-матрицей А.
Поскольку унитарное преобразование не меняет собственных значений„то в принципе дискретный спектр любого оператора Л можно найти следующим способом. Взяв произвольную полную систему функций (например, функции Эрмита, см. и. 3.6), вычислить матричные элементы 1 = у" )Ух) Лу„(»х) Йх = )Ут(Х(»п) и подобрать унитарную матрицу Аы такую, чтобы унитарное преобразование А~1,А — 1 приводило к диагональной матрице. Тогда элементы (,„„, =- 1,„и будут собственными значениями оператора 1. Однако всякая полная в ВЯ система функций у„(х) содержит бесконсчнос число функций.
Это означает, что все преобразования придется проводить с матрицами бесконечного порядка. Этот способ не всегда является лучшим. Кроме того, в изложенном виде метод неприменим для отыскания непрерывного спектра; очевидно, число собственных состояний любой матрицы 1,„„счетно. !7 Введение 16. Эрмитовы операторы с непрерывным спектром не имеют в классе Ьв полной ортонормированной системы собственных функций. Однако собственные функции у(1, х) оператора Х с непрерывным спектром могут быть выбраны так, что будут выполняться соотношения, аналогичные (1.12) и (1.! 3).
А именно, для любой функции 7" (х) из Ьз будет определена функция а(1) = Х(х)у* (1., х) с)х, (1.15) принадлежащая Ья и такая, что !' (х) = а (1) у (1, х) с!1. Интегрирование по 1 всюду ведется по всему непрерывному спектру. Функцию а(1), как и в п. 1.14, будем называть функцией ('(х) в Г- представлении. Как и в случае дискретного спектра, функции у (1, х) определены соотнон!ением (1.8) лишь с точностью до постоянного комплексного множителя. Модуль этого множителя определяется условиями (1.15), (1.16).
Так как 2'(х) = у (1, х) с!1 2' (х)у" (1,х) сх=- ~ (х) с)х у* (1, х) у (1, х) с!1, то функции, удовлетворяющие условиям (1.15), (1.16), называются нормированными на с1-функцию: у* (1, х) у (1, х) с!1 = с! (х — х) . Аналогично, при подстановке (1.16) в (1.15) получим а,(1) = и (л~) у (в. х) у* (1, х) Йв с!х = и (в) с!в у (в, х) у (1, х) с!х, т. е. Функции 1(х) и а(1) дают два равноценных способа описания.
Переход от ! (х) к а(1) можно представить как результат действия у нитарного оператора Г~, ядро которого в интегральной форме имеет вид 2 П.В. Елютии, В,Д. Кривчсиков Хл г Ядро сопряженного оператора ХХ имеет вид ХХ(1,х) = у (1,х) . Легко проверить, что такой оператор ХХ унитарен. При унитарном преобразовании оператор ЛХ преобразуется в ХХ+ЛХ(У; такой вид пре- образования можно получить и непосредственно: ЛХХ(х) = и(1)ЛХу(х,1)41, ЛХу(х, 1) = ЛХ(1, 1')у(х, 1')Ж'.
Здесь ядро ЛХ(1, 1 ) определяется соотношениями ЛХ(1, 1 ) = у*(х, 1)ЛХу(х, 1')дх, ЛХХ(х) = а(1)г)1 ЛХ(1,1')у(х,1')Х1' = а'(1)у(х,1)о!1, а'(1) = ЛХ(1', 1)а(1')а'. Итак, ЛХ(1, 1 ) = Г (1, х)ЛХС(1', х) гХх. З ная вид оператора, действующего на функции от х, мы нашли вид оператора, действующего на функции от 1. Если эрмитов оператор обладает как непрерывным, так и дискретным спектром, то разложение ( !.
! 5) принимает вид л )=1, 'у.()-~( (~)у~~, )~~, ~" в и где коэффициенты разложения определяются формулами (!,!2), (!.!5). Функции дискретного и непрерывного спектра взаимно ортогональны: у „* (т) у (1, х) дх =- О. В дальнейгцем для упрощения записи мы будем обозначать правую часть (!.(8) одним только знаком суммы, подразумевая включение интеграла по непрерывному спектру. 17. Для эрмитовых операторов с дискретным спектром имеют место следуюгцие утверждения.
а) Если операторы Ь и ЛХ имеют общую систему. СФ, то они коммутируюг. Для любой собственной функции =Х(ъу )=1 Ъу Введение Раскладывая произвольную функцию Х(х) из йз по системе уи(х), получим ХЛХХ(х) = ЙЛХ ~~ аиуи(х) = ~~~ ап1пппу„(х) = — М1Х(х). п п б) Если операторы Е и ЛХ коммутируют, то они имеют общую систему собственных фу нкций — матрицы 1 „„„М„,и одновременно приводятся к диагональному виду. Пусть для определения матрич- ных элементов используется система СФ оператора 1. Тогда 1тп = 1~папи (ХЛХ) = (ЛХХ) Е 1:тьМьп =,~ 1ьиЛХп,ь, ь ь ЛХ и(1.
— 1пи) = О. Если СЗ 1 не вырождены, то ЛХ „= п„с(,„: матрица ЛХ диагональна. Если СЗ 1 вырождены с кратностью д, то могут быть отличны от нуля д(д — 1) недиагональных элементов ЛХ . Линейные комбинации з ье функций у ья, соответствующих вырожденному собственному значе- нию 1ь, могут быть выбраны так, что ЛХ „=- О прин ~ из в системе функций (уи, зь ). Так как зья также суть СФ Хп то 1. и ЛХ будут одновременно приведены к диагональному виду.
18. Если для эрмитова оператора Ю существуют эрмитовы опе- раторы Х и М такие, что ~ЛХ,Ы1 =О, (Х.,ЛХ1 =О. ('ЛХ,1.1 у(О, то собственные значения Лг вырождены. Из утверждений п. 1.17 следует, что существуют общие системы собственных функций опе- раторов М и й( у(х:п,и) и операторов Е и Лг у(х;1,п). Пусть спектр й( дискретный: Х (х) =- ~ апу (х, и, и) = ~ Лиу (х, 1, и) . Вычислим матричный элемент (Х ~ ЛХЛ 1) ( ) ~~'..и" (п,,(~ нт(яЬ, (.*,1,,З~я ь = и' п„а,у" (х,п, и) ~ 1, беу (х,1,и') гХх. е Зо Г:т1ет11 Если все СЗ 11' различны, то в силу (1.11) получаем (Я[ЛТК[Я = ~ шпап1,Ь„. Такой же результат получается и при вычислении матричного элемента (1[ЛЛ1[1). Следовательно, предположение о том, что все СЗ Х различны, неверно: среди СЗ Х есть вырожденные.
Аналогично проводится доказательство и для непрерывного спектра. 19. Определение 13. Следов.ис1тртщы Т„,„называется сумма диагональных элементов Зр ьпаи — ~~~ Т'пи. След произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей: ЗР(аЬ) = ~ ~~~,аиьЬьи = ,~ ,) Ььиапь = Зр( Ьа). и 1; и След произведения нескольких матриц не меняется при циклической перестановке сомножителей; Зр(аЬс) = Вр(Ьса) = Вр(саЬ). След матрицы не меняется при унитарном преобразовании: Зр А = Зр(ГЬгп А) = Зр(7ГьАЬг) = Зр а. Унитарным преобразованием эрмитова матрица Л может быть приведена к диагональному виду. При этом ее след Ер Л = гл 1п и равен сумме собственных значений. О и редел е н и е 14.
Следом пнтег11спьного оператора, заданного ядром Е(х, х), называется величина БрЛ = Л(х,х) е1х. Свойства ор Ь, аналогичные свойствал1 Ер Т „„легко доказать. ЗАДАЧИ 1. Докк1вть тождество Якоби [ р, д ), т1 +, [Ь В) . р [ + [1т', р), 11) = О. 2. Доккшть соотношение е йе = й + — 1Т „й] -~- — 11, [1 . й) [ +... 2, б 1,- 1 П ья Введение 2! У казан и с.
Рассмотреть оператор б(П), зависящий от параметра пй а(П) — еч ае и найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет а(»). 3. Доказать соотношение: если [Ь. а] = >1, то схр.н(а + Ь)] =.-- схр(ПЬ) ° схр(>!а) схр( — л — 1). 2 Указание, чх!э[>!(а и Ь)) = сх!э(ПЬ)Х(>!). Найти уравнсние для Б(»).
4. Пусть 1 --- малый параметр. Написать разлвкснис опсратора (Л вЂ” 1В) ' по степеням 1. 5. Пусть [с а) = та, а!З) = а)З). Найти с. 6. Найти [Ь,с], если [с.а] = 1а, [а, Ь) =- с, У казан и с Использовзть результа>.задачи 1 ! Опсраторы, опрсдслснныс соотношениями [а.а ] =- 1, сс -!-с с=->, се=-О, а ал -~-аа А> = 4 а а -!- а аэ Аг .= 4 , Бта+ — аа Аз=-> 4 Р!айти коммутаторы [Л,, Ал]. 8. Пусть функция 1(х) раздол>ил>а в ряд Тейлора. Доказать, что Указание.
Доказать для 1(х) = х" по индукции. 9. Доказзть, что формула задачи !.8 правильна и для функций, разложимь>х в ряд Лорана. 10. Пусть с-!-с е> — с егз с — ось 2 2 2 Найти коммутаторы [С„Сл]. 11. Найти СФ и СЗ эрмитова опсратора в Ег> 12, Найти в Ег матрицы с, с 13. Найти СЗ оператора й = с "с. играют исключительно вах>ную роль в квантовой механикс.
Они называются опера>порами Бозе (или боэе-опера>порачи а, а ) и опера>пороки Ферми (или фермиоперотороят с, с ) соответственно. Введенные для ннх обозначения мы будем использовать постоянно. 7. Пусть Гзггвгг 1 14. Доказать, что условие противоречиво. 15. Доказать, что СЗ оператора (А ' ) (Х) нсотрицательны. 16. Найти СЗ оператора й =- а" а.
Указание. Выразить (а+ ) '" (а)" через й и использовать результат задачи 1. ! 5. 17. Показать. что в Кг матриц ат, а нет. Обьяснить. сравнив с результатом задачи !.!6. 18, Найти СЗ оператора Хг . — ат а + ат т + а т*, 19. Найти СЗ оператора Х -- ач Ь + Ьта, сслн [Ь.Ьт) --. Х, [а,Ь) = О, [а~ .Ь) = О. 20. Найти СЗ оператора ЛХ =- л(аЬ вЂ” Ьа "). Коммутаторы такие ме, как и в задаче 1Л9. 21. Доказать, что для функций комплексного псрелзенного величина (Х 8) .= — ! е " Х" (в) е ( ) г(г обладает свойствами скалярного произведения. (Интеграл берется по всей комплексной плоскости.) 22. Г!оказатзч что сели скалярное произведение определено как в задаче 1.2 1, то -ч. а Такое произведение называется представлением Фока — Баргмана.
23. Найти унитарное преобразование, при котором а — ла~-т, а — за 4.2 . 24. ! !айти общий вид нетривиальных (отличных от 1) унитарных зрмитовых матриц в(а) в Кг. 25. Найти унитарныс зрмнтовы матрицы в, (л —. 1, 2, 3) в Кг такис, что (з,, в,! = 2е„лвь. в представлении, в котором вз диагональна. Ответ: О 1' Π— ! 1 О О[ "= О "=О Эти матрицы применяются в квантовой механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
