Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В общем случае ь ')7а )с)ь — 1 Эта формула получается из разложения бинома, если учесть 1см. (4.43)), что а2 и все высшие степени а тождественно равны нулю: 2э" .(1, 1, +) — ~1 ~1, 1, +) + И~ 1~1: 1, — ) Подставляя выражение для (Р. ), найденное в п. 4.7, находим Вводя гп = ) — ьч получаем окончательно ,1 ~г 1 +) 121)П1 — )! 1 +) + (1+ т)! + ~ )П )1(Š— 1п)/),оп+1, — ).
(444) (1 .~ зп ч- 1)! Собственные значения проекции полного момента есть последовательность чисел, отличак1щихся на единицу, от ) = 1 — 1/2 до 1 = = 1+ 1/2. Все построенные таким образом состояния принадлежат Г ° .21 тому же СЗ 1~, что и ~1, ), +), поскольку ~2, 1 ~ = О: )2~1 1 +) = ()2 + 21в + а2) ~1 1.
+) = = ~1(1 + 1) + 21 — + — ~ /),1, +), (4.45) 1(1+1) =()+1)2)(1+З,12). В правой части (4.45) отличный от нуля вклад дает только член 2К-.а .. Таким образом, полученные ВФ соответствуют значениям 1 = = 1+ 1/2, т .— -- т, + 1/2. Нормированные ВФ имеют вид Ф 1+ —,т+ -) = /1,т,+) -~-, !),т+ 1,— ). 2 2 21-~- 1 ' 1)' 21-~- 1 (4.46) ПолноечислолинейнонезависимыхсостоянийХ = (21+ 1)(2а+ 1) = = 41 + 2. Построенная система ВФ включает (2) + 1) = 21 + 3 75 МП77ЕНЛ7 состояний. ВФ остальных 21 — 1 состояний можно получить из условия ортонорм ирован ности 1 — —,7п+ — 7 = ~ (1,пт,+) — ~1,7П+1,— ). 2 2/ )721~ 1 21-1- 1 14. Если две подсистемы взаимодействуют таким образом, что момент ), каждой нз них сохраняется, то СФ оператора полного момента Д 71 +32 можно найти, как и в предыдущем пункте. Для фиксированных значений 71 и 72 имеется (2Х1 + 1)(222 + 1) ортонормированных сФ проекции полного момента Х,.
Функцию, соответствующую максимальному значению проекции полного момента, ЛХ2 =Х,+Хз можно пос7роить единственным образом. Следовательно, Х = .71+.712 есть максимальное значение полного момента системы. Применяя к функции Й+Х2:Х1+Х2,21 Х2) =- Й Х1) ~.72 Хя) повторно оператор = -721 +12.. получаем все 2(Х1 + Х2) + 1 ортогональных функций, принадлежащих СЗ Х = 71+,72 с различными ЛХ: (Х1 + Хг) < ЛХ < Х1 + Хг.
Так, функция, соответствующая значению ЛХ = 71 + Хз — 1, есть ~71 + 72;77 1 22 1:Х! .72) О1;71 1 ° 32;32) + . У1 37 3' 3' ' 1) ° 17+77 ' ' у 77-ь17 Из условия ортонормированности легко получить функцию, соответствующую,Х = 71 +,72 — 1, М = 71 + 72 — 1: О1+Х2 1~21 +Х2 1 Х1 Х2) = . Й., 71 — 1, Х2: Хг) — 7 Г~.. У1, Х1, Х2 Хг — 1) . .77 Ь77 У 77 т72 Применяя к полученной функции несколько раз оператор Х, получим 2(Х1 + .72 — 1) — 1 функций, принадлежащих х = 77 + хя — 1. Повторяя зту процедуру, можно построить все интересуюшие нас функции, Легко проверить, что Х может принимать значение ~Х1 72~ ~ ~Х ~К,~1 + 32 ° 1згггвгг 4 76 В самом деле, пих.Г (27+ 1) = (271 + 1)(21 + 1).
ю1п Л Таким образом, ~ 7~М Л1 32) = (71ггггуяпгг) Л М) 1Лг, тг, згг, тля), Е тг тг=м коэффициенты (71пгглггпг1~1лм), определякяцие вклад различных функций 1Лгтггятя) в СФ операторов оз, .7в с СЗ Л(7 + 1), ЛХ, называются коэффициентами векторного сложения или коэффиг)и- еплчыии Клегбиггг-Гордопо. ЗАДАЧИ !. Найти СЗ оператора Л в состоянии с щах М = Л, учитывая соотношение Яр,7', =Ярув =Вру',. 2. Пусть А векторный оператор, удовлетворяющий соотношению Ло Аь] = геыАь Г Доказать тогкдества '(Л, А] =- г ((А х Л] —, Л х А] ), '(Л, ! Л, А] ] =- 2 (Л А -, АЛ ) — 4Л (ЛА) . 3. Доказать, что матричные элементы вектора А между функциями с одним и тем гке значением Л пропорциональны соответствующим матричным элементам оператора Л: (и Лгм'1А п„гйХ) =- Е(пп Л)(ЛМ Л~ьтззй).
4. Доказать равенство (и ЯМ ~1АЛ 1лЛМ) = К(пп 3)Л(Ю+ 1)омм . 5. Найти коммутационные соотношения [Лю А,г], где А,ь — компоненты антисимметричного тензора. 6. Найти коммугашюниые соотношения (Лю В,г], где В,ь --компоненты симметричного тензора, 7. Найти спектр оператора ЛгЛз. 8. Найти ВФ свободного двигкения — общие СФ операторов Й, р.
и 1.. 9. Найзи явный вид матриц Л, и унитарных операторов О~(>) для Л = 1. 10. Доказать, что для оператора скалярной величины Х отличны от нуля только матричные элементы иезиду функциями одинаковой чегности. Момент 77 у = е'" совп[+) 1- е "а!по! -).
Найти сферические координаты э, о такого направления в пространстве, проекция спина на которое с достоверностью есть Ь1/2. Такое направление назынают направлением поляризации частицы со спинам 1/2. 12. Для операторов в„я спина двух частиц со спинам 1/2 найти спектр н матричные элементы оператора а,в,. -г 13. Доказать, что функция ]Хм уыуг,уг) есзь СФ операторов Л и Хх, соответствующая значению,7 = Х) г- Хг.
14. ! !айти нормированные общие СФ операторов 3, Хх системы двух часцщ Х) = 1,1г =Х. 15. Найти нормированные СФ операторов полного спина Бг и Я.. системы трех частиц со спинам 1/2. Отметим озличие от случая, рассмотренною в п. 4.12: величина полного спина не определяет олнозначно спиновых ВФ. 16. Доказать равенство - ь,,г" Х„.л е ' 'зй-е' "". -: А, совц-ь Хг в!гаса. 17. Показать, что операторы Х,, !'. могьно представить в виде =.
х/22 — а"'а а, Хтт =- а Х/22 — ага, где а~, а — операторы Бозе [см. задачи к гл. 1). Найти вид Х, в этом представлении [и < 21). 18. Пусть а и Ь вЂ” операторы Бозе: [а,а ] =-1, [Ь,оь] = 1, [а,Ь] = [а,бь] = О. Показать, что можно положить ачЬ'Ь а Хг— 2 а Ь вЂ” Ь~а Хг зг Найти вид операторов Хз и Х~ в этом представлении. 19. Пусть *Х, Х„Х. б,г + Х,+ву.'! Найти параметры а, Ь и а. 11. Наиболес общий вид спиновой функции частицы со спинам 1/2 в а-представлении есть ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПОЛЕ О. Если взаимодействие двух частиц можно описать потенциалом У(~г1 — гз~), зависящим толькоотрасстояния между частицами, то задача о движении таких частиц в квантовой механике, как и в классической, сводится к задаче о движении частицы в пентральносимметричном поле. Лагранжиан системы двух частиц в классической механике имеет вид У = — 1 + — 2 — ХХ(/г1 — гз().
2 2 Введем вектор взаимного расстояния Г=Г1 Гз и вектор, определяющий положение центра инерции, т|г| + т2г2 т1 + ни Тогда у = — К2 + — 'вгя — ХХ(г), 2 где ЛХ = т1 + т,2, пг = а~+т Вводя импульсы с помощью соотношений д.2' д У Р= . =ЛХВ. р= — =тг, дй. дг получим классическую функцию Гамильтона рг, г Н = — + — '+ 0(т). 2М 2т, Оператор Гамильтона для квантовомеханической задачи получим, заменяя Р и р операторами с коммутационными соотношениями (Р;, Нь) = — гЬс11ь, (р,, гь) = — Ъ~й,ы л ~6 Н = — — 1.'тн — — 1а„+ ХХ(г).
2М 2т Волновую функцию системы можно представить в виде (см. п. З.О) Ф (г1, г2) = з (к) у (г), (5.1) 79 Цинп7эхэьлое поле где 1 (К) описывает движение центра инерции (свободное движение частицы массы М), а у(г) — движение частицы массы гп в поле б'[г). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением ВФ движения в центральном поле. 1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний в центрально-симметричном поле Ьу + — [Š— В (г)) у = О в сферических координатах имеет вид + —,' [Š— Г(г)] у = О. (5.2) Использ> я выражение (4.23) для оператора), получим л' т д / яду'~ — ~ — — — [г — ) + — у ~ + Г(т)у — Еу.
2т г~ д~ дг и' Операторы 1 и 1, коммутируют с гамильтонианом Н, поэтому сушествуют обшие СФ операторов Н, 1 и 1-. Мы будем рассматривать именно такие решения УШ. Это требование определяет зависимость у от углов: у [г,о. 1 ) = Н[г) 1и И, 5 ), где 1'~ (сЪ 1) определяется (4.28). Так как 1'1; =1(1+1)1;„„ то для радиальной части ВФ Н[г) получаем уравнение — — [г" — ) — Л+ — [Ь вЂ” 17(г)) Л = О. (5.3) Это уравнение не содержит значения проекции момента на ось з 1.
= пц при заданном 1 уровень энергии Е соответствует 21 + 1 состояниям, различающимся значениями 1.. Это вырождение является следствием правила: энергетические уровни выроэхаены при наличии у системы двух сохраняющихся некоммутируюгцих операторов (см. и.
1.18). Для движения в центральном поле такими операторами являя>тся любые два из трех сохраняющихся операторов компонент момента 1„1ю 1,. Для состояний с различными значениями орбитального момента приняты обозначения: 1=0 1 2 8 4 в р д 7лвво 5 Число 1 — максимальное значение проекции момента — называют азииутспьнььщ а т — проекцию момента —.иигниашыгн квантовыми числами. 2.
Приведем эквивалентные формы дифференциального оператора в уравнении (5.3); тв я ~ Нт Г дтв т Нт т дтв Последнее выражение позволяет придать уравнению (5.3) вид одномерного УШ (3.4); полагая с(т) = тКт), получим — — с+ — 1Е' — Г(т)1с = О. (5.
5) Однако, в отличие от случая движения на неограниченной прямой, для уравнения (5.5) необходимо задать граничное условие при т = О. Рассмотрим вид ВФ при т — ~ О для слабо сингулярных потенциалов: 1пп 17(т)т = О. о Тогда в (5.5) при малых т наиболее существенны первые два члена. Подставляя с1т) = т, получаем п1п — 1) = Ц1+ 1). Это уравнение имеет корни пз =1+1., па= — й (5.6) Требование нормированности ВФ несовместимо со значением и =— в 1 при 1 .ф О, так как будут расходиться нормировочные интегралы ~~с„(т) / сЬ" о для дискретного спектра и не будет выполняться условие (! .17) для непрерывного спектра.
При 1 = О граничные условия определяются из требования конечности среднего значения кинетической энергии, которое выполняется лишь при и = 1. Итак, ВФ частицы в слабо сингулярном потенциале всюду конечна и при любых 1 с(О) = О. (5.7) 3. Решение задачи о движении частицы в центральном поле Г(т) сводится к отысканию решений одномерного УШ с зффективньси лошвнуивсзОл~ ) т( ) 62111~ Ц 2тт2 Цен па> гмь Нас лаза и граничным условием !5.7). Второй член в (5.5) называется центробежным потенциалом.
В этой главе мы будем рассматривать только состояния дискретного спектра. В гл. 3 мы видели, что для УШ на неограниченной прямой с потенциалом 1/(х), удовлетворяющим условиям Рис. !3 б П.В. Елютин, В.Д. Крвьчснков М<с/(х)<0, Г =à — О, (5. 8) всегда существует по крайней мере одно связанное состояние. Для уравнения (5.5) даже в случае ! = 0 это не так. Пусть ЛХ < с/(г) < О, С' = 11п1 Г(г) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
