Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 95
Текст из файла (страница 95)
ниже). Матричные элементы Т-оператора на энергетической поверхности связаны с матричными элементами оператора У соотношением ~ьа = — 2п18 (Еь — Еа) Ть' (118,9а) Из равенства (118,9) находим 5ь, = (Ь! а) — 2п1Т~ Ь (Еь — Е,), (118,10) кВАнтОВАя ТеОРия РАссеЯния 1гл. хщ гвьа=(Ь|а)'+~.й-(Ь|а)1тТьа+ — „! Тьа Гб(Еь — Еа)~ | Ж. Следовательно, средняя вероятность перехода в единицу времени Рьа —— -й-(Ь! а) 1п1 Тьа+ Ь ! Тьа|ьб(Е, — Е,Д. (118,11) При Ь ~ а вероятность перехода в единицу времени равна Рьа = Ь ( Тьа' 1' б (Еь — Еа). (118,11а) При Ь = а.это же выражение определяет и вероятность упругого рассеяния (в указанном 'перед формулой (!18,8) смысле).
Чтобы получить сечение рассеяния и реакций надо разделить (118,11а) на плотность потока падающих частиц 1,=йй,(р . Таким образом, получим ~ппа дьа = -йгь — ! Тьа ('б (Еь — Еа). а (! 18,!2) Конечные состояния лежат в непрерывном спектре. Если ввести число конечных состояний р(Еь) в объеме ь', приходящихся на единичный интервал энергий, й провести интегрирование,по энергии конечных состояний, то можно преобразовать вероятность рассеяния и реакций (а- Ь) в единицу времени к следующему виду: Рьа=-х-! Тьа |АР(Еь) =-х-! (Фь !Т |Фа) (Р(Еь) (118,13) Сравнивая формулу (1! 8, 13) с вероятностью перехода в единицу времени в первом приближении теории возмущений 5 93), мы убедимся, что это приближение соответствует замене в (! 18,13) где (Ь|а) = бь,.
Подставляя (118,!О) в (118,5), можно вычислить вероятность перехода из состояния а в состояние Ь гв, = | Е„|ь = (Ь га)'+ + ~ Ь (Ь ! а) 1т Тьа + -й-( Тьа |ь б (Еь — Еа) ~2пйб (Еь — Еа). Заменяя в этом выражении 2пйб(Еь — Е,) = ~ ехр~ Ь (Еь — Е,) ! ~Ж и учитывая, что из-за наличия множителей (Ь|а) и б(Еь — Е,) в фигурных скобках, в интеграле можно положить Еь = Е„по- лучим мАТРицА РАссеяния » п»1 оператора рассеяния Т оператором взаимодействия 1', определяющим переход. Этот предельный переход оправдывает выбор множителя в (118,9). Если система описывается оператором Гамильтона Н = = Н» + Р, где Н» — оператор бесконечно удаленных частей системы, то вероятность перехода в единицу времени, как показано в $1!4, определяется выражением Р,.=-7! (Ф.
! У!Ч"."> Гр (Е.), где функция Ч",+~ является решением интегрального уравнения Чга ~=Фа+(Еа — Н»+ 1т!) 'УЧ"~~~', (118,14) Е, = Е» †энерг системы. Сравнивая (118,13) с (!!8,!За), мы видим, что с точностью до-фазового множителя (Ф»! Т !Фа) = (Ф» ! К ~ Ч'~а~~) (118,15) Если ввести оператор й(+> с помощью соотношения то из (118,14) будет следовать операторное равенство й'~~= 1+ (Š— Н»+ 1т!) Ы~1, Чтобы выполнялось равенство (118,15), можно положить Т= Р'»»~+~, (118,15а) тогда оператор Т будет удовлетворять операторному уравнению Т=Х+ Р'(Е,— Н»+ 1Ч) Т. (118,16) Из операторного уравнения (118,16) следует (Е, — Н + (п) (Е, — На + 1п) ' Т= $~, где Н = Н»+ У вЂ” полный оператоР Гамильтона. Умножая полученное оператоп1ное равенство слева на (Е, — На+ 1»!) Х )((Е, — Н+ 1п), находим Т= У+ Р'(Е, — Н+ 1»!) 11.
(118,16а) Вспоминая общий внд амплитуды рассеяния (1!4,13), можно выраэить амплитуду рассеяния непосредственно через матричный элемент оператора Т. Для этого достаточно использовать соотношение (118,!5), тогда имеем Аа а= а,'ег (Фа' ! Т!Фа) (118, !7). квантовая таовня РАссляния пл. хьч Для вычисления эффективного сечения рассеяния и реакций надо подставить в формулу (118,13) явное выражение для р(Еь) й разделить на плотность потока 1, падающих частиц.
Во всех предыдущих г(араграфах этой главы мы нормировали плоские залпы, описывйющие движение свободных частиц„на плотность потока, численно равную скорости относительного движения, т.е. Ф,= ~р, Я) ехр(1йьга), Ьй »» Фь= 'рь(5) ехр 0Иьгь) Число конечных состояний, приходящихся на единичный интервал энергии при рассеянии в направлении единичного вектора и, в элемент телесного угла ИИ, определяется выражением иььь»д» ар(Еь) = 12 1»Ь» ° Следовательно, вьньаь ь(аь = 1» ЙРь7"~= (~~Р» а — ( (Фь! Т 1 Ф,) ~ьдИ. (118,18) Если функции Ф, и Фь сталкивающихся и разлетающихся частиц нормировать на дельта-функцию в энергетическом пространстве, т. е.
положить / дава М» 1 аЕ»п,») = р-юк» ~ Ф, 1 ЬЕьпь) = ~з а$э/ Фь то эффективное сечение рассеяния и реакций (118,18) преобразуется к простому виду дав —— — ", (ЬЕьпь!Т ~ аЕ,п») 1ьИ2» Еь — Е,. (118,19) а В формуле (1!8,19) начальное состояние задано значениями полной энергии Е, и единичным вектором п, распространения падающих частиц. Состав частиц и их состояния определяются буквой а. В центрально-симметричных полях интегралом движения частиц без спина является орбитальный момент количества движения, поэтому начальные состояния удобнее характеризовать парциальными волнами с определенными значениями квантового числа 1.
Это легко осуществить с помощью преобразования (ЬЕьпь! Т(аЕ,и») = Х (ЬЕьпь1 Т ~ аЕь1т) (1т ! п ), (118,20) ь» где функция преобразования (см. 9 27) (!т(и,)=у~ (и,). (118,20а) $ Н81 мАТРицА РАссеяния Если выбрать направление оси з вдоль вектора П, то ) ( ~) 4п 21+ ! Подставляя (1!8,20) в (118,19), получим ܄—,|Л$23./-!))А~)Т) ьй)|дг, 8,=8;. Учитывая далее, что матричные элементы оператора Т в центрально-симметричном поле диагональны относительно квантовых чисел йп, имеем (ЬЕ,пь| Т |аЕ,10)=(пь)10)(ЬЕ810|Т |аЕ810) У)ь(пь)(Ь ]Т, |а), где (Ь! Т) |а) = (ЬЕ,10 | Т !.аЕ,10).
Подставляя это значенне в предыдущую формулу, находим а = —,|л)'2Й18 ) ))ыт) )! и )!182)) После интегрирования по всем направлениям испускания, а также учитывая ортогональность функций у)8, находим интегральное сечение рассеяния и реакций аэь — — 4 гг- ~ (21 + 1) | (Ь ! Т, ! а) |г. 1 Если ввести матрицу рассеяния 8в на поверхности энергии с помощью соотношения (Ь |Б |а) 8е,б(Еь — Е,), (118,23) то, используя равенство (118,9), можно найти связь между матричными элементами оператора Т и матрицы рассеяния 8ь — Ььь — 2п1(Ь ! Т) |а). Подставляя это значение в (!18,22), находим интегральное сечение рассеяния и реакции оь =21(21+1)|88 — Ьь !.
) (! 18,24) Дифференциальное сечение (П8,21) при этом принимает вид )1аьь= — 8~ ~~)/21+|У)ь(пь)(8ьщ — Ььь)! 811). (118,28) ьг КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. х!т Сумма всех сечений реакций оьа по всем возможным каналам Ь ~ а называется полным сечением реакции и обозначается буквой о„таким образом, Э о,= „')'„оь.= ь '„))',',))',(21+ Ц18ы'1'. (11828) Ь !ьаьа1 аь,а~о Из (118,24) следует, что интегральное сечение упругого рас- сеяния о, = ~ ~~)~~ (21+ 1) (1 — ~ 8 А (! 18,29) Если возможно только упругое рассеяние, то 8К=О при Ьчьа. Поэтому из (11828) следует 18~'!'=! и $~,'=ехр(218~), где б~ — действительные фазовые смещения.
Если возможно не- упругое рассеяние н реакции, то некоторые матричные элементы 8ь'„'М 0 и ~ $.".~ь <1. Положим 8",=тазе*'ь, тогда ОЭ о,= — ь ~~(21+ 1)(1 — тф. а~ 0 Далее, из (1!8,27) находим о, = —,, ~ (21+ 1)(1+ т1," — 2т~соз 2Ь,). (118,30) При тя = 0 парциальное сечение реакции о, достигает максимального значения (о',) „=(21+1) — ", При этом парциальное а сечение упруюго рассеяния имеет такую же величину.
Прн тн = 1, б~ = и/2 парциальное сечение упругою рассеяния достигает максимального значения (Ое)а,аа= в., ПРИ ЭТОМ Оа= О. 4(И+ !) и а о,= — о„= —, „)~~~(21+1)!8„— 1~. (!18,27) аа ь=ь Условие унитарности матрицы рассеяния можно записать в виде Х 182!'+182 Г= 1. (118,28) ь!ьра1 Поэтому полное сечение реакции (118,28) можно выразить через матричный элемент $,„'. соответствующий только входному каналу мхтьицА Рассеяния % нь! Вернемся теперь к выражению (118,11), определяющему вероятность перехода в единицу времени. Если просуммировать это выражение по всем возможным состояниям Ь (включая и а), то, учитывая, что ~саге» = 1, получим ь О = ~ 1гп Тьь + -й-,)~~ ! Тьь (ь б (Еь — Еь).
ь Согласно (118,11а), второе слагаемое в этом равенстве определяет полную вероятность Р, в единицу времени рассеяния и реакций из состояния «а» во все возможные состояния той же энергии. Таким образом, полная вероятность рассеяния и реакций в единицу времени выражается через мнимую часть диагонального элемента матрицы Ть, с помощью простого соотно- шения Рь ~~ — „! Ть«0 Ь(Еь — Еь) = — «1т Т„.
ь Разделив это равенство на плотность потока йадаюших частиц эя,!!ь, и учитывая равенство (118,12), определяющее сечение реакций и рассеяния, и амплитуду рассеяния (1!8,17), можно выразить полное сечение о через мнимую часть амплитуды рассеяния вперед о=~а»«= 1шА' 4п П ь (! 18,31) Это соотношение носит название оптической теоремьь Частный случай этой теоремы при наличии только упругого рассеяния был рассмотрен в $ 109. В начале этого параграфа уже отмечалось, что 5-матрица диагональна относительно значений физических величин, операторы которых коммутируют с оператором Гамильтона системы. На математическом языке это свойство можно записать в виде: если (О, й1= 0, то 5=0 ~ЗО, ~ или более подробно, (118,32) (й! 3 !а) =(бб! 3 (Оа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
