Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Из (118,32) вытекает два рода следствий: а) правила отбора в реакциях и рассеянии; б) некоторые указания о структуре матрицы или амплитуды рассеяния. В общем. случае правила отбора в реакциях и рассвяныи можно сформулировать как утверждение, что в начальном кВАнтОВАя теОРия РАссеяния 1гл. х!ч и конечном состояниях должны сохраняться собственные значения всех операторов, коммутирующих с оператором Гамильтона системы. Правила отбора позволяют сделать ряд весьма полезных утверждений о характере протекания реакций.
Покажем это на двух примерах. а) Реакция образования двух нейтронов при захвате медленного п- м евон а дей троном. Начальной стадией этой реакции является образование и-мезонного атома в 1з состоянии. Спин дейтрона равен 1, спин а -мевона равен нулю, орбитальный момент в !з состоянии равен нулю. Таким образом, полный момент в начальном состоянии равен 1, а четность равна внутренней четности и -мезона (внутренняя четность протона и нейтрона предполагается одинаковой). В конечном состоянии образуется система двух нейтронов.
Система двух нейтронов в силу принципа Паули (см. $72) 'может находиться в следующих антисимметричных (с учетом спина) состояниях Зм !в !! Р2 2» ° . Полный момент системы н четность, согласно правилам отбора, не изменяются при реакции. Поскольку в начальном состоянии полный момент равен 1, то нз написанных возможных состояний системы двух нейтронов в данной реакции может осуществиться только состояние, соответствующее полному спину 1. Таким состоянием является ВРН т. е. состояние с ь 5 У = 1. Так как 1, = 1, то это состояние нечетное. Следовательно, начальное состояние реакции должно также быть нечетным.
Это возможно только при условии, что внутренняя четность и -мезона отрицательна. Йтак, реакции и + д — 2п, протекающие при малых энергиях (эксперименты Пановского 11!3)) показывают, что п=мезон является псевдоскалярной частицей. б) Распад Вез на две 22-ч а ст и ц ы.
В настоящее время хорошо известно, что ядро бериллия Вез является нестабильным ядром и за время -!О м сек распадается на две а-частицы. В реакции р-1- 1.12-~ Вез при энергии протонов, близкой к 0,4 МВВ, образуется возбужденное ядро бериллия Вез с энергией возбуждения — 17,6 МэВ. Это возбужденное ядро не распадается на две а-частицы пока не отдаст свое возбуждение в виде укванта (М1-излучение) и не перейдет в основное состояние. Невозможность распада возбужденного Вез на две а-частицы легко объяснить правилами отбора.
Возбужденный уровень Вез, соответствующий энергии возбуждения 17,6 МВВ, имеет момент, равный 1, и положительную четность, а система двух сс-частиц может находиться только в состояниях с четным моментом: О, 2, 4, ..., так как спин а-частицы равен нулю и симметричная Волновая функция системы, состоящей из двух оьчастиц, может ь пй овэхщвнив вввмвия н двтхльнов вхвноэесив %1 иметь только четные значения орбитального момента, характеризуюшего их относительное движение. После излучения у-кванта бериллий переходит в основное состояние, имеюшее момент 0 н сразу же распадается на две а-частицы.
Из равенства (118,32) вытекает далее, что если Н инвариантно относительно некоторых преобразований, то н 5-матрица (и амплитуда рассеяния) должна быть инвариантной относительно тех нсе преобразований. Например, если в системе действуют ядерные н электромагнитные силы, то оператор Н инвариантен относительно пространственного вращения.и отражения; Следовательно, амплитуда рассеяния должна быть скаляром.
Так, при взаимодействии нуклонов с ядрами нулевою спина нли прн рассеянии и-мезонов на нуклонах состояние системы характеризуется спинозой матрицей и, начальным волноным вектором й, и конечным волновым вектором йь. Из этих величин можно построить скаляр вида А+ Вп[й, Х йь] (118.33) где А и  — некоторые функции скаляров й„йь и (й,йь), т. е. функции энергии относительного движения и косинуса угла рассеяния. Следовательно, (!18,33) является наиболее общим видом амплитуды рассеяния частиц со спином '/ь на частицах нулевого спина. й 119~, Обращение времени н детальное равновесие Оператор Гамильтона всех задач теории рассеяния инвариантен относительно изменения знака времени, 'т.
е. здмены будушего прошедшим. Используя инварвантность оператора Гамильтона по отношению к изменению знака времени, можно получить весьма общие соотношения, связывающие вероятности переходов и эффективные сечения прямых и обратных процессов. По отношению к операции обращения времени, 1 .— 1, все физические величины делятся на два класса.'К первому классу принадлежат физические величины, не изменяюшнеся прн обращении времени.
Такими величинами являются: координаты точки, .полная энергия, кинетическая энергия и. др., которые содержат время только в четных степенях. Ко второму классу физических величин относятся скорость, импульс, угловой момент, спнновый момент и все другие, которые содержат время в нечетной степени. Рассмотрим уравнение Шредингера 13 з~' =Нф., определяющее изменение с течением времени некоторого состояния ф„.
Обозначим через ф волновую функцию состояния, КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл, х!ъ' которое получится из состояния ф, путем операции обращения времени, В состоянии, описываемом функцией ф „все физические величины первого класса имеют те же значения, что и в состоянии ф„а физические величины второго класса имеют другой знак. Перейдем к отысканию оператора обращения времени хт, преобразующего волновую функцию ф, в функцию ф,. По определению функция ф, удовлетворяет уравнению Шредингера 'т-а О 1 д дГ (119,2) так как оператор Н инвариантен относительно операции обращения времени, Рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению (119,!): — (й — = и" ф'. дфа дГ а' (! 19,3) Если имеется некоторый унитарный оператор О, удовлетворяющий условию О'б =1, (1! 9,4) то, действуя слева на обе части уравнения (119,3) оператором О, получим уравнение — И д,' =)(бф,' д (Ойа) Таким образом, оператор обращения времени Ат, преобразую- ЩИЙ фуНКЦИЮ фа В фуНКЦИЮ ф — а, ИМЕЕТ ВИД 6= ОК, (119,6) где 1< — оператор комплексного сопряжения, а Π— унитарный оператор, удовлетворяющий операторному равенству (119,4), Оператор комплексного сопряжения К является антили~ейным оператором, тан как его действие на функцию Ха;ф; характеризуется равенством К Х аф~ — — Х а)Кфн (119,7) Далее, оператор К удовлетворяет условию ~ <Кф~КР>!=~<ф ~Е*>!=~<ф!б»!, (119,3) Сравнивая зто уравнение с уравнением (119,2), мы убедимся, что ф-,=ОФ =ОКФ =61 (119,5) $ 11Р! ОВРАШЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ езз т.
е. оставляет неизменным абсолютное значение скалярного произведения двух произвольных функций и, следовательно, не меняет условия нормировки волновых функцин. Операторы, удовлетворяющие двум условиям (1! 9,7) и (119,8), называют антиунитарными операторами, Произведение унитарного и антиуннтарного операторов дает антиунитарный оператор, следовательно, оператор обращения времени 6 (119,6) является антиунптарным оператором. Явный вид оператора обращения времени зависит от вида оператора Гамильтона системы и от представления, в котором задана волновая функция. Рассмотрим теперь отдельные примеры: а) Оператор Гамильтона Н описывает частицы без спина в отсутствие электромагнитного п о л я.
В координатном представлении оператор Гамильтона действителен, т, е, Н = Н', Легко убедиться, что оператор обращения времени в координатном представлении равен 6 = К. Действительно, б = 1 удовлетворяет условию (! 19,4), если Н = Н'. Согласно общему правилу, преобразование функций (1!9,5) должно сопровождаться преобразованием операторов Р, = =6г" 6 '. Следовательно, при г = г и р = — 1ВЧ, г =Кг,К 1=г„р,=К( — 1йЧ)К 1=1ДЧ= — р,. Таким образом, как и следовало ожидать, оператор координаты остается неизменным, а оператор импульса изменяет знак при преобразовании, соответствующем обращению времени.
В импульсном представлении г = ЫЧР и р = р. В этом случае оператор обращения времени 6 не сводится только к оператору К, а необходимо положить 6 = бРК, где бр — оператор, заменяющий р на — р; в этом случае ОРН" = НОР (в импульсном представлении Н' Ф Н) и г-а ОРК (!АЧР) (ОРК) = 1йЧР = га, р,=б,к(р) (б,к) = — р,. б) Оператор Гамильтона содержит взаимо действие с электр ам а г н н т н ы м п ол е м, которое описывается векторным потенциалом А.
Например, Н = ~ и (р — — А) -1- !» (г). В координатном представлении р = — !йЧ, г = г, поэтому соотношение (! 19,4) будет выполняться при условии, когда КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯИИЯ 1гл. х1ч оператор О=ОА заменяет векторный потенциал А на — А, в этом СЛуЧас 6=ОАК И Г,=Ге, р,= — р,.
В ИМПУЛЬСНОМ ПрЕд- ставлении р р, г= (ЬЧА, поэтому 6= ОАОРК, где оператор Ор определен выше. в) Оператор Гамильтона содержит с пиновые оп ер а тор ы. Например, 1 г" е 1А ела Н= — ~р — — А~ — — го1А+ 31(г). 2М 1, с ~ 2Мс В этом случае для выполнения операторного равенства (119,4) в координатном представлении необходимо, чтобы оператор О= = ОА(ее, где 1еА совпадает с определенным выше оператором, заменяющим А на — А, и 1ес' — спиновый оператор, удовлетво- ряющий операторному равенству . О,а'= — ОО .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
