Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Если векторная матрица О выбрана в представлении, где "-Г') "-Г ') "-(' ') / 0 11 то О„=Ы„=~ ),. Таким образом, о)- 6= (ОАОРК. (119,9) Легко убедиться, что спиновая матрица ЬР, входящая. в опера-. тор обращения времени, действуя на волновую функцию состоя- ния с определенным значением. проекции спина на ось е, меняет значение проекции спина на противоположное: убей, !й % -Ъ' с™й, -'й 'й. 'й' Из (119,9) следует, что оператор обращения времени для ча- стицы, имеющей спин '/м удовлетворяет равенству 6А = — 1.
Если система состоит из п частиц спина'5, то оператор обра- щения времени получается из (119,9) простым обобщением 6 = ОА1 а|Расе ° ° о' К (119,9а) Легко убедйться, что двукратное применение оператора' обра- щения времени осуществляется оператором 6 =.( — 1)", где и— число частиц в системе. Этот результат позволяет получить очень важное заключение о возможной кратности вырождения уровней энергии в стационарных состояниях систем, находящихся в про- извольном электрическом поле (без внешнего магнитного). Оператор Гамильтона системы, на которую не действует вне- шнее магнитное поле, инвариантен относительно операции обрае $11Я ОВРАшение ВРемени и детАльнОВ РАВнОВесие Р65 щения времени.
Поэтому, если функция ф определяет стационарное состояние с энергией Е, то и волновая функция 6„ф определяет состояние с той же энергией, Если ф и б„ф отличаются лишь фазовым множителем, т, е, если 6„ф= аф, (119,10) где (а(э = 1, то оба состояния тождественны (отсутствует Вырождение). Подействуем на обе части равенства (!19,10) оператором обращения времени. Преобразуя затем правую часть, имеем б„ф = 6„(аф) = а' (6„ф) = а*аф = ф. Учитывая, что 6а =( — !)", Мы приходим к заключению, что равенство (119,10) может выполняться только при условии четного числа частиц в системе.
Таким образом, в системе с нечетным числом частиц (следоВательно, с полуцелым значением полного спина) кратность вырождения уровней в произвольном электрическом поле не может быть меньше 2 (теореА1а Крамерса). В связи с этим внешнее электрическое поле может полностью снять вырождение только у систем, состоящих из четного числа частиц спина 1/з. У систем с нечетным числом частиц кратность вырождения может быть снижена только до 2.
Перейдем к выводу связи между матричными элементами прямого и обращенного по времени перехода. Для этого рассмотрим матричный элемент Т вЂ” а, ьва!(Ф вЂ” а !Т !Ф вЂ” ь) Используя определение (119,5), можно написать Ф-а = 6Фа = ОФа, Ф-ь = ОФь'. Следовательно, Т-а, -ь = (ОФа ! Т! ОФь) = (Фа 10 ТО~ Фь). (119,11) Учитывая (118,!ба), (119,4) и эрмитовость операторов У и О„ можно показать, что О'ТО = (Т')" = Т. Поэтому (Фа ! О .ТО ! Фь) = (Фь ! Т ! Фа) = Тьа. Используя это равенство, получаем из (119,!1) связь между матричными элементами прямого и обращенного по врем ни перехода Тьа Т-а, — ь.
(119,12) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЙ' (гл. Хгч Из равенства (!18,10) цри учете (119,12) следует аналогичное соотношение для матричных элементов. матрицы рассеяния ~ьа ~-а, -Ь. (119,13) Согласно (118,!3), вероятность перехода а- Ь в единицу :времени выражается.
через квадрат модуля матрицы перехода Тьч н плотность конечных состояний р(Еь). Поэтому из (119,12) следует теорема взаимности, связывающая вероятности прямого и обращенного во времени переходов РЬа Р— а. -Ь р (Бь) р (Ба) В случае, когда плотности конечных состояний обоих процессов равны друг другу, то равны и вероятности прямого и обращенного во времени переходов. Если оператор Гамильтона ннвариантен относительно операции инверсии пространственных координат (х, д, г)- ( — х, — д, — г), -то при одновременном проведении операции инверсии и обраще.Ния времени .импульсы и. скорости частиц не меняются, компо.Ненты моментов количества движения меняют знак.
Поэтому в системах, не содержащих спиновых переменных, состояния ~а) ,и ~ — а) эквивалентны, т. е. волновые функции этих состояний могут отличаться только фазовым множителем. В этом случае имеют место равенства абсолютных величин матричных элементов прямых а- Ь и обратных Ь вЂ” а переходов, т. е. 1 Тьа!=! Таь!, и матричные элементы соответствующей матрицы рассеяния удовлетворяют равенству 15ьа~ = )о,ь~. В таких системах имеет место детальное равновесие, при котором равны Рва Раь р(Еь) р(пв) — вероятности прямого и обратного переходов, отнесенные к одному конечному состоянию.
Если состояние системы характеризуется и ориентацией спинов, то в состояниях )а) и ( — а) проекции спинов отличаются знаком. В этом случае детальт(ое равновесие выполняется только для вероятностей, усредненных по проекциям спинов начального и конечного .состояний *). Такое равновесие иногда называют нолддеталоным.
Если оператор взаимодействия, вызывающий переход, инвариантен относительно пространственных вращений, то переход ') Отметим, что уже Больцмаи указал иа иоаможность нарушения детального равновесия прн классическом описании столкновений между молекулами несферической формы. ОБРАщение ВРемени и детАльнОе РАВнОВесие ф ня между состояниями !а) и (Ь), характеризуемыми квантовыми числами 1гл, происходит при сохранении полного момента и его проекции на любое направление. В этом случае матричные Влементы Та не зависят от магнитных квантовых чисел. Поскольку в этом случае состояния !а) и ! — а) отличаются только знаком: магнитных квантовых чисел, то ! Т !=! Т (=! Т, !.
Следовательно,, и в этом случае имеет место детальное равновесие. В первом борновском приближении детальное равновесие выполняется для всех систем. Действительно, в первом борновском: приближении имеем Таа аа~ (Фа ! !Г )Фа) = (Фа ! !' ! Фа) = Таа следовательно, Теоремы взаимности (119,13) и унитарности матрицы рассеяния накладывают дополнительные условия на ее элементы н сокращают число независимых параметров, определяющих ма-- трицу рассеяния. Для реакции, идущей по 1У возможным каналам, комплексная матрица рассеяния содержит 21УВ вещественных параметров. Вследствие унитарности матрицы рассеяния н 1 теоремы взаимности только — 1ч(Й+ 1) из этих параметров яв- 2 ляются независимыми.
Для доказательства этого утверждения запишем матрицу рассеяния в следующем виде: 1- — 'й' 8= (! 19,15)' 1+ — 'л 2 где Л вЂ” эрмцтова матрица, т. е. Ю = )тР. Представление (119,15) удобно тем, что в атом случае унитарность матрицы 5 выполняется автоматически: От= 5 '. Из (119,!5) следует 1 — 8 — Ю= —. 2 !+Я' Эрмитова матрица Ю (порядка 1У) обладает такими же свойствами симметрии (119,13), как и матрица 8. Следовательно„ в представлении полного момента матрица )г Врмнтова и симмет- 1 рична.
Поэтому она имеет — 1У(1У+ 1) независимых вещественных параметров, которые полностью определяют рассеяние и реакции. )гл. х)ч квантовая таооия оьссвяния В заключение этого параграфа рассмотрим различные эквивалентные выражения вероятностей переходов и сечений реакций. Как было показано в $118, вероятности переходов и сечения реакций пропорциональны квадрату матричного элемента Тьа — (Фь ! Т (Фа), (!! 9.! 6) где Фа и Фь — соответственно волновые функции начального и конечного состояний, а оператор Т определен операторным уравнением Т=Р+Ъ (Е.— Но+1Ч) 'Т, (119,1У) где У вЂ” оператор взаимодействия; Но — оператор, определяющий относительное движение и внутренние свойства сталкиваю- шихся частиц. Используя равенство (П8,!6) ТФ =УЧ"а )+) тот же матричный элемент Тьа можно записать в виде Тьа = (Фь ! а ~ Ч а ), (119, 18) где Ч', — волновая функция, удовлетворяющая интегральному (+) уравнению (119 19) соответствующему уходящей рассеянной волне при падающей волне Ф,.
Введем теперь функцию Ч'ьь ) с помощью равенства Ф,Т = ЧГ';)$Р; (119,20) тогда матричный элемент (119,16) можно записать в виде Тьа = (Ч)ь ~ Ъ' !'Фа). (119,21) Для вывода уравнения, определяющего функцию Ч)ь ) в (119,21), и выяснения ее смысла,,умножим уравнение (!19,17) слева на функцию Фь. Используя равенство ФьУ(Еа — Но+ !Ч) =(Š— Но — !Ч) РФь, следующее из зрмитовости операторов Но и г', имеем ФьТ=Фь$~+(Š— Н,— (т)) ' РФьТ. $ ИЬ1 РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ АТОМНЫМИ ЯДРАМИ ЗЗВ Учитывая (119,20), из этого уравнения получаем уравнеиие, которому удовлетворяет функция Ч'~, ' Ч"ь '= Фь+ (Š— На — 1»1) УЧ'ь .
(119,22) Вспоминая рассуждения, проведенные в $107, можно сказать, что интегральное уравнение (!19,22) определяет'волновую функцию Ч"~ ', соответствующую функции конечных состояний Фь н представляющую сходящуюся к центру волну. Итак, матричный'элемент Тьа может быть определен' тремя выражениями Тьа= (Фь ! ТФа)= (Фь !У ~Чга+)=(Ч~а ~ !"! Фа)~ (119 23) где оператор Т удовлетворяет операторному уравнению (119,17), функция Ч'+~удовлетворяет интегральному уравнению (1!9,!9), а функция Ч'ь ~ удовлетворяет интегральному уравнению (! 19,22). й !20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
