Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 93
Текст из файла (страница 93)
ьа» Плотность потока падающих частиц равна О = Ьй,/!1, по- этому искомое эффективное сечение рассеяния принимает внд. »(О»д — — ф! А»д(0) !»»(И=; "Ь» ~А )(Ф»!В'!Ч'д )~ дй (114,Щ б40 1СВАнтОВАя теОРия РАссеяния 1гл. х!у Умножив (! 14,15) нп плотность потока падающих частиц, получим число Рассеян1вях частиц за одну секунду в элемент телесного угла ьИ: г!Р зп ~(1р )Ф'~ 1Р1+1)!11(р (114,16) где и вероятность перехола в единицу времени в первом приближе- нии теории возмущений г(Рь~~ = ~~п ! (Фь ! УР ! Ф ) (ь 1(рь, где матричный элемеьтт определяется интегралом (Фь! !Р!Фа~= ~ В'м(у) ехр(!(йь — йь)Г) д'г, в котором (114, 18) (114,19) ВЬАь вм (2пв)ь — чисзо конечных состояний, приходящихся в единице объема на единичный интер1ьзл энергии.
Если функцшо 11ачального состояния Ф, нормировать на однУ частицУ в объе1че Р', т. е. положить вместо (114,5) Ф, = Р' *1рь ($) ехр (Й,г), и число конечных со~тояний относить к объему У, т. е. г Пвэь ьд! прь = (~ Ь)ь то формула (114.!6) будет 'определять вероятность перехода а - Ь в одну секун1!у при столкновении двух частиц, находя- шихся в объеме К Формулы (!14 16) и (114 16) являются точными формулами определяющими соответственно вероятность перехода в единицу времени (в состоянчях непрерывного спектра) и эффективное сечение рассеяния. А(ля вычисления этих величин надо знать решение интегрального уравнения (114,11). Если заменить в этих выражениях значение Ч"+1 его нулевым приближением Ф„ то получим соответсъвенно эффективное сечение упругого и не- упругого Рассеяния в первом борновском приближении (большие скорости относи1ельного движения) 11п<в1 ( и )' Аь !(Ф !!!Р!Ф ~)ь,(гт 4 Нб] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА АТОМЕ БЕЗ УЧЕТА ОБМЕНА «4] й !15.
Рассеяние электрона на атоме без учета обмена Применим результаты предыдущего параграфа к вычислению эффективного сечения упругого и неупругого рассеяния электронов на атоме с одним электроном.'В этом параграфе мы будем предполагать, что электроны системы можно различать. Падающему электрону будет приписываться индекс 1, а электрону атома — индекс 2. Тождественность электронов будет учтена в 2 117. Электрон в атоме описывается оператором Гамильтона Н(2) = — — Че — —.
«е е ее' (115„1) еи ее собственные значения е„и собственные функции которого е]„(2) рассматривались в 2 38. Относительное движение электрона 1 и «2 атома определяется оператором — ' — Ч, (масса атома значи2п тельно больше массы электрона); взаимодействие электрона с атомом характеризуется оператором Че (г,г,) = — — —. е' Хее (115,2) гм е~ Таким образом, рассеяние электрона на атоме водорода определяется уравнением (Ео — Не)Ч'(1, 2)=Че(1 2) Ч'(1, 2), (115,3) где «е г Но = Н(2) — — Ч,. 2н (115,4) Функцию Грина оператора Не (см.
(114,10)), соответствующую решениям (115,3) в виде уходящих рассеянных волн, можно записать в виде С]+>(ггт ~ г,'гД = — — 2„«е,~)', Ч>л(г) ]р (г ) (! ! 5 5) ехр(й„~ е, — е] ~) ~1 ~! где «'Ат «'А' — =з — а -1- — =Š— а О. л о 2р л 2Н 'е Поэтому интегральное уравнение, соответствующее уравнению (1!5,3) и «падающей волне» Фе(1, 2) = е'"'Яре(ге)„ приводится (если учесть только открытые каналы) к виду 'Ро (г]ге)=Фе(1. 2) — 2я«, Х 'ЕА !г -е Х )~ ]рл(ге) ]р (ге), Ф' (г г )Че«+]!г г') Рг е(ег . (115,6) !е,— е,~ !гл. хш квантовая теория рассвяп33я 542 После' умножения уравнения (115,6) на 3р„"(и,) и интегрирования по координатам второго электрона находим функцию Р3+3(г,) = )' ф'„(и,) ЧУ+3(г,т ) 3(агм соответствуюшую рассеянной волне при возбуждении и-го состояния атома 73'3 3(т' ) = г'(+3 (т. ) Ега об И )г3 — г) = — — ", ~ ф„'(и',), )г (и',и,') ЧУ+3 (и'„г') сРг', 3(агт.
(115,7) 3 3 На больших расстояниях от центра (г3 — 3-оо) функция (!15,7) имеет асимптотический вид 13+03 (г3) Г 3 А о (В) е3а Г3 (115,8) где амплитуда рассеяния электрона ! под углом 6 при возбуждении атома из состоянии 0 в состояние п определяется выражением А„. (Е) = — — „",„, ((Р„~ и (,,) ~ Ч«,+3). (1 15,9) В матричном элементе (115,9) (Р„=ф„(гт)е "" (115,! 0) — функция «конечного состояния»; Ч'о — решение интеграль+ ного уравнения (115,6). Эффективное сечение рассеяния в элемент телесного угла с((! равно оао = — ',," ! А„(Е) Р (а. (115,11) Вычисление эффективного сечения рассеяния сводится к решению интегрального уравнения (115,6) или системы связанных интегральных уравнений е), которая получится из (115,7) при ») Подставляя (1!5,12) в (! 15,6) и умножая на 3Р„(гт), наводим после интегрирования по переменным гт систему уравнений 3а„~ РФ (г3) — йаее"~' — 2и».
~)~~ ~ !' (г3) р' о' (г3) 1г — г, где 3'л3а (г3) = ) фа3 (гт) "о ('3'я) 'Ра('т) " 'я Подставляя далее (115,12) в (1!5,9), наводим выражение для амплитуды рассеяния черен функции г~+3 (3,), 433о= — 2. ~т )~~~ ~ е " 33„~(г3) гя(е (3'3)» г3 ° д43 $ ! Бя подстановке (115,12) При больших скоростях падающего электрона можно применить борновское приближение, т.
е. заменить в (115,9) Ч~~+1(г1го) на Фо. В этом случае (Ф„! У(г,г,) !Фо) = )г е'о' У„о(г,) г(ог„ где ф = йо — яо, ٠— импульс, переданный электроном атому при рассеянии Уоо(г,) = ) ф„(го) У (г~го) фо(го) о(огм (1!5,13) (115,14) где Уоо — усредненная по основному состоянию атомного электрона потенциальная энергия взаимодействия падающего электрона с атомом. Эту потенциальную энергию можно выразить с помощью уравнения Пуассона (е( 0) 1РУоо (г) = — 4пер(г) (115, 15) где н(г) — плотность электронов в основном состоянии атома.
Подставляя в (115,15) разложения Уоо(г) = —, ) У е-И'о(од и р(г) =(— , ) рое 'о'о(49, Г ! получим где г (д) — = ) л (г) ей'аог — атомный формфантор, который зависит от распределения плотности электрона в атоме и от величины йд — импульса, передаваемого при рассеянии. Если плотность электронов РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА АТОМЕ БЕЗ УЧЕТА ОБМЕНА В частном случае упругого рассеяния (Фо! У! Фо) = ~ е'о'Уоо(г) г(ог = — Уо, через среднюю плотность электрического заряда в атоме р(г) =Хеб(г) — еп(г), доУТ вЂ” — 4пеР .
Следовательно, Уо= — ', ) р(г)еоого(г= —,(л — г" (д)), (115„16) (115,17) ХВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл. к1ч обладает центральной симметрией, то г" (О) = 4нд ' [ гп (г) з!п (дг) дг. о (!15,18) При упругом рассеянии е/ = 2/е з(п —, /е = ! /ее !. 0 Подставляя (115,14) в (115,9), находим с помощью (115,11) и (115,!6) в борновском приближении эффективное сечение упругого рассеяния электрона атомом [2пер(х — г (е)))~ /(1 1 Яе'!У вЂ” Г(2Аевр(0/2))! (~ /11 (115 19) 1 ~~~м (, 1 В закяючение вычислим явный вид атомного формфактора (115,18) для основного состояния атома водорода.
Волновая функция основногосостояния в атоме водородарре(г)= ехр ( — г/а) аа и рр р ррр сер ~ а ра= р ех ( — 2г/а) Подставляя это значение в (115.17а), находим Р(р/) —, [з!п(р/г)е "/'г е/г= [! + [2-) 1 . (115,20) е При малых углах рассеяния, когда 0 е е г/а = 2ао з(п — « 1„г" (р/) = 1 — — д'а'. Подставляя это значение в (115,!9), находим (при Л =!) йт= )А'( —,) е((1, аа «!. Таким образом, в области малых углов рассеяния эффективное сечение рассеяния не зависит от угла рассеяния.
При больших углах рассеяния, когда р/а )) 1, эффективное сечение рассеяния пр/ е 4 1 ЯА е! и (О/2) / совпадает с резерфордовским рассеянием на ядре атома (л=1). 0 116. Теория столкновений с перераспределением частиц. Реакции В предыдущих параграфах втой главы развивалась теория рассеяния,при котором допускались только внутренние возбуждения сталкивающихся частиц без изменения их состава. Наряду с такими столкновениями могут происходить столкновения сложных частиц, при которых в результате столкновений меняется состав частиц. Такие столкновения называют реакциями или столкновейаями с перераспределениел частиц. Будем исследовать только такие реакции, в результате которых в конечном состоянии получается две частицы. При столкновении с перераспределением часть(ц система описывается оператором .Гамильтона Н, который можно представить в двух видах Н = Н + )та = Нь+ ~'ь, (116,1) где Н, и Нь — эрмитовы операторы, описывающие кинетическую энергию относительного движения и внутренние состояния соответственно сталкивающихся и разлетающихся частиц; У, и т'ь— операторы взаимодействря соответственно сталкивающихся (входной канал) и разлетающихся (выходной канал) частиц.
Пусть Н.= —,д Р.'+Н а ава (116„2) — оператор Гамильтона кинетической энергии относительного движения (с приведенной массой !ь,) и внутреннего состояния сталкивающийся частиц. Его собственные значения и собственные функцйи соответственно равны вьэь Е,= —, + е„>0, Р Ф, = ~р„($) ехр (1й„т,). (! 16,4) (116,3) В результате столкновения происходит перераспределение составных частей столкнуввшихся частиц. Оператор Гамильтона кинетической энергии и внутреннего состояния новых разлетающихся частиц обозначим через аь ь Нь= — — »ь+ Нь (з).
эпь (116,6) Пусть ььчь Еьч = —, + е„~ ~) О, Фь ~р„(ь) ехр (юлить) (116,6) (116,7) — собственные значения и собственные функции оператора Нь. Задача о столкновении полностью определяется уравнением Шредингера (ń— Н,) Ч',= рьЧ~ (116,8) Щ А, С.„дьвцдьь э пы тво1на столкновения с пн в ьспьвдвлвнивм частиц ааа КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. хщ 546 с должным образом определенными граничными условиями. В качестве граничного условия потребуем, чтобы на больших расстояниях от центра инерции всей системы функция Ч' изображалась суперпозицией волновой функции сталкивающихся частиц Это уравнение удобно для нахождения асимптотики функции во входном канале. Волновая функция, удовлетворяющая интегральному уравнению (116,10), определяет все процессы рассеяния и реакции в системе.
Она описывает как относительное движение, так и внутренние состояния всех частиц системы (во всех каналах). Чтобы выделить процессы, связанные с реакциями в канале Ь, надо эту функцию преобразовать к виду, который при гь- оо соответствовал бы расходящейся рассеянной волне относительно переменной гь. В силу (116,1) функция Чг~+ =Ч"а (в ае) =Ч'а (ть, ~) удовлетворяющая уравнению (116,8) (и интегральному уравнению), одновременно удовлетворяет уравнению (Еа Нь) Ч"а ~= УАЧ"а ~.
(116,11) Это уравнение в символической форме имеет вид 1а Фь+(Еа Нь+йт!) аьЧа удобный для нахождения асимптотики рассеянных волн в выходном канале. Функция Грина оператора 'левой части уравнения (116,! 1) для открытых каналов имеет вид ь гг(г ь. К~') = — 2— а, ~~~ Чае (г),р„~ (Е') 'ь гь где ь 2Ньь ~ аа йь= — !е — е + — а~)0, аь ~ "а аь 2На/ (116,12) Фь = ф ($) ехр (Ле г ), (116,9) а ьа соответствующей энергии Е = — '+ е„и рассеянных, уходя2На щих от центра волн.
Удобно уравнение (1!6,8) заменить интегральным. уравнением, учитывающим одновременно и граничные условия. Такое уравнение можно записать в символической форме (см. 2 !14) Ч",+'= Фь + (Š— Н, + (т!) РаЧ !+'. (! 16,10) ь пм твоэия столкноввнии с пвэвэлспэвделвнивм чхстиц чьт Учитывая, что прн больших гь могут быть только уходящие'от центра волны, находим асимптотический вид функции Ч', для больших значений гь Ч'а (гь. э)= — ~ вьХ -+~ вь ь! Х',)', р.,К)~ р„',(~')'— ",' ",,"'~У,(,йЧ".+>(м0 (~'Р;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
