Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Если начальное состояние описывается волновым пакетом, то значение импульса в падающей волне будет задано с неопределенностью [[Зг ая, где [г — линейные размеры паиета. Во всех случаях, когда эксперименты ведутся с хорошо коллимированными и достаточно монохроматическими пучками частно. размеры волновых пакетов значительно ([с ~ г,) превышают размеры атомных систем. Понтону неопределенность значений импульса в пакете волн будет очень мала по сравнению с изменением импульса, обусловленным действием потенциаза, приводящего к рассеянию. Этим оправдывается упрощение, вводимое заменой волновых пакетов плоскими волнами.
й 109. Метод парциальных волн в теории рассеяния Если потенциал поля, в котором происходит рассеяние, обладает сферической симметрией, то момент количества движения является интегралом движения. Другими словами, состояннид, соответствующие разным значениям глового момента, в ассея- нни участвуют независимо. оэтому удобно представить падаю ю волну в виде суперпозиции пврциальных волн, относя- шихся к каждому моменту количества движения.
Выберем ось г координатной системы вдоль направления импульса падающей волны; тогда можно написать Оч гр (и) егь Х (21+ !) 1~3[(йг) Р[(созй) (!09,!) [ з КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !ГЛ ХРР з!О где 1,(йг) — сферические функции Бесселя, определенные в 335. Учитывая, что на больших расстояниях от центра сферическая функция Бесселя сводится к простому выражению Мп (Аг — — ) ((йг) -",, если йг Ъ) 1, можно представить асимптотическое значение (109,1) в виде Ю ф,(г) = (Йг) ' 2.", (2!+ 1) 1'Р,(сов 6) р,(г), (109,2) ю о где рс(г)=з!п(АТ вЂ” — ') = — '~е ' г — е А ' г(. (109,3) Первое слагаемое в фигурных скобках (109,3) соответствует сходящимся, а второе — расходящимся от центра сферическим волнам, Итак, каждая парциальная волна в (109,!) на больших расстояниях от центра представляет собой суперпозицию расходящейся от центра и сходящейся к центру сферических волн. Решение уравнения (106,1), определяющего рассеяние частицы в центрально-симметричном потенциальном поле )г(г), имеющем конечный радиус действия, можно также искать в виде суперпозиции парциальных волн.
Для этого положим Ю ф (г) = (йг) Х (21+ 1) !~КО (г) Рс (соз 6). (109,4) Переходя в уравнении (106,1) к сферической системе координат и подставляя (!09,4), получим уравнение — — + йт) Р~(г) = ~„, Р~(г), (!09,5) которому должна удовлетворять радиальная функция )о(г). Волновая функция (!09,4) должна быть конечной при г = О, следовательно, функция )о(г) удовлетворяет граннчному условию Р~(0) = О. (109,6) Если потенциал )г(г) при г — О изменяется не быстрее, чем 1/г, то при г — 0 уравнение (!09,5) переходит в уравнение Из этого уравнения при условна (109,6) следует, что Рг(г) г'+', когда г- О. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. Х!ч з!2 амплитудой рассеяния вперед А(0) и элементами матрицы рассеяния гг А (О) = 2', ~ (21 + Ц (1 — 81).
(109,10) С помощью (109,8) и (109,9) можно выразить через фазовые смещения дифференциальное сечение упругого рассеяния (109,12) в элемент телесного угла 4(!г — =) А (8) г = г1а нп =й „')''(21+1)(21'+1)Р,(созО)Р1 (созО)з)пб,з!пб;соз(б,— 61). 1, 1' (109,11) Интегрируя это выражение по всем углам при учете Р1 (соз 8) Р; (соз 8) гИА = +, бн, 4я получим интегральное сечение упругого рассеяния о=4пй ' ~ (21+ 1)згпгбн 1=О (109,12) Итак, интегральное сечение рассеяния можно представить в виде суммы парциальных сечений рассеяния оь относящихся к определенным значениям 1: о= ~он 1=О где ог = — (21+ 1) згп'б,= — ", (2!+ 1)(! — 81~э.
1 Аг (109, 13) (ог)гаке = ~г (21+ 1). (109, 14) Из (109,8) при учете (!09,9) следует, что мнимая часть ам- плитуды рассеяния вперед имеет вид ° 0 11п А (О) = — „)г' (21 + 1) з)пг 61. Множитель (21+ 1) в (109,!3) можно рассматрнвать как статистический вес 1-й парцнальной волны, т. е. как число состояний, различающихся квантовым числом и.
Из.(109,13) следует, что возможное максимальное значение сечения рассеяния равно з газ) МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ шз Сравнивая это значение с (109,!2), мы убедимся, что интегральное сечение упругого рассеяния связано с мнимой частью амплитуды рассеяния вперед простым соотношением о = — 1гп А (О), (109, 15) которое называется оптической теоремой. Применение метода парциальных волн особенно удобно в том случае, когда силы взаимодействия, определяющие потенциальную энергию )г(г), имеют малый радиус действия г( (таковы, например, ядерные силы, силы, действующие между нейтральными атомами и др,).
В таких случаях в рассеянии частиц малой энергии будут участвовать только парциальные волны с малыми значениями 1. В этом легко убедиться на основе простых качественных соображений. На расстоянии г, превышающем радиус действия г(, на частицу в состоянии с квантовым числом 1 действуют только центробежные силы отталкивания с ЬЧ (1+ 1) потенциальной энергией 2,, Поэтому частицы в основ2дгв ном будут двигаться на расстояниях г, удовлетворяющих неравенству (109,!6) где Š— энергия относительного движения.
Из (109,!6) следует, что расстояние гы= 1г( (1+ 1) А можно назвать расстоянием наибольшего сближения. При значениях г ( гм вероятность обнаружения частицы экспонепциально мала. Если радиус действия с( меньше гм, то соответствующие парциальные волны почти не попадают в область действия )г(г) и не участвуют в рассеянии. Следовательно, парциальные волны с квантовым числом удовлетворяющим неравенству Йг < ттт!:)- ч. (109,17) практически не участвуют в рассеянии. Для более строгого определения зависимости фазовых смещений б, ог хвантового числа 1 рассмотрим наряду с уравнением (109,5), записанным в виде — +~~» — — — — (Г(г)~ДГ=О, Яг(О)=О, г(%1 Г 1(1+ 1) 2д огв гв Ьв другое уравнение, соответствующее свободному движению, Лвпг ! 1(1 + 1) ) — „'+Р— —,1(д =О, Я (О)=Ц 17 А.
С. давыдов [гл. хит КВАИТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 514 4%1 4(аг 1 2р Г д — — )?г -у- ~ = — р ) К (г) )11 (г) Я (г) П . (109,18) 4=а о как было показано в 5 35, решение уравнения для функции Яр имеет вид Я (г)=АГ) (Аг), где 1(йг) — сферическая функция Бесселя. Если выбрать р достаточно боль- шим, чтобы можно было для др использовать асимптотическое значение Я (Г) з!п(Фà — — ), АГЪ 1, 1и 5 2 г" ( 109419) и искать асимптотическое решение для функции В(г) в виде 1и )11 (г) = мп(Аà — — + бр), 2 (109,20) то, подставляя зтн асимптотнческие значения в левую часть равенства (109,!8) находим уравнение, определяющее фазовое смещение бь если известно решение В, соответствующее асимптотнческому значению (109 20)4 Р Ф зш бг — — р ~ У (г) й (г) Ар (г) 41Г.
2р Г в (109,21) Полученное уравнение является точным. Для приближенной оценки величины фазовых смещений можно в (109,21) подставить вместо' )(44(г) функцию Яр(Г); тогда получим Аз!Пбр — — р ~ )г(Г)Г 14 (Аг)грг. о (109,2х2) Если а — область действия потенциала и лп'4П 1, то для сферической функ- ции Бесселя можно использовать асимптотическое значение (А )Г 11(~ ) 1 ° 3.5 ... (21+ П Тогда из (109,22) находим 2р(йл)ар+4 Г 1Г)зр+р з)пбр = — йр(1 3 5 (2(+ 1))р Д (~) ~о 1 о (109,23) Из (109,23) следует, что фазовые смещения являются нечетными функциями й. С ростом 1, при яп « 1, фазовые смешения быстро уменьшаются. Например. бр (А41)Р бр (Ы)4 бз (Ар))о бо 9 ' бо 225 бо 11 025 Сравнение (109,19) и (109,20) показывает, что фазовые смещения 61 определяют изменение фазы асимптотической радиаль- Умножая первое из этих уравнений на Еь а второе на )14, вычитая из первого полученного уравнения второе и интегрируя от 0 до р, находим равенство $109! МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 3!5 ной функции (109,19) под влиянием центрально-симметричного поля !г(г).
При отталкивании фазовые смешения отрицательны. Вычисление фаз рассеяния с помощью выражения (109,22) соответствует борновскому приближению. Оно справедливо при условии, когда ! з!и б1 ! ! 61 ! « 1. Если энергия относительного движения такова, что И « 1, то говорят, что происходит рассеяние медленных частиц. Из (109,17) и (109,23) следует, что при столкновении медленных частиц в рассеянии участвуют только з-волны (1= 0), т. е.
Отличным от нуля является только фазбвое смещение бо. Исследование рассеяния парциальных з-волн сводится к решению уравнения (109,5) при ! = О, т. е. уравнения ( — „о + й') йо(г)=2и)г(г)О йо(г). (109,24) Чтобы определить фазовое смещение бо, надо решение уравнения (109,24) преобразовать при больших значениях г к виду !то (г) = еиЬ з(п (йг+ бо), (109,25) который получается из (109,7) при Оо= ехр (2!бо). Решение уравнения (109,24) будет исследовано в следующем параграфе. Как было показано выше, при рассеянии частиц малой энергии в рассеянии участвуют только з-волны (! = 0) и дифференциальное сечение рассеяния не зависит от угла рассеяния (! 09,26) Если в рассеянии участвуют волны с несколькими значениями 1, то, согласно (109,11), дифференциальное сечение рассеяния будет определяться интерференцией волн с различными значениями /.
Например, если в рассеянии участвуют волны с 1= 0 и 1=1, то о!а = — „, (з(по бо + 6 яп бо яп б, соз (бо — б1) соз О + 9 з)по б, созо О! ай, 1 Следовательно, интерференция рассеянных з- и р-волн приводит к нарушению симметрии рассеяния вперед и назад по отношению к углу 90', которая имелась бы при рассеянии одних только з- или р-волн. Если рассеяние' характеризуется, небольшим числом отличных от нуля фазовых смещений, то, определяя дифференциальное сечение рассеяния как функцию угла О, можно с помощью (109,11) вычислить фазовые смещения. Такая обработка экспериментальных данных носит название фазового анализа сечений рассеяния. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ Задачей теории рассеяния является вычисление фазовых смещений или амплитуды рассеяния по заданной потенциальной энергии взаимодействия 2г(г).
В ряде случаев (например, в ядерной физике) приходится решать обратную задачу — определения вида потенциала по измеренным значениям фазовых смещений. Чем большее число фазовых смещений известно, тем большие сведения можно получить о характере У(г), !гл. хш й 110". Упругое рассеяние медленных частиц Как, было показано в предыдущем параграфе, рассеяние медленных частиц (Ы <('1) определяется уравнением ( —, + й') До ( ) = 2р У (г) й 'йо (г), (110,1) с граничным условием г,(о)=о (! 10,2) при г = О, и асимптотической формой Кц (г) = С з(п ((ог + бо) (!! 0,3) на больших расстояниях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
