Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Прежде чем исследовать общее решение этого уравнения, рассмотрим простейшие случаи. а) Рассеяние на. сферической пр я м о угол ьной потенциальной яме — если г <21, О, если г>2(, соответствующей притяжению. Решение (110,3) удовлетворяет уравнению (110,1) для всех значений г) 2!. Внутри ямы уравнение (110,1) принимает вид ( — „, +К2)Щ(г)=0, К21(0)=0, (!10,4) где К =й +Ко, Ко= —. 2 2 2 2 2Я2'о В2 (! 10,4а) Уравнения (110,4) удовлетворяются волновой функцией Ко, (г)= С, з(п Кг.
(110,3) Поскольку нас интересует только фазовое смещение, то вместо приравнивания волновых функций и их первых производных достаточно приравнять при г = 2! логарифмические производные — — .функций (110,3) и (110,5). Таким образом, получаем ! о'к й с(п(й2! + бо) = К с(и (Кг!). ' (1! 0,6) упРуГОе РАссеяние медленных чхстиц в нм 51Т ЕсЛи ввести обозначение К с(й (Квв) лля логарифмической производной волновой ней области при Г д, то из (110,6) следует эп — !к (эл) 1аб = !+Авва(эл) ' нли (!!0,7) функции внутрен- (1! 0,8) (110,8а) бв = агс 1д (я1)) — Йв(, «Разовое смещение бв, опРеделЯемое из (!10,8), ЯвлЯетсЯ много- значной функцией, и нас интересуют только главные значения, лежащие в интервале — н/2 ( бв ( н/2.
При малых энергиях относительного движения 1д Ы ° Ы + (А,У)в + — + ..., поэтому (110,8) принимает более простой вид ~+Авж" При выполнении неравенств Ы « 1 и Йв)И «! значение 1п'бв еще более упрощается: 1дб. й( — 0=И~ "~~" — !). (1!0,9) В этом случае интегральное сечение рассеяния о= —,, з)пвбв = 4н(Π— 11)в=4нг)в !! — а ) . (110,10) 4л . в При малых энергиях относительного движения и глубоких по- тенциальных ямах выполняется приближенное равенство К'= й'+ Ко Ко- (110, 11) Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния на глубокой сферической прямоугольной яме при ' малых энергиях относи- тельного движения будет выражаться формулой пв= 4нг!в~! — Я . ' ), (110,12) Из (110,9) и(110,10) следует, что при выполнении равенства 1д(К()=К( (1 10, 13) фазовое смещение и эффективное сечение рассеяния равны нулю.
Таким образом, при некоторых значениях глубины и раз- меров потенциальной ямы последняя не приводит к рассеянию з-волн, энергия которых такова, что выполняется равенство (110,13). Это явление получило название эффекта Рамзауера. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. хпг Рамзауер в 1921 г. установил, что эффективное сечение рассеяния электронов на атомах инертных газов (Аг, Кг, Хе) двстигает особенно малых значений при энергиях электронов 0,7 ВВ. Такую особенность рассеяния не могла объяснить классическая теория. Квантовая теория дает простое объяснение эффекта Рамзауера.
Поле атомов инертных газов убывает значительно быстрее с расстоянием, чем поле какого-либв другого атома, поэтому в первом приближении это поле можне заменить сфернческой прямоугольной ямой и для вычисления сечения рассеяния медленных электронов использовать формулу (110,10). При энергии электронов 0,7 эВ выполняется приближенно равенство (110,13) и а О. Если равенство (110,13) не выполняется и Кг/ чь(2л+ 1)я/2 (л = О, 1, ...), то при й- 0 фазовое смещение ба стремится к нулю, а эффективное сечение (110,10) стремится к конечному пределу.
Знак фазового смещения ба при малых энергиях определяется знаком разности $ = !й' (К4 — К(. При значениях Кг(( я/2 разность и, следовательно, бо положительны. При Кг/- я/2 сечение рассеяния О стремится к весконечности. Этот факт не противоречит формуле (109,14), определяющей максимально возможное парциальное сечение рассеяния, так как при й- 0 (оо) ~ аь- оь. При и/2 ( Ког(( я знак $ (и ба) делается отрицательным. При рассеянии медленных частиц на потенциальной яме, удовлетворяющей условию (110,11) и КоЫ = (2л+ 1) и/2 сечение рассеяния достигает максимального, резонансного значения. Если учесть, что, согласно (36,11) ($36), условие, определяющее наличие з-уровня с нулевой энергией в сферической прямоугольной яме, имеет вид С1я КФ = О, то мы убедимся, что сечение рассеяния медленных частиц на сферической потенциальной яме достигает максимального значения в том случае, если яма имеет з-уровень с энергией Е = О.
Еслн Ког( = и/2, то в яме имеется только один з-уровень с энергией Е = О. Прк КАЫ = а/зп потенциальная яма будет иметь два з-уровня, один нз которых обладает энергией Е = О. При КРН= '/гя в яме имеется три уровня типа з и т. д. Если экстраполировать волновую функцию (100,3) в область малых значений г и нормировать ее к 1 при г = О, то получим функцию д(г) = сов йг+ с!дб,з!п /гг. При малых значениях энергии и малых значениях г, удовлетворяющих неравенству йг ~ 1, эта функция преобразуется к виду а (г) -1- -,' (110,14) рпрргоа рассеяния медленных частиц З но1 где величину а — (й с!я б,) (1! 0,15) называют длиной рассеяния. Из (1!0,14) следует, что длиной рассеяния можно назвать значение т, при котором функция у(т), соответствующая экстраполяции асимптотическога решения (110,3) к малым т, обращается в нуль.
При малых глубинах потенциальной ямы, когда Ког/( я/2 (и в яме нет э-уровней), фазовое смещение бо положительно и длина рассеяния а отрицательна (рис. 21). При Кос! = и/2 в яме появляется первый аср, р'аяр а=, о' а азр, Еаср рис. ХЬ длина рассеяния при разных нараметрах нотеициала езанмолеастяия.
з-уровень с энергией Е = 0; в этом случае бо = я/2 и длина рассеяния а = ~со. При и/2 ( Кос(( я фазовое смещение отрицательно, а длина рассеяния положительна. Формула (110,!2) определяет фазовые смещения в приближении, когда выполняется равенство (110,!1). При не очень больших глубинак потенциальной ямы, для определения зависимости фазовых смещений бо от энергии, надо пользоваться выражением (!10,9).
В этом случае максимальное сечение рассеяния, соответствующее бь = я/2, будет определяться из условия Кд = [/гх+ ~ '~' г(=(2а+ 1) — '. (1!0,16) Значения энергии относительного движения, соответствующие значениям /г, удовлетворяющим условию (110,16), называются виртуальными уровнями энергии. Вспоминая выражение (!10,7) для логарифмической производной волновой функции на поверхности т = И, мы убедимся, что условие максимума парциального сечения рассеяния оо совпадает с условием обращения в нуль логарифмической производной ь)-'. 1гл.
х1Р КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 520 б) Рассеяние н а сферическом и о т е н ц и а л ьном барьере ) га, если г ~ (а', )г (г) = О, если г ) 4(. В этом случае внутри барьера уравнение (!10,1) принимает вид ( —, + Ко) Код (г) = О, Ро1 (0) = О, (110, 17) где К = й — Ко* Ко= 2)о)'ой (1!0,18) Вне барьера решение имеет вид (110,3). Внутри барьера )сщ — — С, ейп Кг, если й ) Кщ )1щ = С з)1 (4г, если й ( Ко, (110,19) где Я = )'К~о — й .
При малых энергиях (4 = Кщ поэтому, приравнивая логарифмические производные функций (110,3) и (110,19), получаем (при йг( ~ ! ) бо — — агс!и (ЯВ) — М, (! 10,20) где ш (Ол) а (КФ) (110,21) 0 Ко Поскольку 1)1(Коо() (1, то из (!10,20) следует, что при й- 0 фазовое Смещение Ьо всегда стремится к нулю. В пределе бесконечно высокого барьера (непроницаемая сфера) В = 0 и фазовое смещение бо — — — М. Этот результат может быть получен и непосредственно из условия равенства нулю асимптотической функции (110,3) на поверхности сферы г = о( (внутри бесконечно высокого барьера функция равна нулю).
Интегральное сечение з-рассеяния при Й вЂ” 0 стремится к конечному пределу а,= — з1пзбо= 4п1(з~ ' — !) . (1!0,22) 4я . 1 I ш(Кон) Л Ао Коо! При возрастании Ког( эффективное сечение (110,22) медленных частиц монотонно приближается к пределу оо = 4по!э, соответствующему рассеянию на непроницаемой сфере. Значение оо 4по(т в 4 раза превышает классическое сечение для рассеяния на твердой сфере радиуса Ы.
При возрастании энергии относительного движения, когда М ) 1, значение бо, определяемое (110,20), может равняться лп, где л — целое отрицательное .число. В этом случае парциальное сечение з-рассеяния обращается в нуль. Однако при Ы ) ! в рассеянии будут участво- УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ % по1 52! вать и волны с ! Ф О, поэтому полное сечение рассеяния не обращается в нуль. в) Потенциальная энергия произвольной ф о р м ы. Решение уравнения (110,!) при произвольной потен- циальной энергии !Г(г) удобно провести в импульсном представ- лении.
В силу граничного условия (110,2) в разложении )со(г) могут встречаться только синусы; таким образом, )со(г) = ) )с (д) Яп (дг) Г!Г!. о Подставляя (!10,23) в (110,!) и учитывая равенство з!Пдгз1пд'го(г= — '" б(ц — о!'), 2 о (110,23) (Ч вЂ” й') К Ю = ) Р И, 9') ~ Ю М а (110,24) где 1l (д, д') =,н ~ *у'(г)япдгяпд'го(г. (!10,25) о Уравнение (110,24) можно заменить интегральным уравнением г! (Е) = Аб (9 й) + (дг йо)-' ) )г (9 о)') )с (~)') й!' (110 26) о Где слагаемое Аб~д — Й) является решением уравнения свободного движения (д — йо)б(д — я) = 0 и соответствует падающей волне с энергией относительного движения Ьайо/(2!о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
