Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Нас интересуют решения (1!0,26), которые в координатном представлении имеют асимптотический вид (1!0,3), т. е. Ро (г) = С з!и (йг+ ба) = С сов ба (яп ег + !д бо соз йг). (110 27) Чтобы найти такое решение, преобразуем (1!0,26) в координатное представление, тогда получим и'(г)= Аз)пйг+ ~, ~~, япдго(д, (!10,28) о где в®= ~ р(д, д') к(~) (! — регулярная функция д. (110,29) получаем уравнение з-рассеяния в импульсном представлении КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 522 [гл. Хгч Постоянная А и правило обхода полюса д = й прн вычислении интеграла (110,28) определяются условием, чтобы при г- ОО функция (110,28) переходила в (110,27).
Следует отметить, что рассеянная волна в (110,27) соответствует стоячей волне, а не волне, уходящей от центра, как это было в выражении (109,7). Чтобы получить асимптотическое значение функции (110,28) в виде (110,27), надо вычисление интеграла (110,28) проводить в смысле главного значения. Для выделения сингулярной части в интеграле (1!0,28) проведем преобразование ('-~~ '=2' (=',+ +,) Поскольку второе слагаемое в этом выражении регулярно, то его вклад в интеграл при г- Оо равен нулю, на том же основании можно отодвинуть нижний предел до — Оо. Следовательно, г(г( = — ~ — дд, если г-5 ео.
В (ч) 5РА Цг В (А) 5!и ЧГ Чг — А' 2А,) д — А Если положить д — Й = х, то, обозначая главное значение интеграла с помощью символа У ), при достаточно больших значениях г можно написать У» ~ Маваг ( = 3!п(А )95 ( 555 хг лх+ сов(йг) 95 ~ 5Ш хг ( д — А х х Учитывая, что находим окончательно Л(г)= Аз(пйг+ — созйг (г — оо). ЯВ (А) Сравнивая полученное выражение с (110,27), находим А = С сов б„— =С зщб5, ЯВ (Ф) 2А или !й 65 — 2А 1 — 2АА ~ )г (й, 9 ) )5 () ) 5(5) . (110,30) Если известно решение интегрального уравнения (110,26), то, подставляя его в (1!О,Ю), можно вычислить фазовое смещение 65.
В частности, если можно применять борновское приближение, з и!01 тпатгоа гассвяниа медленных частиц 523 надо в (110,30) подставить Я(д) = Аб(д — й), тогда получим, учитывая (1!0,25), (!К бо) = 2а' —— — —,,2 ! у (г) з!п'(йг) дг. о Трудность решения интегрального уравнения (!10,26), а в некоторых случаях и недостаточное знание потенциальной энергии взаимодействия Р(г) затрудняют использование формулы (110,30) для вычисления фазового смещения бо. В связи с этим прибегают к косвенным методам, позволяющим выразить фазовое смещение бо через некоторые величины, определяемые нз эксперимента.
Введем, например, обозначение (1! 0,31) для логарифмической производной радиальной волновой функции (110,27) вне области действия сил. Тогда фазовое смещение з-рассеяния выражается непосредственно через !(й): ба — — агс!и ~ — 1 — йй, йй << ! . (110,32) ! (а! В случае прямоугольной потенциальной ямы 1(й) = 0-' и зта формула переходит в (110,8а). В общем >ке случае вычисление требует знания волновой функции внутри области действия сил. Из (110,32) непосредственно следует, что если логарифмическая производная 1(й) при некотором значении йо обращается в нуль, то фазовое смещение !бо( = и/2 и сечение з-рассеяния достигает максимального значения 4 го . о 4я Оа — —, з!п' бо — — —,.
оо ~а В связи с этим энергия Е,= ЙойЦ(2!о), соответствующая значению й = йа, при котором логарифмическая производная !(й) обращается в нуль, называется резонансной энергией, и говорят, что потенциальная яма имеет виртуальный уровень энергии Е,. Для ямы прямоугольной формы равенство нулю логарифмической производной сводилось к равенству (110,!6). Для вычисления логарифмической производной 1(й) надо знать решение уравнения Шредингера оо эо — — ~, + !' (г) — Е) До (г) = 0 (! 10,33) 2Н А'о для э-состояния внутри области действия сил (г ~ й). Если энергия Е « ('г'(г) ( и в потенциальной яме Г(г) имеется дискретный э-уровень с отрицательной энергией, равной — е при !гл. х1ч квантовая твогпя ехссвяния 524 Поскольку при г.4 а Я' = Ем то можно положить ) (й): — — „)~'21гв .
(110,35) Таким образом, при е и Е, значительно меньших ( Р(, логарифмическая производная выражается через энергию связанного з-состояния. Подставляя значение (110,35) в (110,34); находим Эффективное сечение (1!0,36) достигает максимального значения при энергии относительного движения Е = О. Это максимальное значение тем больше, чем меньше е; при е = 0 наступает «истинный» резонанс. Формула (1!0,36) сравнительно хорошо описывает зависимость сечения рассеяния от энергии относительного движения (до 5 МэВ) при рассеянии нейтронов на протонах в состоянии с параллельными спинами.
В этом случае е ж 2,23 МзВ соответствует энергии. связи нейтрона с протоном в дейтроне, и = = М/2, где М вЂ” масса нуклона. При этом максимальное сечение Из определения длины рассеяния (110,!5) и (!10,3!) следует, что в приближении нулевого радиуса действия сил (Н = 0) логарифмическая производная равна с отрицательным знаком обратной величине длины рассеяния. Таким образом, в этом приближении длина рассеяния, логарифмическая производная е - (Р(г) ), то Ра(г) (для г «-. Ы) будет мало отличаться от решения уравнения [ 2 +Р (г)+а1 Г(г) О При г ) д уравнение (110,34) переходит в уравнение [ — — — „, + а| Е" (г) = О. Решение этого уравнения, соответствующее связанному состоянию, имеет вид )г" (г) =А ехр( — — „' )г2ра).
Следовательно, при г = г( должно выполняться равенство УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ Э 11П 525 и фазовое смещение связаны соотношением — — = й С1п ба =1(й). ! а (110,3У) Используя это соотношение и (110,35), можно вычислить длину рассеяния а1 для случая рассеяния нейтронов на протонах в триплетном состоянии (спины параллельны) а1= — = 5. 10 см.
Л -1З !' 2ре В случае рассеяния нейтронов на протонах в состоянии с антипараллельными спинами (синглетное рассеяние) длина рассеяния отрицательна а, = — 2,5 10 — ьт см. В синглетном состоянии нейтроп и протон не образуют связанной системы. В этом случае энергия е, = йт!1(2!га',) = 37 кэВ соответствует виртуальному уровню системы (длина рассеяния значительно превышает радиус действия ядерных сил !Π— 1э см, хотя и не равна аа) и сечение рассеяния выражается формулой Ом= 4п ~й'+ —,) (! 10,38) Поскольку в формулу (110,38) входит квадрат длины рассеяния, то исследование упругого рассеяния нейтронов на протонах в синглетном состоянии (так же, как и в триплетном) не определяет знака длины рассеяния, Другие примеры использования логарифмической производной для определения сечений рассеяния будут исследованы в в 2 120.
й 111». Упругое рассеяние в кулоновском поле В предыдущих параграфах мы рассматривали упругое рассеяние, предполагая, что потенциальная энергия У(г) отлична от нуля только в некоторой области пространства (г ( 1(). В связи с этим в случае з-рассеяния асимптотическая радиальная функция имела вид (!10,3) с постоянным фазовым смещением бм В ряде случаев потенциал хотя и убывает с расстоянием, но недостаточно быстро, и представление о конечном радпусе действия сил становится неоправданным. Примером такого взаимодействия является кулоновское взаимодействие с энергией У(г) = -~- у.е'/г На больших расстояниях от центра потенциал (Г(г) имеет малую величину и изменяется плавно, поэтому для определения асимптотического вида волновой функции при больших г можно 1гл. хпг КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 526 использовать волновую функцию квазиклассического приближения (22,7а) (при а = О, чтобы Еч(0) = 0): г Ез(г)= — з(п~ — 1 [г2р[Š— (г(г)[дг, — ", =йт.
(111,1) Всегда можно выбрать такое значение г= р, чтобы Е » 1'(р), поэтому «)гг2Й [Š— )г (г)[ = й — —... если г~)р. 1 Р1г (г) где Р г ба=' — йр+ « ~ [/21А [Š— (г(г)[ Иг — «г« ~ 1'(г) г(г. (111,2) о р Если при больших г )г (г) = — „,, и где п) О, то г 1пп ~ )г (г) г(г = — „; В г.+ ав ар" р следовательно, фазовое смещение бр при г- ао стремится к конечному пределу. Если же )г(г) = В/г, кан в кулоновском поле, то г — ' ° (г (г) дг= В1п —. р (111,3) Таким образом, фазовое смещение бз с ростом г растет как 1п г.
Этот результат сохраняется и для фазовых смещений с 1~ О. При 1Ф 0 надо в (!11,2) заменить )г(г) эффективной потен«г1 0 цпальной энергией1 1)г(г)= 1г(г)+, и интегрирование 2иг' проводить по области гэ гь доступной классическому движенвю (г, определяется из условий Š— В'(г~) = 0), В связи с тем, что фазовые смещения б~ при г- оо изменяются пропорц:юнально 1п г, применение метода парциальных воли (9109) для вычисления рассеяния в кулоновском поле неудобно (надо учитывать все значения 1).
В этом случае сравнительно легко получить точное решение задачи, не прибегая к Разбивая интервал интегрирования в (111,1) на две части от 0 до р и от р до г, можно написать Ез (г) = = з1 и (Йг + Ьа), А Ур г пг1 УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 52т ~ —, + (1 — Йг) — — ЛйФ= О, егф г(аг (111,6) где Л= -ь 2,2гегв дгхгег ггггг ае (111,7) о — скорость относительного движения. Уравнение (111,6) совпадает с уравнением для вырожденной гипергеометричсской функции для аргумента Й$ (см.
мат. дополн,, Г), следовательно, Ф(е) =СЕ( — гЛ, 1, Й$), (111,8) где С вЂ” множитель нормировки функции. Воспользовавшись асимптотическим разложением вырожденной гипергеометриче- ской функции Г(Р)( — е) е ( а(а — ()+!)1+ Г(й) Г(Р— а) [ е 1 Г(а) при е»1, можно преобразовать Ф($) к виду С ( — гай)гл (' гР 1 Сеге((гад-'А = Г(1+гЛ) ~! гай~+ гЬРГ( — Л) ц!РЫ !' „2 1 .Л И(-цме( ~ ' ! г(1+Ел) ~ п(21 и;г(1 — Рл) при этом мы использовали равенство ( — ЙЗ) = ехр( — + !Л!п Ц1. ( пл 2 парциальным волнам. Наиболее просто задача решается при использовании параболических координат 5, ть ф (см.
5 16). Если направить ось е вдоль волнового вектора падающей волны, то в силу аксиальной симметрии задачи волновая функция ф может быть выбрана только как функция переменных $, т), где е = г — е и т) = г+ е, Учитывая вид оператора Лапласа 1 (16,19) и г= — (2+ У)), получим уравнение Шредингера для рас- 2 сеяния в поле +. 2,2,е'lг Решение этого уравнения, соответствующее сумме плоской волны и расходящейся сферической волны, можно искать в виде ф (з, т))=ехР(Й" 2 )Ф(з). (111 6) Подставляя (111,5) в (111,4), находим уравнение для функции Ф (В) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1гл. х!1г Подставляя асимптотическое значение Ф($) в (! 11,5) и переходя к сферическим координатам; т) — й = 2г, х) + З = 2г, получим следующее асимптотическое значение полной функции — — ехр ](йг — 1Л !п 2йг] ~, (111,9) А (а) г где А(8) ЛГ(1+ 1Л) ехр [ — 21Л 1и мп(а/2)! (111 1()) 2ЙГ (! — КЛ) Мпе (6/2) — амплитуда рассеяния, Первое слагаемое в (111,9) представляет падающую волну ехр (1яе), искаженную множителем ~1 —, 1ехр]Ы!п й(г — г)], учитывающим действие кулоновского поля даже на больших расстояниях от центра.
Плотность потока, создаваемая этой волной, 2п1(ф ф ф т) я ~ Г(1+ГЛ) (если г- Оп), так как поправки к плотности потока, обусловленные искажением плоской волны, пропорциональны 1/г. Второе слагаемое в (111,9) соответствует расходящейся сферической волне, которая также содержит дополнительный логарифмический член в фазе. Выражение для потока частиц в телесный угол Ю равно МС' ] ехр(ЯЛ(2) ~~ (8) е г l р ! Г(1+1Л) следовательно, ~А'мЫ~(0)2) ( 2р~~ ) ~ ' 2) ' ( !2) Эта формула совпадает с классической формулой Резерфорда и формулой (108,9а), выведенной в первом борновском приближении. Такое случайное совпадение имеет место только в кулоновском поле.
Согласно (111,5) и (111,8) полная волновая функция в кулоновском поле, имеющая асимптотику типа (111,9), т. е. содержащая расходящуюся сферическую волну, может быть записана в виде ф'~' = Се ыр ( — еЛ, 1, й$), (111,13) опоогоа гассяяниа в колоновском пола 529 $ пп (!11,14) Используя асимптотическое разложение гипергеометрической функции для малых значений аргумента: Р (а, (), г) = аг = 1+ — + ..., можно вычислить квадрат модуля волновой функции (100,13) в начале координат /ф~+'(О) !'=! С !' = — "! Г(1+ ЕХ) !'е-"".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
