Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 94
Текст из файла (страница 94)
ль гь 'ь или Ч'~+'(гь, ~)= ~)' <Р (~) А (и) ь ь, (116,13) гь "ь где Аь (л) = ( — — "„,) (Фь! Уь[Ч"~~~) (116,14) йь — волновой вектор рассеянной волны. Волновая функция Ч",+', входящая, в (116,14), является решением интегрального уравнения (116,10). На опыте наблюдается поток частиц одного из продуктов реакции, соответствующий переходу в одно из состояний, изображаемых суммой (116,13). Поток этих частиц в единицу телесного угла в направлении и выражается через амплитуду рассеяния и равен — ! А„(п] !ь. Разделив этот поток на плотвь ность потока падающих частиц Эйь/!ь„, получим эффективное сечение соответствующей реакции где конечное состояние характеризуется функцией (116.15), а йь определено соотношением (116,'!2).
Если в (116,14) заменить функцию Ч'~+' ее нулевым приближением Фь (см. (116,10)), то получим амплитуду реакции в борновском приближении Аь (и) = ( ~ вь ~<'Ьь! кь ! Фа>. (116,16) — амплитуда рассеяния, и — единичный' вектор в направлении рассеяния Фь=Ч.ьЮехрЯьгь). (116, 15) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [Гл. Х['г' С другой стороны, если бы мы исходили не из уравнения (116,8), а из уравнения (116,!1), то амплитуда реакции в борновском приближении определялась бы выражением Аьь (и) = — ~ — Я~г ) (Ф,! Ъгь ! ФД и, следовательно, существенно отличалась бы от (1!6,16).
Эта неоднозначность приближенных выражений связана с неортогональностью функций начального Ф, и конечного Фь состояний, поскольку онн являются функциями различных гамильтонианов Н иНь и 117. Рассеяние электрона на атоме водорода с учетом обмена В 2 115 было рассмотрено рассеяние электрона атомом при условии, что падающий электрон и электрон атома считаются разными частицами. В этом случае асимптотическое значение волновой функции Ч",+'(г,г,) = егь 'чрь (гь)— я г ° г еььь~г[ г[~ — ь т;А ЧМ ф (гь) 7,т [+'(гюг[тт (117,1) при больших значениях г, сводилось к виду Чг',+''(г,гь)= е ь'ьфь(г,) +,'); ф„(г,) Аьь (6) ехр ([й„г,) —, (117,2) где А ь= — и (Фь[)г [[Чг[+[) Ф =в~~""ф (г )' (117 3) опе атор Р', определен (115,2).
ели считать электроны различимыми, то наряду с указанным выше процессом рассеяния электрона 1 при возбуждении атома в и-е состояние, возможен еще процесс захвата электрона 1 в и-е состояние атома при испускании электрона 2 в направлении угла 6. Такой процесс соответствует столкновению с перераспредслением частиц, описанному в предыдущем параграфе. В этом случае оператор взаимодействия между электроном 2 и атомом, в котором место электрона 2 занял электрон 1, имеет вид еь Хеь ьгь (гт гь)— (117,4) г~ь гь и конечному состоянию соответствует функция Фь (г,г,) ф„(г,) ехр ([й„гд).
гкссвянив элнкп>она нх атома водоэодл 549 $ п>] Асимптотическое значение волновой функцииЧ~+>(г т,) при больших значениях гз в соответствии с (116,13) можно записать в виде Ч'~+>(гзг>)= ~ Фл(г>)Вл,(0) ~ "г'1, если гз велико, (117,5) где В..= — —,„", ( Ч )г,! Ч '.+'). (117,6) Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния электрона а возбуждением атома в состояние и с.одновременным обменом электронами определяется выражением >(и„„= —" [ В„, (О) г >!й; (1 17,7) Чтобы учесть тождественность электронов, надо провести правильную симметрнзацию (по отношению к перестановке координат электронов ! и 2) координатной волновой функции Ч>>:»(г>г ), определяемой уравнением (!17,1). В системе двух электронов симметрия координатпой функции.
зависит от спинового состояния системы. Если прн столкновении спины антнпараллельны (синглетное спнновое состояние), то координатная волновая функция должна быть симметричной относительно перестановки г> и гз,'следовательно, . Чг,= Чп;»(г,г,) -1-Ч6+>(г г,). (117,8) Прн больших значениях гт та же функция имеет нсимптотнче- ский вид Чг = е "лглфз (г>) + >ллг + ~~~Ф (г>)(А„„(0)+ Влл(0)) —,. если г, велико. л (1 17,9а) Из (1179) (или из (!!79а)) следует, что в сннглетном спинозом состоянии дифференциальное сечение рассеяния Учитывая (117,2) и (117,5), мы убедимся, что функция (117,8) при больших значениях г, имеет асимптотическое значение Ч', = е "Фз (г,) + Млл~ + Яф„(г,) [Алл+ В„,! —.
если г, велико. (117,9) г> КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл. хпг электрона на атоме с возбуждением атома в л-е состояние определяется выражением еЬп=! Ап (О)+ Вп, (О) !22(11 — ". Если при столкновении спины параллельны (триплетное спиновое состояние), то координатная волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановки Г~ и г2. Поэтому Ч', = Ч'." (Г,г,) — ' Ч7'(Гег,).
(117,10) Тогда, используя (1!7,2) и (117,5), получим асимптотические значения Ч',= е 'фе(г2)+ Маг! + ')~ ф„(г,> (Ап. (0> — Вп. (Е)) — ', Ч',= — в' а'пфе(Г~) — ' ~елгг — $ ф (г,)(Ап (О) — Впп(0>) ЕСЛИ Г2 ВЕЛИКО, ЕСЛИ Г2 ВЕЛИКО. Следовательно, при рассеянии в триплетном спинозом состоянии до~=! Апп(0) — Вп,(0) 12еЮ ф.
" (И7,11) а )рпо (Г!),~ грп(Г2) ~ ) фО(Г2)ГРГ21 р! Хт В = — —,) ф'(г)е л 2 а ~ — — — ~фе(Г2)СРГ,Гаге. В Впг Г -аг+2ег Г! йт Зпап ) л ! гм Для неполяризованных электронных состояний эффективное сечение рассеяния электрона на атоме при его возбуждении в и-е состояние равно г(О= ( ~ ! Апд — Впд 12+ 4 ! А,п, + Впа !2) 2223 А ° В борновском приближении в формулах (117,3) и (117,6) надо заменить Ч',+ (Г~Г2) значением е ' фе (Г2), тогда получим следующие выражения для амплитуд рассеяния: Ап.= — — р- ~ е( а и> ')р~о(Г2>еРГО МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ э нщ й 118.
Матрица рассеяния При изучении общих свойств процессов рассеяния н реакций удобно испольэовать оператор рассеяния В,матричные элементы которого образуют Злматрицу, или матрицу рассеян я. Матрица рассеяния связывает начальное состояние системы, когда сталкивающиеся части системы еще находятся на бесконечном рассгоянии, с конечными состояниями, соответствующими разлету продуктов реакции на бесконечные расстояния. Пусть Ф,( — оо) — волновая функция начального состояния, характеризующая в момент времени 1 = -оо относительное движение двух подсистем и их внутренние состояния. Оператор рассеяния 8. определяет асимптотическое поведение волновой функции Ч'з(оо) вне области взаимодействия, т. е. конечного состояния, возникающего к моменту (= оо после столкновения. Таким 'образом, Чг (оо) = ЗФ ( — оо).
(118,1) Если Π— полный эрмитовый оператор Гамильтона системы, то оператор рассеяния В можно определить соотношением *) 5 = , 1(т й ((, 1е), (118,2) г +»» гг'+ -"~ где Й(1, (о)=ехр~ — — Н(( — (е) ~ й (118,3) — унитарный оператор. Функция Ч' (оо) характеризует все возможные процессы рассеяния и реакции, которые могут произойти после столкновении подсистем, находившихся при ( = — оо в состоянии Ф . Обозначим через Фь одно из возможных конечных состояний, определяющих тип разлетающихся частиц, их внутренние состояния и относительное движение.
Каждая из возможностей распада, *) С помощью оператора Гамильтона Н можно проследить за непрерывным изменением состояния от СР»( — »») до Ч' (»»). Гайэенберг высказал мненне, что такое подробное опнсанне не является необходимым. Для описания процессов рассеяния н реакций достаточно знать аснаптотнческое поведенне волновых функций до стслкновення н после него, когда сталкивающнеся н разлетающиеся частицы являются свободнымн.
В этом случае можно отказаться от уравнення Шредингера н понятия гаынльтоннана н рассматрнвать равенство (118;!) как определение оператора 8. Прн таком подходе оператор Л н его матрнчные элементы, с помощью которых вычисляются ве- 6 оятностн разлнчных процессов, являются основным н велнчннамя теории.
бка еще не удалось на втой основе построить аоследовательную теорию (без введения уравнения Шредингера), способную описать как реакции, так н все связанные состояния. По-внднмому, теория, содержащая только 8-матрацу, не будет достаточно полной. ЯВАИТОВАЯ ТЕОРИЯ РАСОЕЯИИЯ !гл, хщ характеризуемая индексом Ь, называется каналом реакции. Начальное состояние и конечное состояние, соответствующие уиругому рассеянию, относятся к входному Каналу, все остальные состояний соответствуют выходным каналам.
В теории 3-матрицы рассматриваются только начальные и конечные состояния„соответствующие достаточно удаленным друг от друга подсистемам, когда можно пренебречь их взаимодействием. Поэтому начальное н конечное 'состояния соответствуют непрерывному спектру. При ядерной реакции происходит переход из определенного начальною состояния (определяемого условиями эксперимента) в определенные конечные состояния непрерывного спектра.
Функции Фь (включающие как частный случай при Ь = а н функцию Ф,) образуют по определению полную ортонормированную систему функций, поэтому можно написать '!'. (Оо) = Х Фь (Фь Р~ ). ь Квадрат -модуля коэффициента разложения (Фь|Ч',) в (1!8,4) определяет вероятность того, что при 1= оо система находится э состоянии Фь. Используя (118,1), эту вероятность можно записать в виде гвьь =. ! (Фь 18 1Фь) !ь = — ( оьл !ь =ь ! (Ь! 8! а) (ь. (1! 8,5) Из унитарности оператора (118,3) следует унитарность оператора 8 н унитарность матрицы рассеяния. Унитарность матрицы рассеяния Ю определяется соотношением 8~3= 1, (118,6) или в подробной записи ХЗььЗы= Х! Зьь 1= 1 ° (1! 8,7) .
Условие унитарности матрицы рассеяния (118,7), как легко видеть при учете (1!8,5), сводится к утверждению, что сумма всех вероятностей перехода равна 1. Условие унитарности (1!8,7) накладывает некоторое ограничение на элементы матрицы рассеяния. Из определения (1!8,2) 'следует, что матрица рассеяния диагональна по квантовым числам, соответствующим интегралам движения в системе, т. е. относительно значений физических величин (полная энергия, момент количества движенияьи др.), операторы которых коммутируют с оператором О. Квадраты модулей элементов матрицы рассеяния (Ь!о!а) определяют вероятности переходов (118,5) из состояния а в состояние Ь.
Поэтому элементы матрицы рассеяния не могут зави- мАтРНИА РАссеяния $ пь! ббз сеть от выбора системы координат. В связи с этим элементы матрицы рассеяния могут быть функциями только таких интегралов движения, значения которых не зависят от выбора системы координат. Например, в простейшем случае упругого рассеяния частиц без спина (Э 109) матрица рассеянии содержала только диагональные элементы Бь которые зависели от квантового числа 1, характеризующего орбитальный момент количества движения й не зависели от квантового числа ть определяющего проекцию момента на ось г.
Если с падающей волной не происходит никаких изменений, то матричные элементы матрицы- рассеяния равны 5ьа = бь . Поэтому процесс рассеяния (и реакции) принято определять оператором У = 5 — 1 с матричными элементами ! (5 — 1)„; (1 18,8) ( 5„, если Ь.Ф' а. Новый оператор .сг не унитарен. Из условия унитарности оператора рассеяния 5 следует у ьу = — (у + у ь), или в явном виде ХУ асУ сь (У аь+ У аь). (118,8а) Процесс рассеяния и реакций обычно характеризуется'эффективным сечением, которое определяется как отношение числа переходов в единицу времени к плотности потока падающих частиц (в системе центра инерции).
Определим, как выражается вероятность перехода через матричные элементы У ь или матричные элементы матрицы рассеяния 5ь . Учитывая, что энергия является одним из интегралов движения, можно написать (Ь! 5 — 1 (а) = — 2п!Тьаб (Еь — Еа), (! 18,9) где матричный элемент Тьа соответствует состояниям а и Ь, относящимся к одной и той же энергии. Поэтому Тьа называют матричными элементами Т-оператора на энергетической поверхности (см. $101). Множитель 2п! выбран для удобства (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
