Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Воспользовавшись далее известными свойствами гамма-функций Г(1+ х)= хГ(х), Г(!х) Г(1 — (х) =, получим ! Г(1-(-(7.) Р=! йГ(!7,) Г(1 — а) != '"„1„'!' Следовательно, ~ ф<+ (,)(з о! езха — ! ! (! 11,15) Представляет интерес предельное значение (111,15) при малых скоростях относительного движения сталкивающихся частиц. Из (111,7) следует, что 1Х( )) 1 при малых о, поэтому зал,г,о' для сил притяжения, Лоо ~ф (0)~ = зал,г,о" 1 е "" для сил отталкивания.
во' (1! 1,16) Из (111,16) следует, что при малых относительных скоростях экспоненциально мала вероятность нахождения на малом расстоянии частиц, имеющих одинаковый знак электрического заряда. Это обстоятельство очень существенно сказывается в ядер. ных реакциях с заряженными частицами. Уравнение (111,4), кроме решения ф+! (! 11,13), асимптотика которого на бесконечности соответствует сумме плоской и расходящейся сферической волн, имеет решение ф!-!, асимптотика которого является суммой плоской волны и сходящейся сферической волны.
Функции ф! — ~ можно формально получить из ф!+>, Для этого надо перейти от ф+! к комплексно сопряженной 2~9~ где $ = г — х = 2г з!п' ( — 1. Если нормировать ф~~~ на единичную плотность потока на больших расстояниях от центра, то согласно (1!1,11) надо выбрать С = ф) Г (1 + й) е "~г'. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ »гл, х»ч функции и затем в полученном выражении заменить г на — г Следовательно, ф» »= Се А г (И„1, — »йт«), (Ш,«7) где т«=г+я. Легко убедиться, что решение (111,!7) может быть получено из уравнения (!11,4) путем подстановки за ($, т«) = ехр( — (й 2 )»Р (т»). Если желательно выделить парциальное рассеяние кулоновским полем частицы в состоянии с определенным орбитальным моментом, то надо подставить в уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом )г(г) = -Е 2»Уте'/г волновую функцию (109,4), тогда радиальная функция )с»(г) будет удовлетворять уравнению ~»( ) + ~йт — (У(г) — ( ы ) ) М~»(г)=0, (111,18) где' У(г) = 2й)с/г; Х определено выражением (111,7).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию )7»(0) = О, имеет вид о»(г) = 1 ( + + «! (2йг)'е~~"г(1)с+! — 1; 21+2; — 2(йг), (21+ 1)1 (1! 1, 19) где Е(а; Ь; х) — вырожденная гипергеометрическая функция (см. мат. дополнение, (Г,!1)). Решение (111,19) при йг » 1 принимает асимптотический вид йй, (г) Ф з!и (йг — 2Я + б, — Х!и 2йг) . (1! 1,20) При этом фаза парциального кулоновского рассеяния определяется равенством ,А»А» Г (1+ 1+ »Л) (111,21) Г(1+ 1 — Ы) ' Из (111,19) следует, что квадрат волновой функции в е-состоянии в точке г ж 0 определяется выражением ~ ф, »т = ~ — ' ~ = е "~ ! Г (1 + 1)с) г' = »»р(г) 12 2яХ етЯА 1 Для потенциала отталкивания и малых скоростей )с » 1, поэтому !ф.!' ж 2и)се-' ~. Мнонситель ехр ( — 2НА) измеряет проникновение частицы в кулоновский барьер и называется множителем проникновения.
ЭФФЕКТЫ ОБМЕНА ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 5 ня й И2. ЭФфекты обмена при упругом рассеянии одинаковых частиц без спина тр(г) = е'А'+ —, е™. (112, 1) В системе, состоящей из двух одинаковых бесспиновых частиц, функцию (!12,1) следует симметризовать. Учтем, что при перестановке двух частиц вектор г меняет знак. Следовательно, в сферической системе координат (г( остается неизменным, а угол 0 переходит в и — 6. Поэтому симметричная волновая функция будет иметь вид )у (е1ы+ е мь+ А(8)+А( — Э) 1~Г) (112 2) Г где Ж определяется из условия нормировки волновой функции.
Первые два слагаемых в (!12,2) определяют начальное движение обеих частиц в системе центра инерции: одна частица движется вдоль положительного направления оси е, а другая ей навстречу. При И=1 функция (112,2) нормирована так, что плотность потока, соответствующего движению каждой сталкивающейся частицы, равна по абсолютной величине О = И/(А, т. е.
скорости относительного их движения ()1 — приведенная масса). Второе слагаемое в (112,2) соответствует рассеянной В предыдущих параграфах рассматривались столкновения неодинаковых частиц, не имеющих спина. Рассмотрим теперь процесс упругого столкновения одинаковых частиц без спина. Ктаким частицам относятся, например, альфа-частицы, ядра атомов С", О", атомы инертных газов и др.
При упругом рассеянии этих частиц их внутреннее состояние не меняется, поэтому состояние каждой частицы определяется указанием только ее положения в пространстве. Как было показано в Гэ 71, система, состоящая из двух частиц, не имеющих спина, может описываться только симметричными функциями по отношению к перестановке частиц. Это свойство симметрии волновой функции должно быть учтено и в теории рассеяния одинаковых частиц. Учет тождественности чаэ стиц приводит в теории рассеяния к новым эффектам, которые Принято называть эффектами обмена.
В системе центра инерции относительное движение двух частиц определяется радиусом-вектором г = г, — гь где г1 и гэ — координаты каждой частицы в отдельности. Если начальное состояние определяется относительным движением частиц вдоль оси е, то волновая функция системы для больших г без учета тождественности частиц имеет вид $1Щ ОБМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ УПРУГОМ СТОЛКНОВЕНИИ ЧАСТИЦ ЕЗЗ эффектом обмена. Это слагаемое имеет наибольшее значение. при О = 90' (что соответствует углу 45' в лабораторной системе координат). При этом угле учет членов, соответствующих обмену, приводит к удвоению дифференцйалыюго сечения по отношению к сечению, полученному без учета обмена.
Обменный эффект является существенно квантовым эффектом. При Ь- 0 величина Х -у со; следовательно, последнее слагаемое в (1!2,5) быстро осциллирует и, усредненное в очень малом интервале углов, приводит к исчезновению обменного эффекта. При малых. скоростях относительного движения. величина Х также велика, поэтому при усреднении сечения по некоторому интервалу углов члены, соответствующие обменному эффекту, исчезают. По тем же причинам можяо не учитывать обменные эффекты при малых углах рассеяния. О 113. Обменные эффекты при упругом столкновении одинаковых частиц„обладающих сливом Если сталкивающиеся частицы обладают спином, то состояние системы определяется функцией, зависящей от координат и спинов.
В общем случае при столкновении частиц интегралом движения является полный момент количества движения системы. В ряде случаев можно пренебречь маловероятным изменением ориентации спина при столкновении (см. О 121), тогда интегралами движения будут в отдельности полный спиновый момент и орбитальный момент количества движения. В этих случаях полная волновая функция Ф системы двух частиц может быть записана в виде .произведения координатной $ и спиновой функции )1. В системе центра инерции координатная функция зависит только от вектора г, определяющего относительное движение.
Спиновая функция )((з1ез) зависит от з1 и з„определяющих ориентацию спинов обеих частиц относительно некоторого направления. Предположим, что в столкновении участвуют две одинаковые частицы со спином 1/т (электроны, протоны, некоторые ядра). Тогда суммарный спин системы либо равен О, либо равен 1. В первом случае (синглетное сливовое состояние) координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки частиц (см. $ 72). Следовательно, координатная волновая функция будет иметь вид такой же, как функция (112,2) и сечение рассеяния ГЬ,=~ А(О)-1- А(п — О) )тг(11, если 5=0.
(113,1) В триплетном спиновом состоянии, когда Я = 1, координатная волновая функция антисимметрична, следовательно, 1)11(г) = е" — е-1А*+ ' ' е1А', (113,2). А(8) — А(а —, 8) 1гл, х1т КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ -'534 а сечение рассеяния 1(а,=! А(0) — А(п — 0) 1зс((), если Я=!. (113,3) В частном случае, когда рассеяние обусловлено только кулоновскими силами, сечение рассеяния в синглетном спиновом состоянии совпадает с (112,5), а сечение рассеяния в триплетном спи. новом состоянии равно 1 2 сов (х 1п 1к'(8/2)) 1 /113 4в 12(зов/ ) в1п'(8/2) + сов'(8!2) в1пв(8!2) совв(8/2) )' в ' ) Из (113,4) следует, что при 0 = 90' (в системе центра инерции) .эффективное сечение упругого рассеяния с(пв = О. Таким образом, если рассеяние происходит на частицах с определенной ориентацией спина, то в рассеянии под углом 0 = 90' (в лаборатопвч ной системе этому углу будет соответствовать угол 0„= 45 ) будут наблюдаться только частицы, имеющие ориентацию спина, противоположную ориентации спина частиц мишени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
