Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 87
Текст из файла (страница 87)
й 107*". Функция Грина для свободной частицы находим 6(г !г')=6(г — г)=(2п) Г ~ е~ е дзд (107,1а) Это выражение после. интегрирования по угловым переменным можно преобразовать к виду деМ" 6(х)=(4п'сх) ' ~ ~, Щ (! 07,2) где х= (г — г (. Интеграл (107,2) вычисляется с помощью теории вычетов. Его значение остается неопределенным до тех. пор, пока не заданы правила обхода полюсов о = ~ Й. Правила обхода полюсов определяются из граничных условий, накладываемых на функцию 6(х) при х- оо. Чтобы получить решения, соответствующие уходящим от центра волнам, следует выбрать путь интегрирования А, указанный на рнс.
20. Тогда интеграл (107,2) равен умноженному на 2Й! вычету подынтегрального выражения в единственном полюсе д = Й, лежащем внутри контура интегрирования. Таким образом, находим 6 (х) ехр (!Ах) (107,3) Функция Грина свободного движения частицы определяется уравнением (106,5). Перепишем это уравнение в виде 6(г !г')=(7'+Й9 'б(г — г'). (107,1) Подставляя в (!07,!) интегральное представление б-функции через собственные функции оператора свободного движения б(г — ю')=(2Й) ') ехр(Й!(г — г'))г(зй, КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл. хщ Чтобы получить функцию Грина бс >(х), соответствующую сходящимся волнам, надо интегрирование в ((07,2) броводить по .контуру В, указанному на рнс.
20. В атом случае внутри контура будет полюс а7 = — й и ех ( — гйл) а<, ~о - - — а — '.—. 4ял Правила обхода полюсов можно указать и путем формальной .замены в знаменателе ((07,2) значения й значением й+ (в для -А-и 4-уе Рпс. ао. Привяла обкола полюсов лля полуаепкя фупкппй Грппа О+ н О функции бьн(х), где з — малая положительная величина, которая после вычисления интегралов должна быть устремлена к нулю. При такой замене полюса подынтегрального выражения л7 = -~(й+(е) смещаются в комплексную область (рис. 20, С) и внутри контура интегрирования остается полюс й+(з. После интегрирования надо перейти к пределу з- О. Для получения функции б! >(х) надо в знаменателе подынтегрального выражения ((07,2) провести замену й- й — (е (рис.
20,б). В ряде случаев при проведении промежуточных вычислений нет необходимости в явном вычислении функции Грина, и удоб.но пользоваться символической записью. Покажем, как это делается на примере уравнения ((06,!). Имея в виду дальнейшие обобщения, перепишем уравнение ((06,!) в виде ((07,6) (Е, — Но) ф = %'еР, етнкция ггинх для своводнои частицы я ми где йо Но = — — 'ро 2в (!07,67 будет ф.= р.+(Е.— Н,)-'Уф..
Чтобы выделить решения, содержащие только расходящиеся рассеянные волны, надо указать правило обхода полюсов, соответствующих энергии Е„. Это удобно сделаТь, заменив Е, комплексным значением Ео+ !в. Таким образом, искомое решение будет иметь вид ф~+»=~р, +(Е, +(е+ Н1 о г'ф~+~. Решения уравнения (!07,5), соответствующие сходящимся волнам, будут определяться уравнением ф,' ~= юр, +(Е, — Ее — Н ) ' Ъ~ф' '. (107,9) Уравнения (107,6) и (107,9) являются интегральными уравнениями.
Для явной записи уравнения (107,8) надо разложить функцию Уф,'+' по собственным функциям ф оператора Но, т. е. по функциям, удовлетворяющим уравнению (Е,— Н,) (,=О, (107,10) В нашем 'случае оператор Но является оператором кинетической энергии свободного движения и его собственные функции являются плоскими волнами (при нормировке в д-пространстве) еч . яЭояо ф =(2п) *ехр(щг), Е,= — Я Итак, разлагая р'ф',~~ по полной ортонормированной системе функций ~ря, имеем ~фа 1 'ря(ря( ! !фа г (107,10а) где (~р ! У (.ф'+~)=(2п) ь ~ е 'Я~Ъ'(г')ф'~~(г )о(ог', (107,12) — оператор свободного движения частицы с приведенной массой !г; Е,— энергия относительного движения.
Формальным решением уравнения (107,5), соответствующим «падающей» волне ~р„удовлетворяющей уравнению (Š— Но) ф =О, (107,7) квлнтовля теоеия елссеяния 1гл. хщ Подставляя (107,1!) в уравнение (!07,8) и учитывая, что ~р являются собственными функциями оиератора Нл (см. (!07,!О)), можно написать Подставляя в это выражение (! 07,Юа), (!07,! 2) и Е„= = взйз((2!л), находим явный вид интегрального уравнения Г *г'(г')й~,+~ !г')е чы т'а~дн~г Фа (г)= Фа(г)+ р(эя)з ) (э+ы )и чм, (!07,!3) где в'= !лз/(Юг).
Учитывая, что (2п)-3 ~хРРФ(г — ~ !» г(з (л+ !з !й чй 9= (+) а также (Ю73), мы убедимся, что уравнение (107,!3) тождественно совпадает с интегральным уравненмем (Ю6,8). й 108. Теория упругого рассеяния в борновском приближении нормированной на одну частицу в единице объема, а конечное состояние 'рь= ехр(й,г), (108,2) то, согласно $93, в первом приближении вероятность перехода в единицу времени из состояния ~р, в состояние фл с направлением импульсов.в телесном угле д!) определяется формулой г)р = + (Чл! У ! Р.> )' 1Р, (108,3) где я'зл лп Р= !я ~л)з (! 08,4) Рассеяние частиц при столкновении можно рассматривать как квантовый переход в состояниях непрерывного спектра из начального состояния, соответствующего свободному движению с импульсом р, = ай„в конечное состояние с импульсом Вял под влиянием оператора возмущения У(г), определяющего энергию взаимодействия сталкивающихся частиц.
Покажем, что вычисление вероятности такого перехода в первом приближении теории возмущений соответствует первому борновскому приближению в теории рассеяния. Если начальное состояние изображается плоской волной <Р,= ехр (Й,г), (ЮЗ,!) $!ьь! УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В ЕОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 507 — число конечных состояний в 'единице объема с направлением импУльса в телесном Угле дь), оь — скоРость относительного движения частиц в конечном состоянии.
Разделив вероятность перехода (!08,3) в единицу времени на плотность потока падающих частиц, численно равную о, — скорости относительного движения, получим при учете (!08,4) сечение рассеяния в элемент телесного угла ь(1), " ьа !"ь о (Еяа~)> ь ! ~фь1 У 1фа) ! "(й. (!08,5) "а а При упругом рассеянии иь = о, и формула (!08,5) переходит в формулу (!06,!4а), полученную 'в первом борновском приближении.- Учитывая явный вид волновых функций, можно преобразовать матричный элемент перехода к виду (фь1 У 11ра) = ~ У (Г) ехр 11(йа ать) г11(ьг= У (йь йа)> (!08 6) где Ьр = в(йь — йа) — импульс, переданный частицей при рассеянии. Таким образом, матричный элемент, определяющий сечение рассеяния, является фурье-образом потенциала, соответствующим переданному импульсу при рассеянии. При упругом рассеянии 1йь1 1йа1=6 и (йь йа1 2йз!и а > (!08 7) 0 где 6 — угол рассеяния.
Следовательно, вероятность рассеяния под углом 6 связана с вероятностью передачи импульса бр = = 2ей з!П(6/2). Если потенциал У(г) сферически симметричен, то в (!08,6) можно провести интегрирование по угловым переменным >> У(йь — йа)= !а "Э !'~ У(Г)гз!п(! йь — йа1Г)сьг. (!088) ь Таким образом, в этом случае фурье-образ потенциала зависит только от абсолютной величины переданного импульса, и сечение упругого рассеяния принимает вид (2яа» 1У (2йз!и 2)! Г(ьь' (!08,8а) Если У(Г) является четной функцией от Г, то (!08,8) можно написать в виде у(й й ) — ~" ~ у(г) е" 1 "ь "а(гь(Г.
(!08,86) аь аа >а КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ )гл. хоу где о — скорость относительного движения. Сравнивая (!08,9а) с (!089), мы видим, что экранирование кулоновского поля не сказывается иа упругом рассеянии для всех углов О .» Оо. где Оо определяется из условия 2рго з!Н(Оо!2) = й. При О < Оо сечение рассеяния изменяется медленно, приближаясь к конечному максимальному значениоо при 8=0. б)мП о т е н ц и а л Г а у с с а У (г) = У ехр ( — го/(2гоо)). Этот потенциал является четной функцией, поэтому можно использовать формулу (!08,86). Тогда получим У((йо — )),!)=(2п)лгоУоехр~ — — (йо — й,) го~ н дифференциальное сечение рассеяния 2пя го)го 8) до= ехр ! — 4й'г'з!п' — )д!е. йе ! о (108, 10) Следовательно, эффективное сечение упругого рассеяния монотонно уменьшается с ростом угла рассеяния.
в) Сферическая прямоугольная яма У(г) = = — Уь если г (го, и 1'(г) = О, если г > го. В этом случае потенциал также является четной функцией г. Используя формулу (!08,8б), находим !во аа! (108,11) Вычислим явный вид дифференциального сечения упругого рассеяния для простейших потенциалов: а) Э к р а н и р о в а н н о е к у л о н о в с к о е п о л е У (г) = ехр~ — — !. Подставляя это значение в (Ю88), находим гд г го У((йо — й,!) = !ао — а !'+— а Подставляя это выражение при учете (!08,7) в (!08,8а), получим явный вид дифференциального сечения рассеяния 2ПХ~Х,ее 14р мпо(8/2)+ Й /г~~! При го- пю экранирование отсутствует и формула (Ю8,9) переходит в известную формулу Резерфорда Гп ( ЯХ,Х,ее )о ( Х~хеео )о !08,9а Л() ) 2р' о!и' (8/2) 1 ! 2ное о)п' (8/2) ) й 109) метод пдрцняльных волн в твории пдссвяння 509 Подставляя (!08,! !) в (!08,8а), получим дифференциальное сечение рассеяния.
Интересной особенностью эффективного сечения упругого рассеяния на потенциале, соответствующем сферической прямоугольной яме, является то, что при больших энергиях относительного движения сечение рассеяния осциллирует при изменении угла рассеяния. При малых энергиях движения, т. е. при условии з = = йго (< 1, сечение рассеяния мох[но разложить в ряд по малому параметру $. Тогда легко видеть, что во всех трех рассмотренных выше примерах с точностью до членов $я сечение упругого рассеяния не зависит от угла рассеяния.
Таким свойством обладают все потенциалы с конечным радиусом действия го. В связи с этим исследование упругого рассеяния медленных частиц не позволяет отличить один потенциал от другого. рассматривая рассеяние как переход из начального состояния в ионечное под влиянием возмущения [г(г), мы использовали для изображения начального и конечного состояний плоские волны ([08,[) и ([08,2). Однаио плоские волны, строго говоря, непригодны для точного описания процесса рассеяния методом квантовых переходов, так каи они всегда имеют бесконечное протяжение и. следовательно, всегда чприсутствуют» в области действия сил. При строгом описании процесса рассеяния надо начальное состояние изображать волновым пакетом, так как пучок падающих частиц коллимирован в пространстве и попадает в область действия сил тольио через некоторое время, и рассеянные волны должны появляться только после того, как падшощая волна достигнет области действия сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
