Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Поскольку рассеянные частицы прн большом удалении от центра движутся свободно, то относительная энергия их движения всегда положительна и не квантована. Таким образом, в задаче рассеяния мы имеем дело с непрерывным спектром. Итак, в стационарной формулировке задача рассеяния частицы массы упРуГОе РАссеяние чАстиц Без спинА 497 $106] !А с положительной энергией относительного движения Е в потенциальном поле )г(г) сводится к решению уравнения Шредингера (Ч'+ дат)(г)= !'1 тр(г), (106,!) где йт = 21АЯ.~Е.
(! 06,2) Предположим, что )у(г) отлично от нуля только в некоторой ограниченной области пространства 1г~ ( 11. Эту часть простран- л Рис. 19, Расселине н системе центре инерции. З вЂ” угол рессеинии. ства будем называть областью действия сил. Вне области действия сил частицы движутся свободно, и их состояние движения можно описать плоской волной фа (г) — ехр (Йаг), Й„= йи, ' (106,3) удовлетворяющей волновому уравнению (106,!) без правой части. Волновой вектор й, связан с импульсом р относительного движения простым соотношением р вйа. Функция гв,(г) нормирована так, чтобы плотность потока 'частиц численно равнялась скороСти относительного движения, т.
е. в Ваа та= он! (ФатРРа гтнаУФгг~) (106,4) Пусть ! описывает поток «падающихн частхчь состояние движения которых соответствует плоской волне (106,3). В результате взаимодействия происходит рассеяние частиц. Наша задача состоит в отыскании таких решений уравнения (106,1), которые представляли бы суперпозицию плоской волны (!06,3) и КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [гл. Хп> рассеянных волн, уходящих от области действия сил. Такие решения легко получить, если использовать функцию Грина оператора левой части уравнения (106,!), который представляет собой оператор свободного движения частицы. Функцией Грина оператора свободного движения называется функция С(г)г'), удовлетворяющая уравнению с точечным источником (>»«+ й') С(г !г') = 5(г — г').
(106,5) Если известно решение уравнения (!06,5), общее решение уравнения (т'+ я-) Ф (г) = А (г) (106,6) всегда можно представить в виде Ф(г) = ф(г)+ ! С(г )г') А(г') Уг', (106,6а) где ф(г) — решение уравнення (!06,6) без правой части. Как будет наказано в й !07, решение уравнения (106,5), соответствующее уходящим (рассеянным) волнам, имеет вйд ехР(й!г — г'!) (1067) «ЮГ Г Ан! поэтому в соответствии с (!06,6) и (!06,6а) можно преобразовать уравнение (!06,1) к виду Полученное уравнение является интегральным уравнением, определяющим полную волновую функцию >)>а задачи рассеяния. На больших расстояниях (г )) д) можно положить я!г — г ! ° г. ° йг — й«г', где я« — — й —; поэтому асимптотическое значение г ' ~,(г) имеет вид е>А' фа (г) = фа(г) + "'!«а г ~ г(,, (106,9) где А«а= — —, ) з ' «'У(ю )>!> (г')«(«>'.
(10610) Принимая во внимание, что ф«= ег «является плоской волной, определяющей движение эффективной частицы с импульсом р« = ай«. можно переписать (!06,!О) в виде '1«а ааяа«(ф«! 1 !>)>а). (! 06,11) Функция А«, называется амплитудой рассеян я. Согласно .(106,11), амплитуда рассеяния пропорциональна приведенной упРугое РАссеяние ЧАстиц Без спинА 499 $ !0б] массе и зависит от энергии относнтельного движения, угла между векторами й, и Мь и потенциала рассеяния. Из (106,9) следует, что на больших расстояниях от области действия сил расе] ~ сеянная волна фр„,— — Аь,— целиком определяется амплитудой г рассеяния Аь .
Рассеяние принято характеризовать дифференциальным сечением рассеяния с]о(О, ]с), которое определяют как отношение числа рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла с]11 = з(п О с(О](~р частиц к плотности потока падающих частиц. Через элемент площадки Гэь]11 в одну секунду проходит ]„г'д11 частиц, где радиальная плотность потока Поэтому, принимая во внимание (106,4), находим связь между дифференциальным сечением рассеяния и амплитудой рассеянии до= ' = — ! Аьагс(12 !1а ! Аа при упругом рассеянна ]1 = й . Итак, дифференциальное сечение рассеяния однозначно определяется амплитудой рассеяния, для вычисления которой с помощью формулы (106,11) надо знать решение интегрального уравнения (!06,8).
Если энергию взаимодействия )Г(г) можно рассматривать как малое возмущение, то уравнение (106,8) решается методом последовательных приближений. В результате получим г агь]- фа (Г) =Фа (Г) 2 аа ~ ~ )Г (г ) ]]]а(Г ) д Г + (106,13) Подставляя (106,!3) в (106,!1), мы представим амплитуду рас- сеяния в виде ряда АЬа= 2 Ва ('РЬ!)'!]са)+ Э Г Егюа М] +(2нь~) Рь( ) ! г ! 1 (г) ( )та(г) г~~г + Если этот ряд сходится и мы сохраним первые ]1] членов, а остальные отбросим, то полученное приближенное выражение называют ]]]-м борновсним приближением.
В частности, в первом борновском приближении (106,14) Аьа = 2наа (с]>ь! 1 !]ааа)' КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !гл, хпг Подставляя (106,14) в (106,!2), можно вычислить дифференциальное сечение упругого рассеяния в первом борновском приближении ,(О~В~ ( Я ) ! (, ! Р ~, ) )г,(г! (106,14а) Следовательно, при вычислении амплитуды рассеяния в первом борновском приближении надо в выражении (!06,1!) заменить функцию ф падающей волной Ч»,.
Перейдем к исследованию области прнменимости борновского приближения. Из (106,13) следует, что замена в интеграле (106,11) функции ф, падающей волной возможна лишь в том случае, когда в области действия сил (где Р'(г) велико) выполняется неравенство „,(2~/ << й2 17 !,~~ ! У() (зг~ (! 06,15а) где Согласно соотношению неопределенностей, величина В2/(2!м(2) характеризует кинетическую энергию электрона в области с линейными размерами Н, Следовательно, неравенство (106,15а) сводится к требованию, чтобы кинетическая энергия частицы была значительно больше ее потенциальной энергии. Если потенциальная энергия Р'(г) сферически симметрична, то в интеграле (106,!5) можно выполнить интегрирование по угловым переменным.
Выбирая направление й, за ось г, получим (учитывая, что й = )й,) ) условие применнмости борновского ппиближения для сферически симметричного потенциала . 1Г~,)~. — ~1"~~:Вй. )о (106,! 6) гнмг г ! ! Ч" ( ) ! ~ 2яа2 .) !г — г ! Обычно г'(г) имеет наибольшее значение при г = О. Полагая в этом неравенстве г = 0 и подставляя значение ~,(г), получаем общее условие применимости борновского приближения !""' "' — ехр Яйг + й„г!) г(~г ~ << !. (106,15) При малых энергиях относительного движения, когда !!а « 1, в интеграле (106,!5) можно заменить экспоненциальные множители единицами, В этом случае неравенство (106,!5) преобразуется к виду упРугое РАссеяние чАстиц еез спинА 501 При больших энергиях относительного движения (Ы » ! ) равен нулю вклад, вносимый слагаемым, содержащим экспоненту, поэтому это условие переходит в простое неравенство !АУг(г « ййгг(, (106,16а) Г где У= е ~ У(г)г(г .
При малых энергиях, когда йг(<< 1, моо жно в интеграле (106,16) разложить экспоненту в рял, Учитывая два члена этого ряда, мы снова приходим к неравенству (!06,1ба). Рассмотрим явный внд условия справедливости борновского приближения для некоторых типов потенциальной энергии. г1 а) Экспоненциальный потенциал У(г)=Уаехр( — -~. га г' В этом случае а 2Уойго У (г) (емьг — 1) 1(г =— 2йга — 1 о и условие (95,16) сводится к неравенству 2гг, ! а Й' УТ+ 4Й ' При йга « 1 это условие переходит в 2!ТУ,гаг « й', при йгр »1 получим !АУага « ййг.
б) Экранированный кулоновский потенциал У(г)= = — ехр( — аг), где а= 1/га. Чтобы вычислить интеграл гяга' Г ~ е-аг (еггег !) г о продифференцируем его по параметру а; тогда са — = — ~ е (ег'ы — !)дг= —— дг Г 1 ! да 1 а а — 2й' Интегрируя полученное выражение по а, находим 1 = !па .— 1п(а — 2!й)+ С.
При а= со Г= О, следовательно, С= О, та. ким образом, г — ь1~ — ггг — — ю Гт+ггнг-а, г ~га=гг;. Итак, условие (106,16) для экранированного кулоиовского потенциала принимает вид ггггг [1~ Ут + ггч)' + а!2 «гг' КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ !Гл. Хпг Значение Ф не превышает и/2, значение логарифмического слагаемого мало меняется с изменением радиуса экранироввния, поэтому в качестве общего условия применимости борновского приближения для кулоновского взаимодействия можно принять л,лое' « йо, (106,! 7) где и = эвг!А — относительная скорость сталкивающихся частиц. в) Потенциал прямоугольной фор м ы. Потенциальная энергия У(г) = — Уо, если г г(, и равна нулю для всех остальных значений г.
В этом случае неравенство (106, 16) принимает вид — Уо (е'-'Аг — 1) г(г = — о = — ",„',(з!поЫ+Ы[Ы вЂ” з!п(2Ы)))' ~,~', << Ь Поскольку й'оо(!А = 2Е, где Š— энергия относительного движения, то полученное неравенство можно записать в виде Уа « 2Е. (!06,!6) В ядерной физике установлено, что для описания упругого рассеяния нейтронов на атомных ядрах можно в первом приближении использовать потенциальную яму с параметрами Уо —.50 МэВ и д 1,3 Ач(0 'о см, где А — массовое число ядра. Следовательно, при исследовании рассеяния нейтронов на атомных ядрах можно применять борновское приближение только при энергиях относительного движения, удовлетворяющих неравенству Е Ъ 25МэВ, (106,19) Согласно (!06,!0), амплитуда рассеяния в борновском приближении (ф,-~~р, = ехр(1й,«)) принимает вид А)гч(д)= — — „",, ~ е~'у(г)гЬ, (106,20) где Щ = й(йр — йо) — импульс, передаваемый при рассеянии.
Формула (106.20) допускает простую интерпретацию: каждая единица объема дает вклад в амплитуду рассеяния, равный — — "йг У (г) е'о'. Множитель е'~' определяет фазовое смещение волны, рассеянной элементом объема в точке г, цо отношению к волне, рассеянной элементом объема в точке г = О. Если У(г) не изменяет знак, то при рассеянии вперед (д = 0) все элементы объема дают рассеяние в фазе и амплитуда рассеяния Функция ГРинА для сВОБОднОЙ ЧАстипы 5 10п имеет максимальное значение Ле".(0)= — — „"„~р(г) (й. При других направлениях рассеяния вклады от различных эле- ментов объема отличаются по фазе. Эффект интерференции воли, рассеянных разными элементами' объема, можно учесть отношением А<в1 ! ! (й)= <в~ леа (о) ' которое принято называть грорм4акторам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
