Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 81
Текст из файла (страница 81)
После вычисления интеграла можно перейти х пределу Ч- + О или приравнять ЕЧ величине у, характеризующей естественную ширину соответствующих знергетичесхих состояний. Э в1 лйнеинын отклик системы нх внешняя возденствие Можно показать, что фурье-образ запаздывающей функции Грина при температуре абсолютного нуля удовлетворяет урав- нению йа((Ф; В))„=(0 ЦФ, В)ИО)+(([Ф, НЪ; В))„, (97,16) где Н вЂ” гамильтониаи, определяющий изменение операторов Ф и В с течением времени, т.
е. 1й — „=(Ф,Н), 1й+;=В Н) В некоторых случаях уравнение (97,13) позволяет вычислять фурье-образы запаздывающих функций Грина без предваритель- ного вычисления самих функций Грина. Наряду с запаздывающими функциями Грина (97,7) удобно пользоваться двумя типами временных корреляционных функ- ций (Ф; В)„= Вр(р,Ф (1) В(О)), (97,14) (Ф* В)с< = ВР (РзВ (О) Ф (С)).
Если оператор Н имеет дискретный спектр энергии Е„= лаз и собственные функции 1л) и статистическое усреднение произво- дится по каноническому ансамблю с рэ = эСэ-нсз, р = Ц1сТ, то корреляционные функции можно преобразовать к виду (Ф; В)с> — — Х ээ1" ~"1(а1Ф1т)(т1В! сс)ехр[сса — а„]1), л. гп (Ф; В), = ~ е~(" ~"1(а1Ф1т) (т! В1п) э~1" п)~ехр(Цв,„— а„)С). Вводя, далее, величину 7ав(1с) =хи Х е1 1~(п1Ф1т) (т 1В1л) Ь(а,— а — 1с), (97,15) ат эти корреляционные функции можно переписать в виде (Ф; В)с> — — — ~ 1ав(11) е-соссИ, (97,16) (Ф; В), = —, ~ ЫаэЩемсве сосс1И.
Согласно определениям (97,7) и (97,14), запаздывающую функцию Грина можно выразить через корреляционные функ- ции с помощью равенства ((Ф' В))с= — сй(т) (( В)с — (Ф В)с<) ° (97,17) ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМЛЦЕНИЯ [ГЛ, ХП После'подстановки (97,!7)' и (97,!6) в (979) и интегрирования по 1, получаем интегральное выражение.для фурье-образа запаздывающей функции Грина Г ([ — "зп)1 з(а)ла ((Ф, В)) „Г ев (97,18» Такое представление было введено Леманом (98] и называетси спектральным представлением, а величина' (97,!5) называетси спектральной интенсивностью. Она вещественна и удовлетворяет важному интегральному соотношению — ~ 7эв(11) й!1 =1. (97,19) Используя символическое тождество (х+!т[) '=Ух ':!Нб(х), '[[-ь+О, мокино выделить из (97,18) мнимую и вещественную частй 1п[((Ф; В))„= — щ (1 — гз' ) 7ов (ы), У Г (1 — е За) 1фз([[) е[[ Йе((Ф; В))„= — „ У [' [п[((Ф; В))вгИ2 Ке((Ф; В))„=— (97,21) Если учесть связь (97,!2) фурье-образа запаздывающей функции Грина с обобщенной восприимчивостью, то из соотношения (97,21) находим общую связь между вещественной и мнимой частями восприимчивости любой стационарной квантовой си- стемы У ! Ьп н(П! и[[ Йен([ь) = — е[ () — „ (97,22) Р Это соотношение носит название дисперсионного соотношения, или соотношения Крамерса — Кронига, которые установили та- где буква .У[ перед интегралом указывает, что интеграл вычис- ляется в смысле главного значения.
Из (97,20) следует очень важная связь между мнимой и вещественной частями фурье- образа запаздывающсй функции Грина полявизувмость квхнтовои систвиы кое соотношение в !927 г. для случая диэлектрической проницаемости. Если использовать символическое тождество 1/ 1 1 !!ш — ! —.— — 1 =' — 1б(х), „+о ВЯ(з+'Ч з — 1Ч! то с помощью спектрального представления (97;!8) можно определить связь фурье-образа функции Грина с плотностью спектрального распределения -к (! еа"") !ев(оэ)=((Ф В)) ((Ф' В)) (9723) 9 98.
Полярнзуемость квантовой системы Если на квантову1о систему (атом, молекула, атомное ядро и др.) падает электромагнитная волна с небольшой (по сравнению с полями внутри системы) напряженностью электрического поля и длиной волны, значительно превышающей линейные размеры системы, то в последней возникает электрический дипольный момент И=(ЗЕ, (98,!) пропорциональный напряженности электрического поля Е в центре системы.
Коэффициент пропорциональности р является симметричным тензором второго ранга и называется тензором поляризуемости. Его вычисление можно провести по методу, изложенному в предыдущем параграфе. Предположим, что квантовая система характеризуется гамильтонианом Н, имеющим собственные функции !)) и собствепные значения йвь Согласно (94,2), оператор взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем напряженности Е =Еое-""+ч'+ эрм. сопр., б!ч Ео — — О, (98,2) включаемым в бесконечном прошлом, имеет вид , Нм! = — — Ар = — (Еор) е-'"'+'~'+ эрм. сопр., (98„3) По им где р — оператор суммарного импульса всех электронов системы.
Согласно теореме Кубо (см. 5 97), среднее значение электрического дипольного момента, возникающего в системе под влиянием (98,3), можно записать в виде (ег) = (ет)о+ — „((г; (Еор)))„е-'""+м+ зрм. сопр., (98,4) 468 пв входы, под влиянием внвшнвго возмтшвния [гл. хп где г = 2.", гб ((г; (Еор)))„— фурье-образ запаэдывающей функ! ции Грина, которая прн температуре абсолютного нуля определяется выражением ((г~ (Еор)))~ = — (6 (г) (О 11г (г) (Еор)11 0), (98,5) г (() = ехр ((НчЯ х ехр (- (НЯ). Направим ось х вдоль Ео и вычислим х-ую составляющую матричного элемента, входящего в (98,5).
Используя (см. (94,!0)) равенство (( ! р„! О) = ~~ ((1х ! О), где в~о=в~ — вв получаем (01(х (г) ФФм)!10) =(рЕо Х в~о!(( 1х10) 1 (е '"н~+ е" го~) Подставив это значение в х-ую составляющую (98,5) и вычисляя по правилу (97,9) фурье-образ, находим ((х (Е р))) = 2йЕоу Хв 1()1х10)!о(во во +юч ) !. После подстановки этого выражения в х-ую составляющую (98,4) и сравнения с (98,1) получаем явное значение компоненты тензора поляризуемости вдоль главной оси Р,„=~~~ ( а )1((1х10) !'(в~ — в~ — (т(в) '.
(98,6) Значения тензора поляризуемости вдоль двух других главных осей у и х получаются из (98,6) заменой матричного элемента координаты х соответственно на матричные элементы координат у н х. Если ввести вспомогательную безразмерную величину Роз= — й 1()1х10)1 называемую силой осцилллтора перехода 0- (, то х-я компонента тензора поляризуемости системы, находящейся в состоянии !0), может быть записана в виде р..=~ — "Ф( 'м — ' — (ч ) '. (98,8) Для изотропной квантовой системы поляризуемость является скалярной величиной Р =Рве=()* = й.
ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ Из (98ьу) бедует, что сила осциллятора перехода 0-ь( положительна, если Ег .-.ь Ео, и отрицательна при выполнении обратного неравенства. В частности, силы осцилляторов всех переходов. с основного состояния, определяющие поляризуемость квантовой системы, находящейся в основном состоянии, положительны. В качестве примера вычислим силы осцилляторов переходов между состояниями гармонического осциллятора. Используя значения(и — 1) х)ю)= I юй 11З 1 †) для матричных элементов оператора координаты и полагав 1 2рею г' ем = е„+ь, находим 1 и — эт, Р,"„+1,„— — гп+ 1.
Теперь, учитывая связь матричных элементов 1)хюэ (й ]х1 т) =(й1ф„1т) н'эрмитовость операторов, можно написать Г~„=-~,- ((т)х) й) (й ) Р ) т) — (т)бл! й) (ге 1х) т)). Суммируя найденное выражение по всем значениям й (при наличии состояний с непрерывным спектром надо суммирование дополнить интегрированием) и используя правило перемножения матриц и перестановочное соотношение 1х, 1)э] = 12, получаем Х 1 Р$,„=-1к-(т )х)б, —,6 х) т) = 1.
Эт В частном случае гармонического осциллятора правило сумм (98,8) следует непосредственно из значений (98,9) Х ЕЭМ м Емт 1.м+ ~т+1, и = 1 (98, 10) Ъ Силы осцилляторов всех других переходов равны нулю. Поэтому, согласно (98,8), полярнэуемость осциллятора равна 2 2 ()эх ~~ (мо ы — гчы) ° Силы осцилляторов являются очень удобной характеристикой квантовых переходов в системе.
Их удобство выражается в наличии простых теорем о суммах сил осцилляторов, доказательство которых опирается на перестановочные соотношения между операторами координат н импульсов. Для доказательства основной теоремы о сумме сил осцилляторов (теорема Томаса— Рейхе — Куна) преобразуем (98,7) к виду Еэ = — ((й(х! т)'(й )х!т) +(й )х!т)'(й !х) т)). 4то ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ !ГЛ. ХН Равенство (98,10) является выражением правила сумм сил осцилляторов, соответствующих квантовым состояниям одной частицы в системе. Оно справедливо для произвольнрго направления оси х в системе н для произвольного состояния т. Если в атомной системе число электронов равно е, то правйло сумм снл осцилляторов для всей системы сводится к равенству так как каждый электрон вносит свой вклад в сумму независимо.
Для иллюстрации величин сил осцилляторов и правила (98,10) отметим, что сила осциллятора, соответствующая переходу 1з- 2р в атоме водорода, равна 0,4162. Таким образом, согласно (98,!О), сумма сил осцилляторов для переходов с основного состояния !з во все остальные состояния (кроме 2р) равна 0,5838. При этом переходам во все состояния с непрерывным спектром соответствует часть суммы сил осцилляторов, равная 0,4359. Теоретическое вычисление сил осцилляторов требует знания волновых функций состояний, между которыми происходит переход. Такие функции хорошо известны только для гармонического осциллятора, атома водорода и некоторых других простейших квантовых систем. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
