Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(96,2) ! Рассмотрим случай, когда система характеризуется только радиационным временем жизни. Тогда при 1«Т выражение (96,1) можно записать в виде Т (96,3) й Следовательно, 1)Т, определяет суммарную вероятность, отнесенную к единице времени, спонтанного испускания фотонов при квантовых переходах из состояния )а) во все другие состояния, обладающие меньшей энергией. Согласно $94, вероятности 460 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ ~ГЛ. ХП таких переходов вединицувремени выражаются формулой (94,7). Следовательно, — = ~~)~, -~-1Ц!ГВ+! а)'ГР(ЕГ), (96,4) Г~< В где суммирование выполняется по всем конечным состояниям с энергией Ег ( Е;, р(ЕГ) — плотность числа конечных состояний.
В $16 было показано, что экспоненциальный закон распада связан с неопределенностью энергии квазистационарного состояния. Волновая функция этого состояния с учетом взаимодействия, приводящего к спонтанному испусканию фотонов, имеет вид (96,5) где фв(З) — собственные функции оператора полной энергии (с учетом взанмодействий) системы, С (е Ба)а+ ее74 — плотность вероятности того, что энергия в состоянии ф (е, О) имеет значение Е, е — характеризует величину разброса энергии и называется естественной шириной энергетического уровня.
Функциональная зависимость (96,6) называется распределением Лоренца. Естественная ширина уровня связана с его временем жизни простым соотношением Те=6. (96,7) Если наряду со спонтанным излучением имеются другие причины, уменьшающие вероятность пребывания системы в возбужденном состоянии, то ширина возбужденного уровня, согласно (969), будет-равна сумме парциальных ширин, обусловленных различными процессами уширения.
Квазистационарные состояния можно рассматривать и сдругой, более формальной, точки зрения как состояния с комплексной энергией. Действительно, волновая функция квазистационарного состояния со временем жизни Т = В|з должна иметь вид ф (е Г) З-ВГДЕ.1, (е 0)ЕХ (; Д ~), ) ф (е () Р Этому выражению можно придать форму, соответствующую стационарному состоянию, введя комплексную энергию Е: ф (а, Г) = ф,й, О) ЕХр~ - — ~-~, Е= Ее — — Е.
'ВРЕМЯ ЖИЗНИ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСГОЯНИЙ 46! Таким образом, средняя энергия Ео, время жизни Т и ширина уровня а квазистационарного состояния однозначно определяются через его комплексную энергию с помощью соотношений Е0 — — Ке Е, а = — = 2 1гп Е. Т Связь (96,7) между временем жизни квазистацпснарного состояния и неопределенностью энергии является частным случаем теоремы, доказанной Фоком и Крыловым [86) о том, что функция распределения энергии ~СВ~З в квазисгационарном состоянии непосредственно связана с законом распада этого состояния, Пусть гамильтониан системы имеет вид Н= Но(6) + ((7(6). (96,8) Предположим далее, что оператор На(~) имеет дискретные энергии Е„соответствующие собственным функциям ~р,(6).
Оператор (у'($) вызывает переходы между этими состояниями. Поэтому„если при ~ = 0 состояние системы характеризовалось функцией то это состояние будет квазистационарным. Чтобы определить функцию ф,($, ~), разложим функцию ф,(6, 0) по полной системе собственных функций фл(5) полного гамильтониана (96,8). Если он имеет непрерывный спектр, то фа Я, 0)= ~ С,(Е) 1РЕ5)г(Е, ~1Са(Е) ~ЯНЕ= 1, (96,9) Следовательно, фа (Ь Г) = ~ Са(Е) а-таяаф ф) гЙЕ Вероятность того, что при 1 > 0 система все еще будет нахо- диться в состоянии ф,($, 0), определяется формулой Ййа(Г)=3 (фа($, 0) !фа(6, ~)) 3~= ~ ) ~ С (Е) Ге-ш'~" ОЕ~ .
Фок и Крылов (86) показали, что необходимым и достаточным условием «распада» состояиия,т.е.того, чтобы 1ип Б (1) = Г.+ аа О, является непрерывность функции ~С,(Е) ~з относительно Е. В частности, как мы видели в 9 16, если эта функция совпадает с (96,6), то дна О) = ехр ( — — ) . 462 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМЕЩЕНИЯ [ГЛ. ХН В системах с гамильтонианом (96,8), имеющим дискретный спектр. собственных значений Е„, выражение (96,9) заменяется суммой ф 'ф 0)=ХС (Е) ф ф), поэтому И, (1) = ~ ~~~~! С, (Ел) ) е шл'~ ~'= = ~! Сл(Е3 14+ Х ~ С (Е„) Й С„(Е„) ~тсоз((ń— Е,4 178). (96,10) Таким образом, в системах с конечным числом степеней свободы, в которых полный гамияьтониан обладает дискретным спектром, вероятность обнаружения системы в квазистационарном состоянии )а) характеризуется функцией И„(1), которая осциллирует с течением времени и не стремится к нулю прн ОО й 97. Линейный Отклик квантовой системы на внешнее воздействие Рассмотрим линейную реакцию (см.
также (87 — 89)) квантовой системы, описываемой гамильтонианом Н на внешнее периодическое возмущение Ньи(1), адиабатически включаемое в бесконечном прошлом. Тогда Ньа(1) = Оехр(тф — йог) В, (97,1) где 0 — амплитуда внешнего возмущения;  — операторы, характеризующие динамические переменные квантовой . системы; ц — бесконечно малая положительная величина, обеспечивающая адиабатичность включения взаимодействия при г = — оо. Введение малой величины т) формально учитывает затухание, всегда имеющееся в любой реальной системе. Даже при исключительно слабом затухании по прошествии достаточно большого времени собственные возбуждения в системе затухнут и останутся 'только вынужденные, вызываемые внешним возмущением.
При включении возмущения адиабатически изменяются и средние значения физических величин в системе. Как было показано в $31, среднее значение физической величины Ф вычисляется с помощью статистического оператора р(1).,В представлении взаимодействии имеем (Ф(1)) = 8р(р(1) Ф(1)), (97,2) где Ф (г) = ехр (ИПЯ) Ф ехр ( — \НЦ8) з ОГ) ЛИНЕЯНЫИ ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЯСТВИЕ Обз --оператор физической величины Ф в представлении взаимодействии; р(1) — статистический Оператор в представлении взаимодействия, удовлетворяющий уравнению Лиувилля гй (Н г(1) р(1)], l (97,3) где р (1) еглц р (1) е-шцв Йм =ехр(1НЩ Нпв (1) ехр( — 1Н1Я. (97,4) (97 6) Г Р(1)=ро+ Б ~!Ню (т), ро)с( . Подставив зто значение при учете (97,1) в (97,2) и проведя циклическую перестановку операторов под знаком шпура, получаем па —.
+. Г (Ф(1))=(Ф)а+ .„) е '"" ')+и<' " Зр(ро(Ф(1), В(т)))г(т, (97,6) где (Ф)о = 8р(роФ) — среднее значение Ф в системе без внеш- него воздействия. Вводя под знак интеграла ступенчатую функцию 1, если 1> т, О, если 1 < т, можно верхний предел интегрирования заменить бесконечностью. Тогда под интегралом (97,6) будет запаздывающая двухвремен- ная функция Грина ") от операторов Ф и В: ((Ф; В))г-,= — — гй(1 — 'г) 8р(ро(Ф(1), В(т)))= = — 16 (1 — т) 8р(ро $Ф (1 — т), В (О))). (97,7) Следовательно, (97,6) можно переписать в виде (Ф (1)) = (Ф)о + В ((Ф; В))„е-'"'+ч', (97,8) где ((Ф; В)) = — ~ екм "' ((Ф; В)), Ж (97,9) *) Запаздывающая функция Грина рассматривалась Боголюбовыы н Тяблнковым (90) (см, также (ЗЩ).
Если до включения взаимодействия статистический оператор р(1) равнялся ро, то к моменту 1 в линейном приближении по внешнему возмущению находим 464 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВННДНЕГО ВОЗМУШЕИИЯ [Гл. ХН вЂ” фурье-образ е) функции Грина (97,7) по времени, илн ее энергетическое представление. При температуре абсоЛютного нуля усреднение с помощь!о статистического оператора ре заменяется усреднением по основному еостоянию )О) системы и (97,7) принимает вид ((Ф; В)), = — — Е(() (0 ((Ф(!), В(0)) ! О). Введем с помощью равенства (Ф(!)) =(Ф)о+х(со) Ое '"'+и' (97,10) комплексную обобщенную восприимчивость х(ю) квантовой системы, описывающую влияние гармонического возмущения (97,1) на среднее значение (Р(!)). Тогда, сравнивая (97,8) и (97,10), получаем' формулу Кубо х(со) = ((Ф; В))„, (97,11) выражающую обобщенную восприимчивость через фурье-образ запаздывающей функции Грина.
Мы рассматривали внешнее возмущение В0з-'ес+ч', обусловленное комплексным полем, поскольку обобщенная восприимчивость х(со) по определению (97,10) является коэффициентом пропорциональности у комплексной части поля. Поэтому и средние значения операторов (97,2) получались комплексными. Физические поля Являются вещественными (97,12) В(() =Гсе(0е '"'). Поскольку мы интересуемся только линейным откликом системы иа внешнее воздействие, то все приведенные выше результаты сохраняют свое значение и для вещественных внешних полей (97,12), если определять средние значения с помощью выражений (Ф(!))..„=К <Ф(!)), где (Ф(!)) — комплексное среднее значение, вычисляемое по формулам (97,8) и (97,10) для комплексного поля Р(г) з '"'.
При этом обобщенная восприимчивость будет определяться формулой (97,1!). *) Выражение (977) содержит разрывную функцию 9(г). Поэтому оно определяет запаздывающую фунхцию Грина только при г чгг О. В точке г' = О фунхция Грина должна быть доопределенж Такое доопределение функции Грина обычно делается с помощью указания правила вычисления интегралов по времени, содержащих фуинции Грина. Множитель е ч~» имеющийся в (97,9), нах раз определяет таное правило.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
