Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Оператор У(1) может характеризовать взаимодействие дан- ной системы с другими телами. В простейших случаях такое из- меняющееся с течением времени взаимодействие осуществляется изменением внешних параметров: изменение расстояния, изме- нение напряженности внешнего поля и т. д. Для определения волновой функции, удовлетворяющей урав. нению (90,1), перейдем к представлению взаимодействия, Для этого представим ф а виде ряда ф = )~~ а„(1) ф„ехр ( — )ń— ), (90,2) л где Е„.и ф — соответственно собственные значения и собствен- ные функции оператора Нд.
Предположим, что до включения взаимодействия система находилась в стационарном состоянии с энергией Еь Следовательно, при 1 ( 0 и сумме (90,2) отлично от нуля только одно слагаемое; ф„„ф, ехр ( —. ЕЕДА), или ат(1) = Ьн, если 1«=. О. По истечении действия возмущения, т, е. при 1 в т, коэффициенты ат снова принимают постоянные 432 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ 1ГЛ.
ХП равна вероятности перехода системы за время т из начального состояния ( в состояние 1. Для вычисления коэффициентов ап Подставим (90„2) в уравнение (90,1). После умножения правой и левой частей этого уравнения на ~р1 и интегрирования по всем значениям переменных, от которых зависят эти функции„находим систему уравне- ний 16 — „а1 (1)= ~~) (Д)(7 (1Ис)'е'"П а1 (1), с (90,5) где (11" (1)(1) = 3 'ргп (1)Ф1 "Е (90,6) дым ЕЕ (90,6а) В дальнейшем будут рассматриваться только возмущения, для которых равны нулю диагональные матричные элементы оператора возмущения, т.
е. (11(Р'(1) (1) = О. В этих случаях в сумме (90,5) будет отсутствовать член с 1 = Е Если (1(ГУ(1) (0 Ф О, то можно перейти к новым амплитудам Аг(0 с помощью преобразования с ;я-~ п-р~ — +~итйтиаа'~. (зо,у) о Эти амплитуды будут удовлетворять системе уравнений ЛА1 (1) 1Š— = У (П йг (1) $1) Ас (1) еар (и111), п!Фв где гец( т~н. (и~тит~аа 3Е~. (а~талом~.
о й о значения а11(т), их величина зависит от вида оператора возмущения (у'(1) и начального состояния, которое отмечается вторым индексом. Таким образом, при 1 ) т система будет находиться в состоянии с волновой функцией ф„„= Х а1,(т) р1 ехр( — 1Е11(п). При этом вероятность того, что система находится в некотором стационарном состоянии с энергией Ег, будет определяться квадратом модуля коэффициента аг~(т).
следовательно, величина Яы(т)=( а11(т) Г (90,4) $ ее) Овщее ВЫРажение для ВеРОятности перехода 433 Следовательно, частоты Ин учитывают смещение энергетических уровней под действием возмущения. В частном случае, когда (1! В'(1) ие зависят от времени, й()и=и)+ (1! йг(П вЂ” (ег+ ((! Ег (О) Из (907) следует, что ! аг(Ф) (т = (Аг(0 (т, поэтому амплитулы Аг(0 лают те зке вероятности переходов, что и амплитуды а (Г).
Для вычисления вероятности перехода надо решить систему уравненнй (90,5) при начальном условии а((0) = бгь (90,8) Если матричные элементы (90,6) малы и время действия возмущения т не очень велико,.так что за время действия возмущения значения коэффициентов ау(т) мало изменяются относительно их начальных значений, то систему уравнений (90,5) можно решать методом последовательных приближений. В "первом приближении для определения ау(1) можно в правую часть (90,5) подставить начальные значения (90,8), тогда получим систему уравнений для 1 Ф 1 лап> 15. — „~ =(1! )Р' (1) ! 1) ехр (1ет(г1). Решая эти уравнения с начальными условиями (90,8), находим с а!и (1) = —,„~ (( ! )(7 ( ) ! 1) ехр (1га(Л') с(1'.
(90,9) а Подставляя это значение в правую часть (90,5), находим уравнение с точностью до второго порядка . Ла7 18 — Л1- = (1 ! (Р' (1) ! 1) ехр(1сзи1) + + —, ~)~~ ()! )Р" (1') е гн ~ ()'()и" (1') (1) е гч г(1 П я'чьв о Решение этого уравнения можно записать в виде. г а"„)(1)= — ~ (1!)Р'(1') (1) е и с(1'+ е г Р + ( †„ ) ~~~~ ! (1! )Р' (1') (1') е И'. ~ ()'! )Р' (1а) ! 1) е йч Л1" с(1'.
ни , а е (90,10) Подставляя это значение снова в уравнение (90,5), можно найти решение с точностью до третьего порядка. 434 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ ЕГЛ. ХЦ Продолжая этот процесс, получим решение в виде бесконечного ряда. Этот ряд может быть кратко записан в следующем виде ~,со-(с/г 1( — — „'(есс1сс)/1). где с ..1( -„(ЕСС1СС~- о (90111) 1 смс1+ сп ~ )ЕУ(Е)сЕЕ'+(,.Е) ~ йг(К) ~ (Р'(Е»)с(Е сЕЕ'+ о о о с с" +(св) ~ йг(е) ~ Ф(е») ~ йг(е"')сее™й" сее'+ ..., (90,12) о о о Р7 (Е) е " )У (Е) е (90,13) А„= ( И') ~ с(Е1 ~ с(Ег ° ° ° ~ ГЕЕ»УР(Е1) Ю (Ег) ° ° .
Я7 (Ел). о о о Интегрирование в А„производится по временным переменным, расположенным в «хронологическом» порядке Ес ..» Ег ) Ео»... ... ) Е„. Для записи А„в более симметричном виде Дайсон [84) ввел «хронологический» оператор Р, который упорядочивает произведение зависящих от времени операторов, ставя их слева направо в порядке хронологической последовательности убывания времени..Например, ~ а (Е,) Ес (Ег), если Е, > Ег, Е . (Е1) й (Ег) = ~ Ь(Е,)а(Е,),' если Е,>ЕН Рассмотрим теперь интеграл с Ео (Ш) Е ~ сЕЕ1 ~ сЕЕ2 ' ' ' ~ сЕЕо)" (Е1) ~~ (Ег) ' ' ' )~ (Ео)' о о о Этот интеграл полностью симметричен относительно Е1, Еь ...
Е„, поэтому он в 111 раз больше интеграла А„, в котором выбрана — оператор возмущения в представлении взаимодействия (см. $31). Рассмотрим и-й член ряда (90,12) с О-1 той ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМА ПРОЛЕТАЮЩЕЙ ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИЦЕЙ,Я5 определенная хронологическая последовательность. Доказательство. можно провести методом математической индукции (85). Следовательно, А„ = 1„(п!)-с. Таким образом, можно рассматривать как символическую запись ряда (90,12) или ряда с ° р р р( — р ) Фрр'ррр')=т, ' р о Для многих задач атомной и ядерной физики достаточно ограничиться решениями (90,9), соответствующими первому порядку 'теории возмущений. В этом случае вероятность перехода из состояния 1 в состовние1 за время действия возмущения определяется формулой о Ср ~ трр~ ~ Срооррр~О 'рррр/.
Ррррр о В дальнейшем изложении, есля не будет делаться специальных оговорок, мы будем пользоваться первым порядком теории возмущений, поэтому индексы над амплитудами ась указывающие порядок теории возмущений, будут опускаться. Вследствие квантовых переходов из состояния 11) в другие состояния 11) вероятность )ас(1) 19 пребывания системы в состоянии 1, равная единице в момент 1 = О„будет уменыпаться.
Если это уменьшение происходит по экспоненциальному закону„так что ( а, (1) ~9= ехр ( — 1/Т), (90,15) то величину Т называют временем жизни состояния ~1). Очевидно, что формула (90,14) справедлива лишь для времен т, значительно меньших времени жизни состояния Я, так как только в этом случае в правую часть уравнений (90„5) можно подставить начальные значения ас(0) = бсс.
й 91, Возбуждение атома пролетающей тяжелой частицей Применим полученную в предыдущем параграфе формулу ;(90,14) для вычисления вероятности перехода электрона в атоме из т-го в и-е состояние под влиянием взаимодействия с пролетающей тяжелой заряженной частицей. Если частица тяжелая, то ее движение будет квазиклассическим, при этом характер ее 436 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯ1ШЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. ХП движения практически не изменяется из-за взаимодействия с атомом. Следовательно, можно допустить, что частица движется с постоянной скоростью О.
Пусть центр системы координат совпадает с центром атома, а ось х направлена вдоль направления движения частицы, тогда ее положение к моменту 1 можно определить радиусом-вектором )с= (ог, Р, О), где Р— расстояние наибольшего сближения, достигаемое к моменту 1= О. Если положение электрона в атоме определяется радиусом-вектором г = (х, у, а), то оператор взаимодействия между электроном и пролетающей заряженной частицей можно записать в виде Хев Хве хев [кев+ ВУ) [ (91 1) [Д вЂ” Г[ лв где К = )~(В[)а + Ра.
При х и у << )г в (91,1) достаточно рассмотреть только два первых слагаемых. Первое слагаемое не содержит координат электрона, поэтому матричный элемент, входящий в (90,14), будет определяться, выражением (ю[ [Р ([) [гп) тв (хлтп[+ РУпт) (91,2) где х = ~ вр„'хае а[$, у„= ~ ев„уар е[Е, е[Е= а[ха[у в[а; лв 2 Хаев ( хт„щ+ВУлт вл Й .[ [(ев)в + вва]ив (91,3) Подынтегральное выражение в (91,3) убывает быстро с изменением расстояния.
Поэтому взаимодействие существенно только в области, соответствующей наибольшему сближению. Следовательно, можно считать, что эффективное время столкновения определяется величиной Р[О. Столкновение называется адиабатическим, если эффективное время столкновения значительно больше периода ев„', характеризующего квантовую систему, т. е. при выполнении неравен- ства велтР ~~ 1. (91,4) При выполнении неравенства (91,4) подынтегральное выражение в (91,3) многократно осциллирует за время эффективного ев„, ае — волновые функции стационарных состояний электрона в атоме. Подставляя (91,2) в формулу (90,14) и раздвигая пределы интегрирования до — ео и ео, получим формулу, определяющую вероятность перехода электрона атома из состояния т в состояние гп 4 и! ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМА ПРОЛЕТАЮЩЕЙ ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИПЕЙ 437 столкновения и значение интеграла близко к нулю.
Следовательно, адиабатические столкновения не сопровождаются возбуждениями атома., Если выполняется неравенство (91,5) а Р((1, то за время эффективного столкновения ехр(йо 1) 1 и интеграл, входящий в (91,3), легко вычисляется. Полагая О(В-' = = [и 6, находим хптм + 0упт д[ ( 0упт Лг 2утп [(п~)~+О2)А ! [(Ч1)~+ Р2)а ЯВ Таким образом, при выполнении неравенства (91,5) вероятность. перехода атома из состояния ги в состояние и под влиянием взаимодействия с частицей заряда Уе, пролетающей на расстоянии В от центра атома, будет равна 4Х'и ! Упт ! В (В)= если В ) а., где а — радиус атома. Если в единицу времени через единицу площади проходит [т' заряженных частиц, то вероятность возбуждения атома в единицу времени будет определяться выражением -1 пппт Рпт=И ~ 2ЙВЯВпт(В)йР= В, [упт[~[п( — ), (91,6т о Из полученного выражения следует, что вероятность возбуждения атома увеличивается при уменьшении скорости частицы до тех пор, пока О/ы„не сделается равным а.
При дальнейшем уменьшении скорости, когда аа„~ О, (91,7)- формула (91,6) перестает быть справедливой (не выполняется неравенство (91,5)). Однако, поскольку В) а, то прн условии (91,7) адиабатическое неравенство (91,4) выполняется для всех значений В и возбуждение атома пролетающей частицей делается маловероятным. Максимальная вероятность возбуждения соответствует скорости частицы О = аы„. Для высоких возбужденных состояний атома справедливо квазиклассическое приближение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
