Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В этом случае ы„соответствует круговой частоте вращения электрона вокруг ядра. 4ЗЗ пвэвходы под влиянием вившивго возмлцвпия ~гл. хп $ 92. Адиабатическое и внезапное включение и выключение взаимодействия В предыдущем параграфе было показано, что если скорость заряженной частицы столь мала, что выполняется адиабатическое условие ав„„)) о, (92,1) то частица не .может вызвать квантовых переходов, соответствуюших частоте в„. Величина а/о характеризует время пролета частицей атомной системы. Величина в ' характеризует период колебаний в атомной системе. Таким образом, адиабатическое условие соответствует большому отношению времени пролета (времени изменения взаимодействия) к периоду колебаний в атомной системе.
В рассмотренном примере скорость изменения взаимодействия (его включение и выключение) определялась скоростью пролетающей частицы. В общем же случае изменение взаимодействия может происходить по произвольному закону. Рассмотрим два предельных случая: а) Адиабагическое изменение взаимодействия. В этом случае изменение энергии взаимодействия за время одного периода колебаний в атомной системе мало яо сравнению с абсолютной величиной разности энергии соответствуюших состояний ~ в„' — „(и ~ яу ф ~ и) ~ ~ Йв„.
(92,2) Следовательно, при выполнении квазиклассического приближения максимальная вероятность возбуждения соответствует слу.чаю, когда скорость частицы совпадает со скоростью движения электрона в атоме. Ховав при выполнении адиабатического условия (91,4) не происходит квантовых переходов в атоме, пролетающая частица вызывает в атоме возмущение (при больших У это возмущение может быть большим), которое строго коррелировано„с движевием этой частицы и исчезает при удалении частицы. Такого рода взаимодействия носят название адиабатических езаимодейсгеий. Адиабатические взаимодействия не приводят к квантовым переходам в состояниях с дискретным спектром.
Чем больше абсолютная величина разности энергий уровня Е и ближайших уровней Е„, тем лучше выполняется условие адиабатичности для начального состояния т. Для состояний непрерывного спектра адиабатнческое условие (91,4) никогда не выполняется, так как разность энергий между соседними уровнями ń— Е бесконечно мала. 2 221 ВКЛЮЧЕНИЕ И ВЫКЛЮЧЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ оз9 б) Внезапное изменение взаимодействия В этом случае к некоторый момент времени, например при включении взаимодействця, выполняется неравенство ~оЧ' — „(п~ Ф'(1) 1т)~ л йоо„. (92,3) При исследовании этих предельных случаев удобно преобразовать выражение (90,14), используя равенство е ~л㻠— (и( )г (1) ~ Л2) 221 — (и) )г (г) ~ гп) е~олщ2 о .12 — ио ~) (и) У1'(1)~т)е'"л тг(1, (92,4) о Подставляя (92,4) в (90,14) и учитывая, что значение на границах интегрирования равно нулю, получаем 2 26„(т) = —,, ) е'" ' д (и! Ф'(1) !п2) Ж .
(92,5) ли о Если выполняется неравенство (92,2), то за время изменения знака функции ехр (йо„„,1) множитель, стояший перед этой функцией, меняется мало и можно его вынести из-под знака интеграла. Тогда интегрирование легко выполняется, и для вероятности перехода находим 29,()= — '. ~4(.~)Р(1) ~ )~'.1" ~ — "","').
~о'ю» Учитывая (92,2), получаем неравенство 29 „, « 1. Другими словами, при достаточно медленном, в смысле выполнения неравенства (92,2), включении и выключении взаимодействия квантовая система, находившаяся до включения взаимодействия в. невырожденном состоянии гп, останется в том же состоянии после выключения взаимодействия. Если включение возмушения происходит внезапно„т. е. Изменяется от 0 до )Р' «мгновенно» (в течение времени а(, малого по сравнению с периодом го '), а затем изменяется адиабатически и выключаегся адиабатически, то вклад в интеграл (92,5) будет осушествляться только за время включения взаимодействия.
За это время множитель ехр(иол 1) по условию изменяется мало и его можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл сразу вычисляется, и мы получаем для вероятности перехода простое выражение )й, ° ( (п!а'! гп) Г (йо „Г2. (92,6) 440 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНВШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ ~ГЛ. ХП где 1Р' соответствует максимальному значению взаимодействия при его внезапном включении. Формула (92,6) позволяет вычислять вероятности переходов под действием внезапных возмущений„малых по абсолютной величине, когда применима теория возмущений.
В ряде случаев, однако, происходят большие и быстрые изменения (по сравнению с периодом движения в системе), при которых неприменима теория возмущений. Например, прн 8-распаде легких ядер заряд ядра изменяется на единицу за время -а/с, значительно меньшее периода движения электрона в атоме. Изменение электрического заряда ядра должно сопровождаться перестройкой электронной оболочки (с последующим испусканием фотонов).
Вероятности переходов, вызываемые такими быстрыми «внезапными» изменениями оператора Гамильтона, могут быть легко сосчитаны, если мы учтем, что волновая функция начального состояния практически не меняется за очень малое время изменения потенциала.
Пусть, например, в момент времени / = О система находится В состоянии, соответствующем волновой функции д, являющейся собственной функцией оператора Нм Предположим, что прн / = О происходит «внезапное» изменение оператора Гамильтона и далее он остается неизменным и равным Н (при этом Н вЂ” Нл может быть большим). Обозначим собственные функции Оператора Н через ф„, а собственные значения — через Е„. По условию в момент времени / = О система описывалась функцией чь„, которая сохранится и прн внезапном изменении Нм таким образом, Ч" (г, О) = ~р (г) = Х Ал фл (г), (92,7) л где Ал = ) ф (Г)ф'„(Г)Г(4Г.
(92,8) Квадраты модулей коэффициентов (92,8) н будут определять вероятность перехода системы из начального состояния Ч~ в конечное состояние ф„. Дальнейшее изменение функции (92,7) с течением времени определяется уравнением юй — = Н1«' дЧ' дг следовательно, Ч'(х, /) = У Ал„фл (г) ехР ~ — / — „" ) . (92,9) л В качестве примера вычислим вероятность возбуждения электрона в атоме прн внезапном изменении заряда ядра: 2-+В ~ 1 (электронный и позитронный распад ядра). Для упрощения расчетов предположим, что атом содержит один электрон в поле % ол включвнив и вьп~лючвнив взхимодвнствия 44! ядра заряда Я. Тогда начальное состояние атома определяется волновой функцией ~о„= 2 ( — ) ехР( — — ) Уоо, а= —,, (92,10) После внезапного изменения заряда ядра волновые функции стационарных состояний будут соответствовать водородоподобным функциям ф,я(г, 6, <р)=7 1(г) У~ (О 1р) ' (92 11) ядра заряда Я ~ 1.
Следовательно, в соответствии с (92,8) вероятность возбуждения уровня п1 при этом процессе будет определяться квадратом модуля коэффициентов Аа. ~о= ~ ЧигРнФ г Учитывая (92,10) и (92,11), мы видим, что отличные от нуля значения А,а,~о соответствуют только переходам в з-состояния. Используя явный вид радиальных функций ~„,(г) для ядра с зарядом е. ~ 1 (см.
5 38), можно вычислить А„ь во В частности, для состояния 2з тогда Ам,~о=2~ — ) ) )я~(г)е "г'Иг=(т2) Таким образом, вероятность перехода 1э- 2з прн внезапном изменении заряда ядра (Я вЂ” + Я ~ 1) определяется выражением 8 (1з + 2э) зе 1 а (92,12) Прн больших значениях Я изменение потенциальной энергии )Р' = ~ео1г мало. Поэтому можно использовать формулу теории возмущений (92,6) для переходов с внезапным изменением оператора Гамильтона. Учитывая, что для атома с зарядом Я разность Ем — Е„= 3Яоео(8а и матричный элемент В' на водородо- 4)~ 2 Яе' подобных функциях (1а ~%'1 2з) =, находим с помощью (92,6) И(1з 2а)=2 9 ~У 0,3128 ~.
Легко видеть, что это же значение получается из точной формулы (92,12) при достаточно больших Я. Рассмотрим, наконец, случай адиабатического изменения, при котором гамильтониан Н(Э, Я~) зависит только от одного медленно меняющегося с течением времени параметра 1г, 442 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМСЧЦЕНИЯ [Гл. ХП (внешнее поле, расстояние между взаимодействующими снеге. мами и т.
д.). Пусть далее оператор Н (Е, Кс) имеет только невы- рожденный дискретный спектр для каждого значения Кс, т. е, (Нй Йс) зл(Н»)ссясл(оь Юс)=0. (92,13) В этом случае функции ср„($, Нс) вещественны и ортонормиро- ванн ) ясла Мсгтй* Юс(~=боя. Решение уравнения Шредингера си д» вЂ”вЂ” Н(лр Кс)'Ф удовлетворяющее начальному условию с) (е, О) = ро($, сто) р можно искать в виде ч л'лсор.о.ю.р) р» валс.;). л о (92,14) где т с артс (лсо р( — р1 сор)ю, сррррс о о в (т) = — „', ал (О) = б„ь (92,15) Подставив (92,14) в уравнение Шредингера, получим систему алгебраических уравнений —;, -рл,л',.асс.! —,', ! р р(-р».„„слл) р, срр1рс а»»с рл о д д где (и ! — 1 т) — матричный элемент оператора — на функадч д»»с циях ср„, вс'> = в (т) — в„(т), знак штрих указывает, что в сумме отсутствует член с т=и, так как для вещественных функций (и( — ! и) — — — (и(и) — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
