Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 74
Текст из файла (страница 74)
ХТ меньше энергетической щели. Если Р— средний импульс электрона в токовом состоянии, то при возникновении тока изменеЬЧ~ ние энергии электрона в(й)= — по абсолютной величине 203 де(Й) ! Рдэ будет равно ~р „да ~ = —.Поскольку й = ев, то сверхпроводимость должна наблюдаться при — < Л. Рдэи Сверхпроводящее состояние возникает только в таких металлах, для которых энергия электрон-фононного взаимодействия достаточно велика. С другой стороны, чем больше электрон-фононное взаимодействие, тем больше сопротивление металла в нормальном состоянии, так как при этом велика вероятность' ассеяния электронов с испусканием и поглощением фононов, тим качественно объясняется известный факт„что хорошие проводники (серебро, медь, золото) не переходят в сверхпроводящее состояние.
Сильное электрон-фононное взаимодействие, приводящее к большому сопротивлению в нормальном состоянии, способствует образованию сверхпроводящего состояния, лишенного сопротивления. В этом параграфе мы провели преобразование оператора Гамильтона (88,8) в два этапа. Такое преобразование хорошо проясняет физическую картину явления сверхпроводимости. При этом, однако, из-за возникающих расходнмостей приходится рассматривать только часть общего взаимодействия.
Если провести преобразование (88,19) к новым ферми-операторам е к новым бозе-операторам В = Хчб ~- райт, где А' — рэ = 1, неиосредственио в гамильтониане (88,8), то такая трудность не возникает. Последовательная теория сверхпроводимости металлов с учетом кулоновского взаимодействия была развита Боголюбовым [80). С этой теорией можно ознакомиться по монографии (83). 9 89. Квантование электронно-позитронного поля В главе Ъ'111 уже отмечалось, что в релятивистской теории представление о движении одной. частицы удается сохранить: только приближенно с точностью до членов порядка (о/с)~.
При 'движении частиц в сильных полях начинают играть существенную роль процессы виртуального и реального рождения пар частиц. Число частиц в системе при больших энергиях не сохра» няется. Для описания процессов взаимопревращений частиц сле- Ф ю! КВАНТОВАНИЙ ЭЛЙКТРОННО.ПОЗИТРОННОГО ПОЛЯ 427 дует использовать представление о поле, квантами котррого являются частицы. В этом случае процессы рождения и уничтожения пар частиц находят естественное объяснение, одновременно устраняются трудности, связанные с представлением о состояниях отрицательной энергии и их роли в различных физических явлениях.
В этом параграфе мы рассмотрим квантование электронно- позитронного поля, описываемого уравнением Дирака. Согласпо 9 60, «одночастичный» оператор Гамильтона уравнения ДиРака для свободного движения выражается через дираковские матрицы (! и а равенством Нр —— сар + гпс'р. В соответствии с общими правилами квантования систем ферми-частиц оператор Гамильтона электронно-позитронного поля можно записать в виде Н'= 1Ф" Н,Ч ('г, (89,1) где Ч" — (одностолбцовая матрица, содержащая 4 компоненты) является оператором, действующим в пространстве чисел частиц и удовлетворяющим перестановочному соотношению (Ч" (г'), Ж (г))= Ь(г — г').
(89,2) Чтобы перейти к представлению чисел заполнения, надо разложить операторы Ч" по ортонормированной системе функций оператора Нр. В качестве такой системы функций рассмотрим функции соответствующие состояниям движения с определенным импульсом р = Вй и удовлетворяющие уравнению Но'ф»«л = т'Е»фд А (89,8) где й = 1, — 1; Е» — — с )/йтй»+ гпзсз. Как было показано в $ 60, при заданном й имеется четыре собственные функции, отличающиеся значениями проекции спина иа направление движения и значениями Х =--~1, являющимися собственными значениями знакового оператора (60,12).
Решения, соответствующие А = 1, мы условились называть положительными; будем обозначать такие решения ф»«+. Решения при Ъ = — 1 будем называть отрицательными и обозначать ф», . Чтобы иметь дело с дискретными значениями й, мы наложили 428 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ !ГЛ. Х1 на функцйи 1р периодические условия с периодом ь = УА по трем взаимно перпендикулярным направлениям; тогда условия ортонормируемости принимают вид ~й~мф ."'г = бмаб;,бмх. 1' ° (89,4) Если оператор поля Ч" разложить по системе функций ф 'Р= Х б..Ж: Мах и подставить в (89,2), то мы убедимся, что операторы 11„А будут удовлетворять обычным перестановочным соотношениям для ферми-операторов.
Удобно от операторов бэ А перейти к новым ферми-операторам с помощью канонического преобразования ст йэа= йаа+, йаа= й — М -а. —. Тогда оператор поля можно записать в виде 51 ~4 1 Аатаа+ + Ааф-м -а, -) А. а (89,5) при этом операторы й и й удовлетворяют перестановочным соотношениям 111)м баа) = ~Ь асма 1 1= б А) ' (89 6) Антикоммутаторы других комбинаций й и й равны нулю.
Оператор д является оператором уничтожения частиц в состоянии с импульсом йй1 проекцией спина на направление движения йо н 1=1; оператор йаа является оператором уничтожения частицы в состоянии — Ей, — йо и Х = — 1, или оператором рождения античастицы в состоянии йй, йо, Х„= 1. Таким образом, если операторы й относятся к электронам, то операторы 6 должны относиться к позитронам (или наоборот). Подставляя (89,5) в (89,1) и учитывая перестановочные соотношения (89,6), уравнение (89,3) и условия ортонормируемости (89,4), получим оператор Гамильтона поля в представлении чисел заполнения О = Х ЕА Йаайэа + йаабаа) + ЕФ (89,7) й,а где ба= — Х ЕА — постоянная энергия вакуума, от которой можно проводить отсчеты энергий возбужденных состояний.
эвя кВАнтОВАние электРОнно-позитРОнного пОля 429 Если обозначить через 10) волновую функцию вакуумного со- стояния, то эта функция определяется уравнениями два~0) = Ьаа)0) = О, указывающими, что в вакуумном состоянии нет частиц и античастиц. Операторы полного импульса и электрического заряда поля в представлении чисел заполнения равны соответственно Р= ~ Ф рФ Й г = )~~~ йй(аааайэа+ Ьаайаа), (89,8) 9 =а ~ 'Ч '4~<1)' = а ~~(баабаа Ьаайаа).+ Яь (89 9) где Оа — полный заряд вакуумного состояния. Из (89,7) — (89,9) следует, что полная энергия, импульс н заряд поля представляются в виде суммы энергий, импульсов и зарядов отдельных возбуждений — частиц. Оператор Иа Ф =па йаэ имеющий собственные значения 0 или 1, относится к частицам с зарядом е (электроны); оператор паа = Ьв ЬА, с собственными значениями 0 и 1 соответствует античастицам заряда — е (позитроны).
Следовательно, частицы можно рассматривать как кванты возбужденных состояний. Основное состояние, или вакуумное состояние, определяется как состояние поля без частиц. Выражения (89,7) и (89,9) содержат бесконечные постоянные слагаемые Уа и Ям соответствующие вакуумным значениям, которые не проявляются в физических явлениях. Легко, однако, так переопределить операторы энергии и электрического заряда, чтобы вакуумные значения равнялись нулю. Действительно, 11= ~ ~ (1 ОО 9 — (Ов ~) йг ) г( г= „)~~~ ЕА(йаайаа+ ЬааЬ|а)1 () = — ~ (т1.' Ф вЂ” Ф1 )Нг=е ~1(йаайаа — ЬааЬАа), (89,10) А.а где И"- ХФ У, 4'Ф=ХФ~Ф. 430 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ фЕРМИОНОВ КЛ, Х3 Входящий в (89,10) оператор плотности электрического заряда можно записать в сокращенном виде с помощью коммутатора Ф = ~ (т1" 'р — ~~г ) = ~ (трт, Ч'1 (89,11) Чтобы не' нарушить уравнения непрерывности,для электрического заряда, надо наряду с оператором плотности электрического заряда (89,11) рассматривать и преобразованный оператор плотности электрического тока 1= — "[Ф~, аФ1.
Оператор электрического заряда (89,10) коммутирует с оператором Н, следовательно, электрический заряд является интегралом движения, гллвл хп ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУШЕНИЯ й 90. Общее выражение для вероятности перехода из одного состояния в другое Предположим, что на систему, описываемую не зависящим от времени гамильтонианом Ны действует в течение некоторого времени возмушение, оператор которого имеет вид (Р(1), если 0(1<т, У(1) = О, если 1< О, 1) т. В этом случае полный оператор Гамильтона Н вЂ” Нз+ У (1) зависит от времени и соответствуюшее временное уравнение Шредингера 46 — — (Н.+У(о) ф (90,1) не имеет стационарных решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
