Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(85,5) ! (' ! 1 2 2) Во второй сумме выполняется суммирование по всем возможным значениям й!, й!, й2, й2, удовлетворяющим закону сохранения суммарного импульса, указанному в скобках под суммой; функция Р =т(!й! — й!~) определена (85,3). Ф,А, В случае системы невзаимодействующих бозонов. основное состояние системы соответствует «конденсации» всех частиц в состоянии с наименьшей энергией (й = б).
При наличии слабого отталкивания между атомами в основном состоянии системы подавляющая часть атомов все еще будет в «конденсированном» состоянии, т. е. в состоянии с наименьшей энергией. Таким образом, и при наличии слабого взаимодействия, которое имеет место между атомами гелия, «конденсат» содержит пв атомов, при этом пв мало отличается от полного числа Ж атомов в системе. Чтобы исключить влияние периодических условий (с большим периодом 1.), введенных для упрощения записи, следует в конечных результатах переходить к пределу г'- ОО. Стремление 'Р'- оо должно происходить одновременно с й! — оо так, чтобы плотность частиц оставалась постоянной (2!ЧР' = сопз1). Из (85,5) следует, что операторы а»а«=п и лат='и +1 входят во вторую сумму в виде отношений пв!"Р' ь (Ив+ 1)!"г'.
Поскольку аь ж Ж, то при указанном выше предельном переходе эти отношения остаются конечныме однако при Р'- Оо «м! осно~ы миквоскопнчаскоп таовнн сваахтвкхчасти ззэ разность а»ав — а«а«1 У = — -» О. Поэтому можно пренебречь некоммутативностью операторов рождения а»т и уничтожения а«частиц в состоянии й = 0 и заменить их обычными числами. Тогда, вводя, согласно Боголюбову, новые бозе-операторы для й Ф 0 Ь =а и-"а, Ь =а и;"а „ «оо «««о а (85,6) можно преобразовать (81,5) к виду + р ~ т(й)(Ь»Ь'-»+Ь»Ь «+2Ь»Ь4+Н', (85,7) где е(й) = Ь»й»!2лт, знак штрих указывает, что суммирование не включает значение й = 0; члены, содержащие произведения трех и четырех бозе-операторов Ь», Ь»', обозначены Н'. При низких температурах оператор Н' можно опустить, так как операторы Ь« имеют порядок малости Ф '.
В этом можно убедиться, если учесть, что из (85,6) следует равенство Х'Ь„Ь =Х' „=Н вЂ”,. ««» ««» - о Преобразуем гамильтониан (85,7) к виду (85,8) где Н =и»(Ь„Ь +Ь Ь «)+ у (Ь Ь «+Ь«Ь ). (85,9) с помощью канонического преобразования р!(й)=Ь»сй~р+Ь~«эйнар, Мг(й)=й»аз)!~+Ь»сй~р. (85,11) Оператор (85,9) совпадает с рассмотренным в ф 52 оператором (52,!0), если в последнем положить а = (3 = а», у = у», А = Ь», В = Ь». Следовательно, (85,9) приводится к диагональному виду Н« —— 2Е»(й) + Е(й) И (й) !»! (й) + !««х(й) !««(й)) Щ10) 4ОО ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ (ГЛ. Х При этом (й) ~ е(й) + Ве(ь)лет(а)]'ь сй р=(1 — (!А) ', (85,12) Х!А= — ~В(й)+ ~ — Е(й)~, 4 Е,(й) =П,'(~)А — 1) 'Е(й).
Из (85,11) и (85,12) следует, что (Ае(й) = !и( — й), Е(й) = = Е( — й). Учитывая эти равенства и (85,!О), преобразуем (85,8) к виду Е = ~~, + )' Ео (й) + т Е (й) (Ат, (й) !А~ (й). (85,13) Из (85,13) следует, что малые Возбужденные состояния системы атомов гелия (низкие температуры) можно рассматривать как совокупность элементарных возбуждений, которым соответствуют квазичастицы с энергией, зависящей от й согласно (%,12). Поскольку при малых возбуждениях пе = Ф, то (85,12) можно заменить приближенным выражением ~ я4ц5 уд2ф2 ~1ь (85,14) При малых импульсах Е(й) = ( — ч(0)) Л!й/(1 + ...). (85,!5) Скорость передачи элементарных возбуждений (групповйя скорость звуковых волн) поэтому (85,15) можло записать в виде Е(й) 65!й !. Чтобы основное состояние, соответствующее отсутствию квази- частиц, было устойчивым, необходимо, чтобы выполнялось неравенство >(0) ~ )1г(р) !з ~ 0 В противном случае при малых й энергия была бы комплексной, что означало бы неустойчивость рассматриваемых возбужденных достояний.
Указанное неравенство выполняется, если энергия $ зз) ОснОВы микроскОпическОИ теОРии сверхтекучести 4О1 взаимодеиетвия между атомами в основном положительна, т. е. между атомами должны действовать отталкивательные силы. Из (85,!4) следует, что при больших импульсах энергия элементарных возбуждений зависит от импульса по закону Е(й) = — + —. лайз )У» (Ц Угл )У (85,16) Согласно (85,3), при возрастании й значение»(А) стремится к нулю, поэтому при больших импульсах энергия элементарнгях возбуждений (квазичастицы) совпадает с кинетической энергией отдельных атомов. Зависимость энергии от импульса элементарных возбуждений (85,14) в системе бозонов, между которыми действуют слабые силы отталкивания, можно изобразить кривой, указанной на рис.
14. Спектр возбуждений м такого типа имеет ту особенность, что йе ППП вЂ” „= Ояр Ф 0 Е (й) Лтйх Е(А) =— *) Рассыотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной скоростью ». Если жилкость обладаег вязкостью, то вследствие трения о стенки в жилкости возникают элементарные возбуждения, т. е. часть кинетической энергии движения частично переходит во внутреннюю энергию. Определни условия, при которых в жидкости могут возникать элементарные возбуждения (квази- частицы) с энергией Е(р) и импульсом р. В системе координат, покоящейся относительно капилляра. знергия этого возбуждения будет равна Е(Р)+р». Если начальная кинетическая энергия была Ем а после возникновения зозбуждения Ез, то должно выполняться равенство Еа Еа+ Е (Р) + Р». Следовательно, условие торможения жидности сводится к выполнению нера- венства Е(Р)+Р <О.
(85,18) При заданном значении абсолютной величины импульса сумма, стоящая в левой части 'неравенства (88,18), имеет наименьшее значение, когда иыпульс р 85 1тт Рнс. 4С Зависимость анергна ехемен( 7ъ тарных яоабужхеннй от импульса я сяерхпроноанщнх системах (спхошная крняаах Штрнхояой хянней показана Как показал Ландау (75), сверх- аяергня сяоболных частиц. текучее состояние движения жидкости может наблюдаться только при .скоростях течения о с., о„р*). В случае идеального газа и элементарных возбуждений с энергией 402 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ 1гл.
х (штриховая линия на рис. 14) значение и =пил — =О. Е (й) ЕА направлен против скорости ж Поэтому для выполнения (85,18) необходимо осуществление неравенства Е(Р) — роСО, или в> —. Е (р) Р Итак, если зависимость энергии злементарного возбуждения от импульса Е танова, что гя)и†= окрчьО, то при скорости е ч. оар неравенство (85,18) Р не выполняется, и течение жидкости ие замедляется, т.
е. будет обнаружи- Е ваться явление сверхтекучести. Если щ(п — О, то при течении жидкости с любой сколь угодно малой скоростью в жидкости могут возникать злементарные возбуждения. (85, 19) Поэтому явление сверхтекучести будет отсутствовать при любой сколь угодно малой скорости течения жидкости. Итак, явление сверхтекучести жидкого гелия при низких температурах определяется коллективными свойствами системы взаимодействующих бозонов (атомы гелия), приводящими к спектру элементарных возбуждений Е(к), для которого ппп — ~ О.
Е(А) йй ГЛАВА Х! ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ФЕРМИОНОВ $86. Представление чисел заполнения для систем невзаимодействующих фермионов В главе Х мы познакомились с описанием состояний квантовых систем, состоящих из одинаковых бозонов в представлении чисел заполнения. В представлении чисел заполнения автоматически учитывается свойство тождественности частиц и требуемая симметрия волновой функции относительно перестановок частиц. В этой главе будут исследованы системы, состоящие из одинаковых фермионов.
Как было показано в $ 72, состояния систем, состоящих из одинаковых фермионов, определяются функциями, антисимметрнчными относительно перестановки любых 'двух фермионов. В связи с этим для систем, в которых приближенно можно говорить о состояниях отдельных фермнонов, справедлив принцип Паули, согласно которому в каждом одночастичном состоянии не может находиться больше одного фермиона.
Исследование системы одинаковых фермионов мы начнем с простейшего случая системы, содержащей У невзаимодействующих фермионов малой энергии, когда еще не происходит образование античастиц. Предположим, что состояние движения отдельного фермиона в некотором внешнем поле, порождаемом другими частицами (например, атомными ядрами в атомах и молекулах), определяется оператором Гамильтона О($), где $ — совокупность пространственных и спиновых переменных.
Пусть з. и Чъ($) — соответственно собственные значения и собственные функции оператора О(В). Индекс з характеризует все квантовые числа, определяющие одночастичное состояние. Полный гамнльтониан в координатном представлении Волновая функция в том же представлении является антисимметричной функцией ф(зь ..., 5п), зависящей от 4У переменных; $; — совокупность пространственных н спиновых переменных (-й частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
