Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Векторные сферические функции, следовательно, удовлетворяют уравнениям ~ 1'лт 1(г+ 1) ~'и.т .(81,2) Х,уд~ — — тУц~ Проекции оператора спинового момента частицы со спином 8 = 1 можно записать в виде трех матриц ФОТОНЫ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ МОМЕНТОМ И ЧЕТНОСТЬЮ зтэ 4 8Ц то спиновые волновые функции фотона 'Х, „можно записать в виде ХП1= е,, Хь 8= еэ, Хь ~ — — е-н (81,6) В базисной системе векторов еь еь е8, в которой определены операторы (81,3), функции (81,5) выражаются соответственно с помощью матриц Векторы е„и спиновые функции х,„удовлетворяют условиям ортонормируемости в виде (81,6) где е =( — 1)эе — „. Любой вектор $ можно представить в виде А= ~ А„е„= ~( — 1)" е „А„, Н Р тогда, используя (81,6), имеем А„= Ае„. (81,7) (81,8) Компоненты АР можно назвать сферическими компонентами вектора Подставляя (81,4) в (81,8), легко найти связь между сферическими и декартовыми компонентами вектора АФ1=.+- =(Ак + (АР)~ АР= Ак 1' 2 Оператор орбитального момента 7. коммутирует с операторами спина (81,3), поэтому, согласно правилу векторного сложения моментов (5 41), векторные сферические функции можно образовать из линейных комбинаций спиновых функций Х~„ и сферических функций ув,„н (л), являющихся функциями Такое представление вектора удобно при исследовании изменения его при повороте системы координат и в ряде других прис ложений.
Пользуясь (81,6) и (81,7), можно показать, что скалярное произведение двух векторов выражается через их сферические компоненты с помощью равенства АВ=~( — 1) А„В „. Н 380 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [гл. х единичного вектора и = ЩЯ, определяющего направление движения фотона. Таким образом, !п1 ~с~ (11 !т 1п р ! У1п) Хь| 1.. -Р (и), (81,10) где (!У.!т, 1п — !т!У1п) — коэффициенты векторного сложения. Из (81,10) следует У=У +1, У.,! У. — 1 1; гп=.+ У, .+ (У вЂ” Ц, ..., (81,11 так как только при выполнении этих условий коэффициенты векторного сложения, отличны от нуля.
При операции инверсии функция т1„меняет знак, а функция уь, „умножается на ( — !)ь, поэтому векторная сферическая функция (81,10) соответствует состояниям с определенной четностью, равной ( 1)ты Векторные 'сферические функции (81,10) образуют полную ортонормированную систему функций — ° УУ1сп УУ!ц'пг йпп = Ьппп'бсс'б11' ° Каждому значению.У соответствуют три векторные сферические функции, .отличающиеся, согласно (81,! 1), значениями Уя 1 11 (и), У1, 1+к (и) Ул 1 ь (и). Вспоминая правило, определяющее четность сферических волновых функций, можно показать, что четность 111 равна ( — 1); четности У1,1+ям и 11 1 ь равны ( — 1)1. Векторная 1+1. сферическая функция 111 перпендикулярна вектору распространения и. Она соответствует полному моменту У и четности ( — !) и обычно называется поперечной векторной с4ерической l+! 4рнкцией мовнитного типа.
Введем для нее обозначение 1пущ (и) — 1111~д (и). Векторные сферические функции магнитного типа выражаются через обычные сферические функции равенством К~~ (и) = — К, (и) = К1 (и), (81,13) где у=-'мха= — а(.х~.). Рассмотрим далее вторую векторную сферическую функцию, перпендикулярную (81,13) и вектору распространения и. Такую функцию можно образовать следующим образом: КЕ (П)= — 1.(П К!пи (П)~. Ч 8Ц ФОТОНЫ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ МОМЕНТОМ И ЧЕТНОСТЪЮ ВВ1 Подставляя в это выражение (81,!3), мы убедимся, что функ- ция Ут выражается через производные от обычной сфериче- ской функции р'(!= ррр, рр.
(81, 14) ррррО Фръ р ррр,ррр р рг ф р и четностью ( — 1)э. Эту функцию называют поперечной вектор- ной сгХрерической г)рунрп(пей электрического типа. Учитывая ра- венство аЧ,У,.=(йХ+ Ц '(Х~'У+)У,.„,.+(Х+ Ц У'ХУ.,. ь.), мы убедимся, что векторная сферическая функция злектриче- ского типа является линейной комбинацией двух векторных сфе- рических функций, соответствующих орбитальным моментам У'+1 и У вЂ” 1: УК„(п)=(2Х+ 1) ~()ргУУр,р+ь (п)+ 1/Х+1Ул~ ь (и)).
(81,15) Таким образом, в'состояниях, Описываемых векторной сфери- ческой функцией электрического типа, орбитальный момент фо- тона не имеет определенного значения. Другими словами, в этих состояниях нельзя разделять полный момент на орбитальную и спиновую части. Из двух векторных сферических функций, соответствующих орбитальным моментам У+ 1, Х вЂ” 1, можно образовать также продольную векторную сферическую функцию, направление ко- торой совпадает с вектором распространения. Очевидно, что такой функцией будет У~~ (и) = пУ (и). (81,15а) Таким образом, в состояниях, соответствуюи1их продольным векторным функциям, орбитальный момент также не имеет опре- деленного значения. При У = 0 отлична от нуля только одна функция Ус~(п)= = — у, =ну, поэтому функция у~с может описывать только сферически симметричное продольное векторное поле. Каждому значению Х 3»! соответствуют три независимые векторные сфе- рические функции, из которых две являются поперечными и одна — продольной.
Все они, У," (и), Уе (и), У~~ (и), (81,16) взаимно ортогональны при различных Х и и; при одинаковых значениях У и рп они взаимно перпендикулярны для каждого значения вектора распространения и, следовательно, ~ (ул )ту) йг1 б б б 382 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ (гл. х где А, А'=М, Е, Е. Ф Векторные сферические функции (81,!6) являются функциями единичного вектора п, определяющего направление волнового вектора чх. Прн вращении координатной системы они преобразуются по неприводимому представлению трехмерной группы вращения, т.
е. по представлению ХХ м н, следовательно,. являются не векторами, а неприводимыми тензорами ранга Х. Поперечный векторный потенциал А (йчА = О) электромагнитного поля в объеме 1', ограниченном идеально проводящей сферой очень большого радиуса Хг, можно представить в вице разложения А = ~ (аь((;Чт) Ахат) + аь(ЯХт) АА ЯХт)), (81,17) Я. У. и. А где А=М, Е; Ам((еХт) в=-=( ~„) Хг(Ф) У~~ ( —,) е '"О (81,18) — потенциал магнитного излучения мультипольности Х; Ае(®т)м— м ((зх+ ~) у) *( 1 хазы(Ф)1'л +ь ~~) — )ХХ+Ц~,(Ф)Улг ь ~ —,)~е '~О (81,19) — потенциал электрического излучения мультипольности Х; Хь(Яг) — функция, пропорциональная сферической функции Бесселя, нормированная условием ) Х Яг)Х (Я'г)гз<Хг )гбсо", о Я вЂ” волновое число, имекнцее размерность обратной длины и пробегающее для каждого Х дискретные значения, определяемые из условия Ь(Ю)=0.
Потенциалу (81,18) соответствует магнитное излучение мультипольности Х, напряженности электрического н магнитного полей которого равны Ем ((ХХт) = Х()Ам (Щт), Вм (Фт) = го1 ААР Следовательно, напряженность электрического поля в электромагнитной волне, соответствующей магнитному излучению, всегда перпендикулярна радиусу-вектору, в наПравлении которого она распространяется, т. е. (гЕМ) = О, э ей еонопы в тэвхмвэном кэистлллв Потенциалу (81,!9) соответствует электрическое излучение мультипольности Х, напряженности электрического и магнитного полей которого определяются равенствами Еа ЯУ»п) = ЯАа (Щт), Ва ЯХт) = го! Аа ЯХ»п).
При этом (гВа)=0. В общем случае выполняются равенства Еа ЯУп») = Вм (ЯХт) = го! Ам (ЯУт) = »ь»Аа (»,"Ут), Ем Юп») = — Ва ЩУт) = Х»»Ам (»)У»п). Переход к квантовомеханическому описанию в представлении чисел заполнения соответствует замене в выражениях (81,17) и классической энергии поля УУ„= ~„Д(,~, ф) +(го!А)ф»г амплитуд а„, а*„операторами йм йтм удовлетворяющими перестановочным соотношениям ["ь(ЮХш)»)тм й'У'»и')[= басА»»4т~ [йы Ам[= 0 После такой замены получим гамильтониан Н-,У; й,~йЦ()У )А,Ю )+Я (81,20) я»ть и оператор векторного потенциала А= 2.", [д,„(ЯХт) А, ЯУт) +»)~~ЯУт) А'(ЯУт)[. (81,21) Оператор й»1)й„является оператором числа фотонов соответствующего мультипольного излучения.
В состояниях с определенным числом фотонов ~пь) энергия поля также имеет определенное значение. Каждый фотон в состоянии ХЯУ»п имеет волновое число»», квадрат момента Х(У+ 1), проекцию момента и» и четность ( — 1) +' при ). = М и ( — 1)» при ). = Е. й 82. Фононы в трехмерном кристалле Для простоты рассмотрим моноатомные кристаллы. Пусть масса атомов и и г „а = 1, 2, 3, — три компоненты смещений атома из узла ячейки, определяемой вектором решетки и =в»п» + п»па+ п»па (81,22) где и» = О, +1, .+2, ...; пьат,໠— векторы основных трансляций.
Кристалл представляет собой очень большой параллелепипед с ребрами а»)Уь У»»» » 1. Число различных значений и равно числу атомов Ф = 1У11Уз1Чз в кристалле. В качестве гра- ничных условий принимаются циклические условия Борна— Кармана, согласно которым 1'=1, 2, 3. (82,2) г»= Г»+я а 1 1' Потенциальная,знергия смещений атомов в гармоническом при- ближении имеет вид 1 к1 Р= ~ ~ У а (а — т) г г з, »», »>з где компоненты тензора второго ранга У„в удовлетворяют условиям $',а(а — гп)=У, (и — т)> ~)г„„(п — т)=0.
(82,4) » (82,3) Кинетическая знергия выражается через скорости смещений г: (82,5) Проведем в (82,3) и (82,5) каноническое преобразование к коллективным комплексным переменным Ат с помощью равенств гни== у а»(фАте'т"> Аз=А-т> (82,6) 1 %'1 1» г»1>' где е„(д) = а„( — 6) — вещественные числа, которые будут определены ниже; волновой вектор д пробегает 1У значений -з %1 влт1и1 и д-у, „. т,=о, а1, ~2,...,—,; 1:1 6>1 — векторы обратной решетки, определяемые равенствами а;К1 = бсь Унитарность преобразования (82,6) обеспечивается равенствами — ~з'1т-тч" — 6 т — '~„е1тм "1=6 1 й~, 1~1 После преобразования (82,6) получаем К= ~ ~а'(6) АаА „ д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
