Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 67
Текст из файла (страница 67)
а 1 %> 0= ~ д~ Рца(д) аь(1у)еа(д) АтА т, т,»,9 (82>7) 384 ато1>нчнов квантовании сметам из возоноа .1гл;ж Фононы В тгехмегном кгистхлла где ~аз (Ч) = Рва (Ч) = ))аа ( ч) = ~~ $ ьа (и) а~а» (82,8) — матричные элементы силовой матрицы. Введем функцию Лагранжа Ь = К вЂ” (/, тогда уравнения Лагранжа л (и) дв О а зэ ад при д=е „Ат примут вид а„(ау) Ат +,')", В,а (юу) га (д) Ат —— О. Р С помощью подстановки Ад — — — Йз(9)Ат эти диффеРенциальные уравнения-преобразуются к-алгебраической системе трех уравнений (при фиксированном 9) относительно неизвестных коэффициентов е<„(д): а'® „(д) — ~ П.„(д),®-О.
(82,9) Из условия нетривиальной разрешимости уравнений находим дисперсионное уравнение И а'М б., — В„„(9П~-О, определяющее частоты Ы(д). Уравнение (82,9) имеет, вообще говоря, три кбрня й~(9), з=!, 2, 8. Соответствующие им три решения (82,9) определяют три вектора е,(9) с компонентами е„,(д). Они ортогональны и определяются уравнениями (82,9) только с точностью до постоянной, поэтому их можно выбрать ортонормированными е, (д) е; (д) = 6„'.
При и- О матричные элементы,Р„Э(д), логласно (82,4) и (82,8), стремятся к нулю. Поэтому предельные значения всех трех частот й.(д) также стремятся к нулю. В связи с этим соответствующие движения атомов в кристалле называются тремя ветвями акустических колебаниК В кристалле кубической син. гонии один из векторов е,(п) направлен вдоль вектора д. Он характеризует продольные смещения атомов.' Соответствующие колебания называются продольными. Два других вектора е. взаимно перпендикулярны и перпендикулярны д. Они определяют ветви поперечных колебаний.
В анизотропных кристаллах три вектора е,(д) взаимно ортогональны, однако только для некоторых выделенных направлений в кристалле один из них совпадает с д. В соответствии с тремя решениями системы уравнений (82,9) компоненты смешений атомов (82,6) определяются через три коллективные переменные Ач для каждого вектора д с по- мощью выражения г а= — У,ее~(д)АЧ,В~Т", з=1, 2, 3.
(82,10) рй~,Сей Подставив (82,10) в (82,3) н (82,5), получаем к= —,'',)', А„А,, „и= —,' '~ а,'(Ф А„А,, (82,1Ц Ч, А Д, 8 Обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координа- там А „определяются равенствами Рч,= . =Аж, д(К вЂ” 0) дл (82,12) Выражая в (82,1!) скорости А», через обобщенные импульсы, находим классическую функцию Гамильтона и 1Г + 0 ~ ~~~(РЕНАР т + а~~ (~1) АГАВА д 8) (82 13) Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется заменой обобщенных координат и импульсов операторами Ф АВ, -ь Ае, = ~ ~,, ~ (Ьт*+ Ь-т, ~); ,(ч)) 1, (82,14) 2 1 где Ьт, и Ьт, — соответственно операторы рождения и уничтожения фононов в состояниях ~ тт,), характеризующих число фоно. нов тт, каждой ветви колебаний.
Они удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для операторов Бозе (ь„, ь,';1=5„ь,, (ь„, ь; )=0. Проведя преобразования (82,14) в выражениях (82,13) и (82,10), получим операторы Гамильтона и векторы смещений атомов из равновесных положений О= ~)~йа,(ч) ~ь,',ь„+ — 2~, г„= )~~ ( „А, ( ) ) е, (д) ~ьт + Ь-ч,,) еьтВ. (82,16) Собственные функции оператора (82,!5) и оператора числа частиц ЬВ,ЬИИ соответствующие числу фойонов и = Вч. в состоя- (82,15) ззв ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ЕОЗОНОВ [гл. х ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ МЕЗОННОГО ПОЛЯ 887 т ав нии с волновым Вектором д, поляризацией е,(д) и энергией Ьй,(д), получаются из функций вакуумного состояния (без фононов) по общему правилу 1п)=(л!) В(Ь~~,) !0).
Эти функции симметричны относительно перестановки фононов, так как операторы Ь, удовлетворяют перестановочным соот- Ф ношениям )Ьды~ Ьдв~ Симметричные относительно перестановки одинаковых частиц функции описывают состояния бозе-частиц, следовательно, элементарные квантовые возбуждения колебаний атомов в твердом теле — фаноны — являются бозе-частицами — бозонамш Фононы должны удовлетворять статистике Бозе — Эйнштейна. В каждом квантовом состоянии может находиться произвольное число фононов.
8 83. Вторичное квантование мезонного поля Как показывает опыт, в природе имеются заряженные и нейтральные и-мезоны — пионы. Заряженные пионы имеют двазнака электрического заряда н массу, в 273 раза превышающую массу электрона. Нейтральные пионы в 264 раза тяжелее электрона. Спин пионов равен нулю, внутренняя четность отрицательна. В главе У((! отмечалось, что в релятивистской теории нельзя последовательно сохранить представление о движении одной частицы.
Чтобы описать состояние систем с несохраняющимся числом частиц, надо перейти к полевому описанию, при котором частицы появляются как кванты поля. Заряженным пионам сопоставляется комплексное поле ф(г), нейтральным — вещественное поле. Динамическая координата поля ф(г) является псевдоскалярной функцией от пространственных координат г и времени. При полевом описании координата г играет роль координаты пространства, а не координаты частицы. Поэтому при полевом описании отсутствует обсуждавшаяся в Ц 53 и 57 трудность введения понятия координаты релятивистской частицы. Рассмотрим комплексное скалярное поле частицы с массой М. Согласно (54,5), функция ф(г) должна удовлетворять уравнению Клейна — Гордона (83, !) Это уравнение описывает свободное движение.
Оно будет соответствовать пионам, не взаимодействующим между собой. Чтобы описать их взаимодействие, надо ввести еще другое поле, переносящее взаимодействие. звй ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ ~гл. и Плотности электрического заряда и тока Р= ед (ф дг — ф <~~ )* 7= еГя (ф*тф — фтф') (83,2) образуют четырехмерный вектор, удовлетворяющий уравнению непрерывнос7и (54,7). Комплексному полю ф, удовлетворяющему (83,1), соответствует плотность функции Лагранжа до' дф м". у = — — — ст(Чф') (Ч) — — ф'ф.
дГ дФ д' Координатам поля ф и ф' соответствуют канонически сопряженные импульсы дЯ' - д~У',, д~з и= — = — ' и и"= —. (д$ ) д1 дГ Следовательно, плотность гамильтониана Я= (И.НЮ+ м'" ф Ф+ 2Ф-Л. (83.4) Квантование поля состоит в замене динамической переменной ф и сопряженного импульса и= — соответствующими дй' дГ операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям ~ф(; (), ',","~-(и( — ).
(83,5) Другие комбинации ф(г, 1), ' коммутируют. дар (б г) Проведя соответствующую замену в (83,4) и интегрируя по всему пространству, получим эрмитовый оператор Гамильтона поля и= 1®Я+ Р(рф) 6Ф+,' Ф'Ф1 (83,6) Чтобы перейти к представлению чисел заполнения, введем ортонармированную систему функций, являющихся решениями уравнения (83,1).
В качестве такой системы функций можно взять решения, соответствующие определенному значению импульса йй. Согласно $ 55, каждому значению й будет соответствовать два независимых решения ~р, = — ехр (г(йг — вь1)), <ра ==ехр(1 (йг+ ыьг)), (837) где =.у'а + — "' $84 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ МЕЗОННОГО ПОЛЯ 389 !> = Ь8 — основной объем пространства. Для упроШения записи мы здесь пользуемся циклическими граничными условиями с большим периодом 8,, при которых й<= — и<, 1=1, 2, 3; 2 т. п,=0, .+1, ... Разложим операторы поля ф и — по полной системе функций (83,7), тогда 8~А ' >)>= ~~(ар ~ (але "" + Ьье"" )е дФ .%~<Ь<8АУ'8 -В8 с т В8 «< — — — (аье А — Ьье А ) е д» 24~ 2У! (83,8) Подставляя полученные выражения в перестановочные соотношения (83,5), мы убедимся, что они удовлетворяются, если новые операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям для бозе-частиц >1аь, аД г!ЬА, Ьа1=ЬАА, (ам а>е) =*1Ь>ь ЬА) =!ам Ь»] =О.
Подставляя (83,8) в (83,6) и используя (83,9), находим оператор Гамильтона поля в представлении чисел заполнения О= 2~~ йе>А(а,аь+ ЬАЬА+ 1). (83, Гб) Заменив в (83,2)ч функции операторами (83,8) и интегрируя по объему Р, находИМ оператор полного злектрического заряда поля (83,9) 6= ~ ра>зг= е~)~~(ата — Ь„Ь„). (83,1!) Введем операторы числа частиц и<+'= ата, п'->= Ь8Ь .
Ф *А А МА. Они коммутируют с оператором Гамильтона (83,10) и опера- тором заряда поля, позтому волновые функции изображают стационарные состояния. Из (83,10) н (83,11).сле- дует, что волновая функция ~а'+>) соответствует состоянию, в котором а<+> частиц имеют импульс Щ заряд Я=еп<+> и 390 втогичноа кв»нтов»иив систвм из возонов 1гл, к $(г)=ф (г). (83,13) Из (83,8) следует, что условие вещественности (83,13) выполняется, если операторы а» и Ь» связаны соотношениями Ь»=а». (83,14) Таким образом, операторы нейтрального мезонного поля выражаются только через операторы рождения а» и уничтожения а»: Ф »у с4 12»'в» ~ 1 д~ (83,15) Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям [ф(г.
1), ~»' ~ 186(г — г') (ф ф)=~ д,, д, ~=0, если операторы а»» и а» удовлетворяют обычным перестановочным сотношениям для операторов рождения и унигтожения частиц (а», а»,)='(а»», аЯ, (а», аД=Ь»»,. (83,16) Подставляя (83,!5) в (83,6), получаем оператор Гамильтона нейтрального мезонного поля в представлении чисел заполнения энергию и',+1йв»; волновая функция ~п'„') определяет состояние, в котором п~-> частиц имеют импульс ай, заряд Я= — еп„' > и энергию и»' >йв». Таким образом, квантованные состояния заряженного мезонного поля приводят к квантам поля — частицам, которые могут иметь два знака заряда и положительную энергию. Собственные значения оператора Гамильтона (83,10) всегда положительны.
Собственные аначения оператора электрического заряда поля могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от числа отрицательно и положительно заряженных частиц. Вследствие перестановочных соотношений (83,9) состояния системы пионов описываются симметричными функциями (83,12) относительно перестановки пар частиц. Поэтому пионы являются бозонами и удовлетворяют статистике Бозе — Эйнштейна, Нейтральные пионы описываются вещественным полем. Оператор (83,8) будет описывать нейтральные частицы, если по- ложить о вп кВАЗИЧАСТИЦы В СИСТЕМЕ ВЗЛИМОДЕИС?ВУЮЩИХ ЕОЗОНОВ зо1 Оператор полного электрического заряда (83,2) в случае нейтрального поля тождественно равен нулю ф=е2.'~(а~~໠— ат а о)=0.
й 84. Квазичастицы в системе взаимодействующих базанов Пусть $; — совокупность трех пространственных координат и проекции спина 1-й частицы Бозе (частицы с целым спином). Оператор Гамильтона системы Н одинаковых частиц, которые взаимодействуют между собой парными силами, в координатном представлении имеет вид Нш: Х Нш(Ы+ Х %г (~ь $у) (84, 1) 1 1 ~с~ где Нш($;) — оператор Гамильтона одной частицы без учета взаимодействия с другими частицами..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
