Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Состояние системы Н одинаковых частиц определяется в координатном представлении уравнением Шредингера где волновая функция зр является функцией в абстрактном 4Н-мерном конфигурационном пространстве. Как было показано в $72, эта функция должна быть симметричной относительно перестановки пар частиц. Исследование свойств систем, состоящих из многих тождественных частиц в координатном, импульсном нли другом представлении, в котором отмечаются состояния каждой из частиц в отдельности, не оправдано усложнено ненужной детализацией. В таких системах все явления не должны зависеть от нумерации частиц. Такое требование автоматически удовлетворяется в представлении вторичного квантования. Чтобы ознакомиться с правилом перехода к этому представлению прн описании системы взаимодействующих бозонов, рассмотрим вначале систему невзаимодействующих одинаковых бозонов. В этом случае оператор Гамильтона является суммой операторов, относящихся к каждой частице в отдельности, Но Х Нш Вд.
(84,2) Пусть е, и ~р (Ц вЂ” собственные значения и собственные функции оператора Нш(й;) одной 1-й частицы. Состояние системы в координатном представлении Определяется указанием набора квантовых чисел т для каждой частицы системы. Вследствие з ва квхзичхстицы в снствмв взанмодкяствтющих возонов — операторные функции, удовлетворяющие, согласно (84,6), перестановочным соотношениям 1Ч'(В)э Ч' 6')Х=Ь( — $'), [Ф5), Ф$')) =О. (84,9) Таким образом, переход от координатного представления оператора' (84,2) к оператору в представлении чисел заполнения осуществляется по правилу „~„Нш($~) -+ ~ Ч'.
(З) Нш ф Ч Я) ~ф. (84,10) й ! Если операторные функции Ф($) выбираются в виде (84,8), то ~ Ч'~(И Нш(в) Ч'(в) д$= ~)~~~ е„а~~а„. Однако переход к представлению чисел заполнения может быть осуществлен с помощью преобразования (84,10) и в том случае, если операторные функции Ф®, удовлетворяющие.(84,9), записываются в виде (84,8) при использовании любой полной системы ортонормированных одночастичных функций. Пусть, например, 11,($) — полная система ортонормированных функций. Тогда операторные функции Ч~(5) будут иметь вид Ч'($) = Х ЬаХ;6). ! Они удовлетворяют перестановочным соотношениям (84,9), если Ь, — бозевские операторы, т. е.
~Ь., Ь~]=Ь... (Ьз, Ь;)=О. Подставив (84,11) в (84,7), находим Н.='Я7. Ь'И,' (84,12) где Оператор Гамильтона (84,!2) не коммутирует с оператором числа частиц б, Ь~Ь„поэтому число частиц в одночастичных состояниях, определяемых функциями у (в), не является интегралом движения даже' при отсутствии взаимодействия между частицами.
Таким образом, выбор функций Х,Я) для характеристики одночастичных состояний нельзя признать удачным. Однако если мы не знаем решений уравнения (84,4), то можно воспользоваться недиагональным оператором (84,12) звя квлзичлстицы в систамв взлнмодапствгюших возонов Зад Оператор координатного представления, заданный в виде суммы операторов, действующих на координаты трех частиц, преобразуется к представлению вторичного квантования по правилу Х Н(Ь Ь* Ы- О* ~(/Сй ~=т~'Р'(ИЧ" ($') Ч" (Г)Н6А',Г)Ч'Ф")Ч'6') Ч 6)д$сФ' Ф" (84,15) и т.д. Сформулированные выше правила (84,10), (84,!4) и (84,15) перехода от координатного представления к представлению вторичного квантования можно применить н к оператору (84,1), характеризующему систему тождественных бозонов, взаимодействующих между собой парными силами.
Таким образом, в представлении вторичного квантования оператор (84,1) преобразуется к виду Н=~Ф" В)Н~В)Ч 6)~В+ -)- ~ ~ Чгт (Р Чг+ Д') Я7 Р, ~') Ф (~') Ч' (Я сф г$', (84,16) "Ф где операторы Ч' и Ч~ удовлетворяют перестановочным соотношениям (84,9). дальнейший переход к представлению чисел заполнения может быть осуществлен путем использования любой полной системы ортонормированных одночастичных функций. Выбор такой системы определяется свойствами взаимодействующих частиц. Желательно выбрать такие одночастичные состояния, при .использовании волновых функций которых наибольшая часть оператора Гамильтона (84,16) принимает диагональный вид.
Часто в качестве полной системы одночастичных функций выбирают собственные функции ~рч($) одночастичного "Ф оператора Нш($), т. е. операторы Ф и Ч" определяются равенствами (84,8). В этом случае оператор (84,16) в представлении чисел заполнения принимает вид Н= )~~ е„ача + 2 ~~~ а~а~атаь(чр~ЯГ~уб), (84,17) где (ч ~ ~'~ уб) = ) ч,'(в) ч„'(И йг ($, 5') р„Ю ъв (9 пг, ~%'. Гамильтониан (84,17) не диагонален относительно операторов й = а~та„числе частиц. Поэтому число частиц в состоянии ф„ не сохраняется. Если в начальный момент времени состояние йвй В10РичнОе кВАнтовАние систем из ВОЗОНОВ ~гл.
х определяется функцией ~... и, ...), то под влиянием операторов, входящих во вторую сумму (84,17), начнутся переходы частиц из одних состояний в другие. Легко видеть, что.оператор полного числа частиц Й = ~ а~~а ° У коммутирует с гамильтонианом (84,17). Поэтому общее число частиц в системе сохраняется. Это сохранение связано с тем, что операторы рождения и уничтожения входят в оператор (84,17) парами. Следовательно, каждому акту уменьшения на единицу числа частиц' в состоянии ~р, соответствует увеличение на единицу числа частиц в другом состоянии.
Исследование энергетических состояний систем, описываемых гамильтонианом (84,17) (см. следующий параграф), сводится к переходу с помощью канонического преобразования к новым Операторам рождения и уничтожения ЬР и Ь„, относительно которых гамильтониан имеет вид Н= ХЕ„Ь„'Ь„+ Н„ (84,18) где Н~ — небольшая часть оператора, не сводящаяся к диагональному виду.
Такое преобразование эквивалентно введению новых одночастичных состояний частиц с учетом самосогласованного поля, обусловленного взаимодействием между частицами. Энергии Е„будут соответствовать новым одночастичным состояниям, которые учитывают взаимодействия между частицами и тем в большей степени, чем меньшее значение имеет часть гамильтона Нь несводимая к диагональному виду. Формально гамильтониан ~~~~ Е„Ь,',Ь описывает систему невзаимодействующих частиц с энергиями Е„. Эти частицы называют квазичастицали системы реальных взаимодействующих между собой частиц.
Недиагональная часть гамильтониана как функция .операторов Ь, Ь„ описывает взаимодействие между квазичастицами. Это взаимодействие называют Остаточныи взаимодействием. Если остаточное -взаимодействие мало, то состояния системы, соответствующие собственным функциям ~... ав,) операторов ЬР, Ь„будут близки к стационарным состояниям системы, т. е.
квазнчастицы можно будет рассматривать как достаточно устойчивые образования. В этом параграфе мы предполагали, что гамильтониан Н(й) и волновые функции Чъ(5) одночастичных состояний реальных бозонов даны в координатном представлении. Легко убедиться, что все формулы сохраняют свой вид, если Н("е) и ~р,(е) заданы в импульсном (илн другом) представлении. Достаточно только считать, что $ определяет компоненты импульса и спиновую переменную, если частицы имеют спин, не равный нулю. % М! ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ 397 й 85. Основы микроскопической теории сверхтекучести Явление сверхтекучести (открыто в 1938 г. П. Капицей) связано с отсутствием измеримой вязкости в жидком гелии вблизи абсолютного нуля при движении его через тонкие капилляры н щели.
Теория сверхтекучести на основе представления о гелии (при Т(2,19'К) как о «квантовой жидкости» была развита Ландау [75). Микроскопическая теория сверхтекучести гелия была развита Боголюбовым [76[. Предложенный Боголюбовым метод приближенного вторичного квантования системы взаимодействующих бозонов представляет значительный интерес не только для теории сверхтекучести, но и для ряда других приложений в случаях, когда нельзя пользоваться теорией возмущений. В этом параграфе мы познакомимся с основными идеями метода Боголюбова.
Атомы гелия (Не4) являются бозе-частицами, так как их спин равен нулю. Они слабо взаимодействуют между собой. Оператор Гамильтона системы Ф атомов гелия в координатном представлении имеет вид Н= ~~.'~ Н(г!) + ~~.", )(7(~г! — г!~), ! ! !<! где Н(г!) — оператор кинетической энергии свободного движения; )Р— оператор энергии взаимодействия двух атомов. Если в качестве полной системы ортонормированных функций выбрать собственные функции оператора Н(г!), т. е.
плоские волны !р»= Р' 'ье!ь' (нормированные на большой объем У в форме куба с периодическими условиями на гранях куба), соответствуюшие энергии свободного движения еь= Ьтйт12л!, то, согласно $ 84, в представлении чисел заполнения оператор Гамильтона имеет вид Н= т' в„а~а„+ — ~Р~ аь» а! а„а ° (й!йт ~((у~й'й!) (85,1) Здесь (Й!йт~ йг~ Йтй!) = у Ь (йт + й! — йт — Й!), (85,2) т(~з'!-з! [) при этом т (~ й[ — й, И = 1 )(7 (р) е ( ! !) !13 = ")Р(р) рз!ПИй! — Й!~р)!7р (85,3) [Ф, з!~ — действительная функция, зависящая от абсолютной величины рааности й[ — й! и являюшаяся фурье-представлением энергии ЗЕВ ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ 1гл. х взаимодействия пары бозонов, ( 1, если й2+ й! = й2+ й!, (й2+ ' ' ') ( О, если й2+й! =~й,+й!.
(85,4) Из (%,!) следует, что двухбозонное взаимодействие, изображаемое в представлении чисел заполнения второй суммой в операторе Гамильтона, содержит четыре оператора. Каждое слагаемое этой суммы указывает, что взаимодействие соответствует исчезновению пары частиц в состояниях с импульсами (в единицах Ь) Ц и й! и одновременному появлению пары частиц в состояниях с импульсами й2 и й!. Согласно (85,2) и (85,4), такой переход осуществляется только с сохранением суммарного импульса двух частиц. Подставляя значение (85,2) в (85,1), получим окончательный вид оператора Гамильтона в представлении чисел заполнения для системы одинаковых бозонов, взаимодействующих между собой парными силами, которые зависят только от абсолютной величины расстояния между двумя бозонами Н= ~)~~ Пта ВА+ —, ~)~~ ч „ад а» а а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
