Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Оператор Н, содержит произведения четырех новых ферми-операторов. Для возбужденных состояний малой энергии порядок величины Н, значительно меньше остальных членов, поэтому Но можно опустить. . До сих пор вещественные функции ио и оо канонического преобразования были произвольными при условии выполнения равенства (87,12).
Выберем теперь эти функции таким образом, При выполнении условия (87,12) новые операторы Аоо и Аю удовлетворяют обычным,перестановочным соотношениям для ферми-операторов. Переходя с помощью (87,11) к'новым ферми-операторам, преобразуем (87,10) к виду Но= Ео+ Но+ Нл+ Нм (87,13) 416 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ 1ГЛ. Х! чтобы обратить в нуль оператор (87,1б). Для этого достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство 2е (й) и»п» = — (и~ — Ов) ~~)~~ т»ми„,о . (87,17) Легко убедиться, что (87,17) является одновременно условием минимума энергии основного состояния (87,14) при дополнительном равенстве (87,12).
Введем обозначение 1 ъч Д» 1, 74 и»'Омт»а (87,18) тогда из (87,17) н (87,12) можно выразить и» и О» через е(й) и Д»'. и»= — 1+ 1 е(») 1 1 1 е(») 1 О» ~/Д»+е»(») ~ ' " ' ~ ')'Д'+" (1) (87,19) Подставив полученные выражения в (87,17), находим уравнение, определяюгдее величину Д», 2У Х (87,20) Ь». +ее(» ) Уравнение (87,20) имеет сложный вид.
Значение Д» зависит от спектра энергий В» одночастичных состояний без взаимодействия, отсчитанных относительно химического потенциала )в и функций т»», определяемых силами взаимодействия между двумя фермионами. Подставляя значения (87,18) и (87,19) в (87,15), можно преобразовать диагональную часть оператора Гамильтона к виду е =Е ГЕ~щ~е~(А А .~ Л,А,1. (8721) Таким образом, вследствие взаимодействия между фермионами спектр элементарных возбуждений определяется величиной Е(й)= М,~(й) (.Д,'. (87,22) Каждому значению импульса Ьй соответствуют два типа элементарных возбуждений системы фермионов, характеризуемые собственными функциями новых операторов чисел заполнения А~~А»е)пве) = п»е(п»е) и А»1 А»11 п»1) = пы(пы). СостоЯниЯ (п»е) и (п»~) имеют соответственно энеРгин Е(й)п»е и Е(й)пвь »»П ФЕРМИОНЫ.
ВЗАИМОДЕИСТВУЮШИЕ ПАРНЫМИ СИЛАМИ 417 Изменение одночастичного спектра, т. е. разность е(Й)— — Е(Й), определяется величиной Ь», которая является корнем уравнения (87,20). Перейдем к исследованию этого уравнения. Прежде всего легко видеть, что уравнение (87,20) имеет тривиальное решение: Ь» = О, или и»о» = О. Выберем это решение в виде »»Й2 .(Й)= —,— „>О; 1 (87,23) е (Й) = в — — р < О.
! и»=1, о»=0, если и»=0, о»=1, если Чтобы определить физический смысл полученных решений, рас- смотрим каненическое преобразование, обратное (87,11): А»»»»чз» -» -ь' Ф А,=и„а „, +о„а,. Ф (87,24) Ст "»» 2У»и !е(»')! наряду с тривиальным решением уравнения (87,20) имеется нетривиальное решение„при котором Л» ~ О. Вычислим значение Л» для случая, когда можно предположить, что функция тщ равна постоянному значению у, если Й н Й' лежат внутри интервала Йе — д, Йе+ д, н равна нулю, когда Й и Й' лежат вне этого интервала. Тогда, согласно (87,18), значение Ь» равно постоянному Ь для Й, находящемуся в том же интервале, и уравнение (87,20) принимает вид 1 = — ~)~„[Ь'+ е'(Й)1 '. Рв- Ч ~ » *С ИиФ Ф При значениях (87,23) вне сферы Ферми (е(Й) ) 0) операторы А»»=а»1э, А»1=а», ч, уничтожают фермионы соответственно определяющим максимальный импульс р~ —— вйе сферы Ферми.
(е(Й) ( 0) эти операторы равны А„= — аФ» ме А„,=а», следовательно, они соответствуют рождению фермионов, или уничтожению «дырок» в состояниях ( — Й, -'1») и (ЙЧ»). таким образом, преобразование (87,24) при значениях (87,23) эквивалентно переходу к дырочному представлению, рассмотренному в 3 86. Энергия новых одночастнчных состояний при этом всегда положительна: Е(Й) = Р~е»(Й) (в соответствии с (86,20)). При достаточно больших силах притяжения, когда выполняется неравенство 418 втовичнов квантовании систвм из евгмионов (гл, х1 Если Л больше расстояния между соседними уровнями е(й), то сумму можно заменить интегралом, используя равенство Х =К(2 ) 3[ е(ЗФ Полагая р = й'йе((2лг), имеем е (й) ~ е Во(е — ео) Далее д А = 4«ойо еИ. Теперь можно написать Вычисляя интеграл и разрешая полученное уравнение 'относительно Л, находим 28~«од е п1» «ооой~ (87,25) ео 1 — е ~Го »о «о Непосредственно из (87,25) следует, что это выражение нельзя получить путем вычисления эффекта взаимодействия между фермионами методом теории возмущений.
Теория возмущений дает поправки к энергии в виде степеней малой энергии взаимодействия т, а величина Ь стремится к нулю как ехр( — Е)7т) и при значениях т ж 0 не может быть разложена в ряд. Перейдем к выяснению физического смысла величины Л. Для этого выразим энергию основного состояния Ео через Ь. Подставляя (87,18) н (87,19) в (87,14), находим е (е) [оо~е (Й) + Ло~ — е(е)~ — — Ьо~ 1 Ео= У, )ге (Й)+ьо Если Ь = О, то Ео — — 0 и функции канонического преобразования сводятся к (87,23) для тривиального решения уравнения (87,20). Если Л ~ О, то Ео( О. Таким образом, при Ь Ф 0 нетривиальные решения (87,20) энергетически выгоднее тривиальных. Возбужденные состояния системы соответствуют «рождению» квазичастиц, зависимость энергии которых от импульса ойределяется формулой (87,22). Последнюю прн р=й йо((2гп) можно записать в виде Е(й) = „8* [(й' — йоо)'+ [ — '„;")'~'*.
(87,28) 4 «и ФеРмионы, взАимодвйствуюшив ПАРными силхми 419 При больших разностях Й вЂ” йз зависимость энергии квазнчастиц от импуЛьса такова же, как для свободных частиц с массой гн. Однако при приближении 1Ц к значению йе (Ие — гра» ничный импульс сферы Ферми) энергия возбуждения стремится не к нулю, а к конечному пределу 11шЕ(й)=Ь», при 1й!-+йв. Следовательно, величина цм определяет разность энергии между основным и первым возбужденным состоянием системы фермионов. Если Ьйэ ~ О, то говорят, что в спектре элементарных возбуждений системы фермионов имеется энергетическая а(ель.
В связи с этим возникает определенная устойчивость возбужденных состояний по отношению к внешним воздействиям,, которая и обусловливает явление сверхпроводимости. Система может отдавать и получать энергию порциями, не меньшими Ь~„. При бэзил 0 функции (87,19) канонического преобразования одновременно отличны от нуля, следовательно, новые ферми- операторы Ат и А, соответствующие рождению и уничтожению квазичастиц (кванты элементарных возбуждений), относятся к состояниям, являющимся суперпозицией фермионных и дырочных состояний системы невзаимодействующих частиц. Другими словами, элементарные возбуждения, относящиеся к значению ЛАФ О, являются коллективными возбуждениями.
Тривиальному решению ЛА = 0 уравнения (87,20) соответствует другое — «нормальное» основное состояние с большей энергией, от которого непосредственно начинается непрерывный (для бесконечно большой системы) спектр возбужденных состояний. Рассмотренный выше эффект появления щели в спектре возбужденных состояний системы, согласно (87,10), связан с взаимодействием фермионов в состояниях с противоположными импульсами. Такое взаимодействие называют эф4~актом спаривания.
В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о вычислении химического потенциала системы взаимодействующих фермионов в основном состоянии. Химический потенциал основного состояния определяется из условия )У= (Фвв)а~Фа), (87,27) где )у — число частиц в системе; Фэ — функция основного со. стояния системы, соответствующего отсутствию квазичастиц в системе, т. е. Фв удовлетворяет равенствам ААоФ4 АМФв = О. Чтобы использовать (87,27) для определения химического потенциала, выразим оператор числа частиц )у"= 2~аэ4, ам че 420 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМНОНОВ [ГЛ. Х! рез новые операторы с помощью преобразования (87,11), тогда получим 12' ~т~ [2ог~+ (й» вЂ” о2»)(А»1А»2 + А»»А«В) + + 2и»и»(А»«А»2+ АмгАи)).
Подставляя это 'выражение в (87,27) и используя (87,19), находим уравнение, определяющее р, »=2'г =Л[1 — ], (87,28) где згаг »г е (й) = — '- р = — (й — йог) 2»г 2м Если 2х»= О, то (87,28) сводится к равенству (87,29) Учитывая, что ~ — ')=~, . »1»1 ) )( О, если й > йог 1«(а)11 1 2, если й(й,, л' 22 Ц ,'~й«Ай, 0 \1 1/ (а2 ф»+( «) определяющее величину й«, а следовательно, и р = л'й«о/(2п2), через плотность частиц в системе 12/'г' и значения Ь». й 88*. Взаимодействие электронов с фоноиами металла и микроскопическая теория сверхпроводимости Микроскопическая теория сверхпроводимости была создана только в последнее время работами Купера, Бардина, Шриффера [78, 79) и Боголюбова 180). Мы рассмотрим здесь только основные идеи теории, которые иллюстрируют важность взаимо- мы убедимся, что равенство (87,29) совпадает с равенством, определяющим максимальный импульс рР Вй«сферы Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
