Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Следовательно, при Ь» — — 0 химический потенциал РР 1»= = ВР 2»г совпадает с энергией Ферми. Если Ь»~ О, то, заменяя в (87,28) сумму интегралом, получим равенство ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОЕ С ФОНОНАМИ МЕТАЛЛА АЗ1 действия электронов металла с колебаниями ионов, т. е. взаимодействие системы фермиоиов с системой бозонов. Сопротивление металлов обусловлено взаимодействием электронов с фононами решетки, которое приводит к рассеянию электронов. Фрелих [8Ц еще в 1950 г.
высказал идею о том, что и сверхпроводимость металла также обусловлена взаимодействием электронов с фононами решетки. В работах [78, 79, 80[ было показано, что такое взаимодействие при некоторых условиях приводит к наличию в спектре возбужденных состояний электронов энергетической щели над основным состоянием.
В связи с этим возникает устойчивость возбужденных состояний, соответствующих прохождению тока через металл, что и приводит к сверхпроводимости. В идеальной решетке (неподвижно закрепленные ионы в узлах решетки) движение электрона в зоне проводимости определяется блоховской функцией ч = —, е' "иА (г) т,, 1 (88,1) которая представляет плоскую волну, модулированную функцией иА (г), удовлетворяющей условию периодичности ЕА(г) = = из(г+ а), где а — вектор решетки.
Явный вед этой функции нам далее не потребуется, й — волновой вектор. Электронная волновая функция всего металла, содержащего И электронов проводимости в объеме )~, является антисимметризованным произведением У функций (88,1). Основное состояние соответствует заполнению электронами нижайших блоховских состояний, т. е. заполнению ростояний, лежащих в области й-пространства внутри поверхности Ферми. Будем предполагать. что эта поверхность лежит далеко от границы зоны и изотропна, т. е.
представляет собой сферу радиуса йо. При возбуждении электроны из состояний й < йв переходят в состояния й > йь Если ЕА — энергия состояния электрона с квазиимпульсом Ей, то в представлении вторичного квантования оператор Гамильтона системы электронов (с точностью до постоянного слагаемого) имеет вид НК= Х ВАПАчцаа» А. а (88,2) где атзи а„— ферми-операторы рождения и уничтожения квази- частиц. Для определения оператора взаимодействия электронов с фоионами решетки учтем, что при смещении иона, занимающего и-е место в решетке, на величину е„энергия взаимодействия электрона с решеткой ~~ К (г — п) — изменяется на величину и 4йи ВтОРичнОе кВАнтОВАние систем из ФеРмионОВ 1гл, хт, .Е~ $„(7„)г' (г — а)), Следовательно, в представлении вторичного и квантования оператор электрон-фононного взаимодействия можно написать в виде Н, = ~ Ф (г) ~)~~$„(Р„Ю(г — и))Ф(г)дг= и ~ ф~(г) ~~ Рг (г и)(т7,в и) ф (г) г(зг (88 8~ и где Ч" — оператор, выражающийся через ферми-операторы а„ и блоховские функции (88,1) с помощью равенства Ф==~ а ем'и„(г)Хи.
(88,4г ~~ ь Оператор смещения ионов $„определен (82,16), следовательно, (7Ди) ~)~~~ 1 ~/ и~ (й едучи — йтче 'чи), (88,5~ где й, йт — бозе-операторы; а — скорость продольных звуковых волн, соответствующих волновому вектору д, так как только продольные волны дают вклад в (88,5) и для них м(д) = зф Подставляя (88,4) и (88,5) в (88,3) и учитывая, что сумма ~~'.~, ехр Ща) равна Н, если 9 = О, и равна нулю, если 9 Ф О„ и получаем окончательное выражение операторов электрон-фононного взаимодействия в представлении чисел заполнения Н =~ Н, Н =И(д)й йт+э.с., (88,6й еи где (88,7х — сокращенное обозначение сумм произведений ферми-опера- торов; В(д) =)/ Зм~, ~ йа Юи„г(зг — малая величина, определяющая электрон-фононное взаимаи действие. Интегрирование ведется по одной элементарной ячейке.
Буквами «э. С.» в (88,6) и в последующих выражениях указываются члены, эрмитово сопряженные ко всем предыдущим. Оператор взаимодействия (88,6) не зависит от спниового состояния электронов„поэтому в дальнейшем мы не будем явно учитывать спиновый индекс О во всех выражениях. ВЗАИМОДЕНСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМН МЕТАЛЛА 423 $88] Оператор (88,6) получен в предположении, что ионы в решетке движутся как единое целое, что 0(д) зависит только от д и не зависит от й и что колебания ионов в решетке делятся на продольные и поперечные для всех значений 4(, поэтому взаимодействие (88,6) осуществляется только с продольными фоно- нами. Без этих упрощений вычнслення сильно усложняются.
Такое усложнение оправдывается только при необходимости получить количественные результаты. Вследствие взаимодействия электронов с фононамн меняются энергетические состояния электронов и фононов. Нас будет интересовать только поведение электронов. Изменение спектра фоноиов под влиянием электронов будет учитываться только косвенно путем использования экспериментального значения для скорости звука з.
Итак, система электронов, взаимодействующих с фононами, будет описываться оператором Гамильтона Н'= Н, + Н,, Н =,'~~ е икао + ~~'.~ лоз а'а (88,8) Но, — определяется формулой (88,6). Для оценки роли электрон-фононного взаимодействия проведем предложенное Фрелихом 1821 преобразование оператора (88,8), чтобы исключить возможно большую часть оператора взаимодействия. Преобразованный гамильтониан имеет вид Н=е-'ЭН'е'Э=Н'+8'(Н', 51 — — 'цН', 3), Я+ ... (8,9) Оператор преобразования, содержащий малое взаимодействие, выбирается в виде = ~ Ъ ч= Уч"ч+ УТАИТ (88,10) где Уч= с'"Ф(й.
Юпопо ч. 8 (88, 11) + 8' )~~~ ~( (Но 541+ Нч) Ц+ ° ° ° (88 12) Оператор (88,12) легко вычисляется, если учесть, что ферми- Операторы ао, ао" коммутируют с бозе-операторамн ач и что Функции Ф(й, д) связаны с взаимодействием. Их явный вид будет определен ниже. Подетавляя (888) и (88,!О) в (889), находим, учитывая (88,6) и собирая члены одинакового порядка малости, Н = Но + ~ (1 (Но Бч) + Нч) + 424 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. Х! (88,13) = — — )' [В(д) [д от~о„~, у ат) — й'(и) [д ат а, у а )+ э.
с,[. 1 д. В Усредняя полученное выражение по вакуумному состоянию фо. ионов, находим, используя значения (88,14) и (88,15), кч Проведенные преобразования имеют смысл только при уело. вии, что функции (88,15) являются малыми, так как в противном случае ряд (88,9) не будет сходиться. Таким образом, наше преобразование можно применить только для' части Нмв не содержащей значений д, при которых знаменатель (88,15) бли ив свойств ферми-операторов следует равенство [отав ото„~= Ьь,ата„- Ь„„а~ ив Используя (88,11) и (88,13), вычислим предварительно комму- таторы [от~и„, у [=Ф(йф ита„т — Ф(й+ д, д) от+ аэ; [б~~й,, оч)= — а .
Используя найденные соотношения, вычислим в (88,12) члены, линейные относительно энергии взаимодействия: 1(НМ 3т]+ Нт= =1~ ~(в„— е„~+да )Ф(йд)+В(4)~д о"а„~+э. а. (88,14) Выберем функции Ф(Й, д) так, чтобы все выражения (88,14) об- ращались в нуль, т. е. положим и (4) (88, 15) При значении (88,15) находим — [Нм Я+ Н = — ~ В (и) д ата„ч+ э. о.
Следовательно, % 88] ВЗАНМОДЕПСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ 0 ФОНОНАМН МЕТАЛЛА 4»5 где ( ) ~ч~,~~ >9, =2й Переходя в операторе (88,18) к новым ферми-операторам с помощью канонического преобразования Боголюбова т ао= и»А»о+ ОАААН 1 а »= и»АМ вЂ” ВАА»о, ! т где и«о+ОТ»=1, сведем задачу к уже рассмотренной в 5 87. Как было показано в й 87, при достаточно большой величине ч(д) в спектре возбужденных состояний электронов появляется энергетическая щель й.
Возбужденные токовые состояния становятся устойчивыми и соответствуют сверхпроводящему состоянию. Для их уничтожения надо затратить энергию, которая выделяется при переходе электронов в сильно коррелированные состояния движения, приводящие к их «спариванию». При малом электрическом токе любой процесс одночастичного рассеяния электронов (разрыв пары) связан с увеличением (а не уменьшением) энергии системы электронов, несмотря на то, что энергия токового состояния больше энергии основного состояния.
Процесс рассеяния будет запрещен до тех пор, пока добавочная энергия электронов, связанная с появлением тока, будет (88,19) зок к нулю. Если обозначить часть Н, соответствующую таким значениям и, через Но», то оператор Гамильтона электронов металла (с точностью до квадрата параметра взаимодействия) в вакуумном состоянии относительно фононов (низкие температуры) принимает вид Н ~е ага ~ о А- о-ч о + Н(~~ (88 17) ;,М) ~В(Ч)ра а ат а йа о о о (о,— е, )о — (йа )2 о ч Второе слагаемое в (88,17) можно интерпретировать как энергию взаимодействия между электронами, обусловленную виртуальным обменом фонанами. При этом каждое слагаемое в сумме соответствует взаимодействию между электронами, имеющими квазиимпульсы йй и йй'= й(й — д).
Это взаимодействие соответствует притяжению, если ео-о — ео( йсоо. Поскольку ее= е о, то для электронов, имеющих противоположно направленные импульсы, т. е. при й'= й — д = — й, знаменатель в слагаемых суммы (88,17) принимает значение, равное йго . Если в операторе (88,17) выделить члены с й — и = — й, то получим оператор Н= Хе ата — Хт(у)а~~а а' а, (88,18) 42В ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ ИГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
