Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 70
Текст из файла (страница 70)
404 ВтОРнчное кВАнтОВАние систем из ФеРмиОБОВ 1гл, х! Б представлении чисел заполнения состояние системы определяется указанием числа чайтиц в каждом одночастичном состоянии. Пусть оператор числа частиц в состоянии з имеет вид й, = а,'~ае (86, 1) Чтобы оператор (86,!) описывал, состояния системы фермионов, он должен в согласии с принципом Паули иметь только два собственных значения 0 и 1.
Следовательно, в представлении чисел заполнения эрмитовый оператор й, изображается диагональной матрицей (86,2) Напомним,.что оператор числа частиц в системе бозонов изобра- жался диагональной бесконечной матрицей (32,12). Две соб- ственные функции оператора (86,2), относящиеся соответственно к собственным значениям 0 и 1, имеют вид !0)= и (1)= (86,3) Предположим,' что оператор а. является оператором уменьшения числа частиц в состоянии з на единицу; тогда по определению а,~О) = 0 и а,~1) =! 0). (86,4) Следовательно, в представлении, в котором оператор й.
диагонален, оператор а, изображается неэрмитовой матрицей а, = ° (86,5) Оператор (86,6) (86,7) эрмитово сопряженный оператору а., обладает тем свойством, что а,'~ О) = ~ 1) . и а~ ~ 1) = О, из чего следует, что оператор а~ увеличивает на единицу число частиц в состоянии з, если в этом состоянии нет частиц, и обра- щает в нуль функцию, соответствующую состоянию з с одной частицей. Из определений (86,5) и' (86,6) следуют перестановоч- ные соотношения для введенных Операторов, которые мы будем называть ферми-операторами, (а,, а,~=(а,'", а )=О, (а,, аД=1, $ М1 ПРЕДСтАвленИЕ чисЕЛ зАпОЛнЕНИя Для сметем ФЕРМИОНОЕ зсв где фигурные скобки используются для обозначения антиком- мутатора двух операторов, т.
е. (а, р)— = ар+Оп. Порядок расположения операторов в антикоммутаторе безразличен, (а, 6) = (6, а), поэтому действие операторов а, и а~ может быть обращено. Если ввссти ! 0)=( / и ! 1)=~ =~1/ -~01' то а, будет оператором рождения, ав — оператором. уничтожения. Мы будем придерживаться определений (86,3) — (86,6). Операторы а, и а~ определяются матрицами (86,5) и (86,6) не полностью. Необходимо еще указать связь этих операторов с операторами а,, и а~, для других состояний. Будем считать, по аналогии со случаем частиц Бозе, что соотношения типа '(а„ав) = 0 выполняются для всех операторов, кроме операторов а, н аь (для каждого состояния з), для которых (а,, аД=1.
Другими словами, потребуем, чтобы операторы а,, а„, ... удовлетворяли соотношениям (а,, а,)=(а+, а,Я='О, (а,, а1')=б„. (86,8) Как мы увидим ниже (впервые это показано Иорданом и Вигнером (77)), такие перестановочные соотношения приводят к правильному описанию системы фермионов.
Если перенумеровать одночастичные состояния в каком-либо порядке и обозначить через п, — число частиц в состоянии з, равное О, или 1, то операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (86,8), можно записать в виде следующих матриц (в представлении, где оператор и;,днагонален): 1)' 0 О ' "=( ') 1 ' (860) я-1 где ч,= ~2~ п1 — число занятых состояний, предшествующих со- 1 1 стоянию ж Следовательно, знаковый множитель ( — 1)' равен 1 или — 1, в зависимости от того, четно или нечетно число занятых состояний, предшествующих з. Действце операторов а, и а~ на волновые функции (... и, ...), зависящие ОФ числа частиц в каждом одночастичном состоянии, характеризуется равенствами а,~...
и,...) = (-1)" п,(... 1 — п,...), (86,10) пв ~... и ...) = ( — 1)"~ (1 — и ) ~... 1 — п ...) 406 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ (ГЛ Х! Исполыуя (86,10), можно показать, что перестановочные соотношения (86,8) выполняются. Действительно, учитывая, что п и, и ! 1 — п г = в =(1 — пз), имеем а,а, )... п ...) = (1 — п ) )... п ...), а а )...
п ...) = п )... п ...), аа,)...я,...)=п (1 — п)~...п ...) О, а~а~)...п ...) О. Используя полученные равенства, легко убедиться в справедливости (868) при з = 1, рассмотрим теперь скучай з > 1, Тогда ага~~... п ... п ...) =( — 1) ~па!1... п! ... 1 — п ...)= тз+ т ( !)з аа !...п!...п ...)=( — 1) гпа(...! — п ...п ...)= т+т — ! ( !)в ! пп! 1 п Следовательно, ага,) ... п!... пз...) = — азаг! ...
и!... пз...). Таким же образом можно доказать остальные перестановочные соотношения (86,8). Из равенств (86,10) следует, что результат действия ферми- операторов а, и а~ на волновые функции от чисел заполнения зависит не только от числа и, частиц в состоянии .з, но и от чисел заполнения всех предшествующих состояний. Поэтому операторы а! и а, нельзя считать полностью независимыми. Если (Н(6) — вз)!рз=Π— уравнение, определяющее одночастичные состояния, то полный оператор Гамильтона системы невзаимодействующих фермионов можно записать в виде (86,11) Здесь н в дальнейшем интегрирование по $ включает суммирование по спиновым переменным.
Операторы поля в представлении чисел заполнения выражаются через операторы аз равенством тР(Е, ()= ~ 'а,!Р,(6)е ~з~, ее=ай. (86,12) в Используя (86,8), ортонормируемость и полноту системы функций !р„можно показать, что операторы поля в фиксированный момент времени 1, которое явно не указывается, удовлетворяют перестановочным соотношениям Ф В'), Ч" В))=ХЧ!,6) Чр;ВЦх„а~+~-6 й' — 9, (Грф'), Чг(9)=(ту~(д, !рт(ф)]=О.
Здесь и в дальнейшем 6(е' — е) = йоо 6(«' — «), где 6 — спиновая переменная. Подставляя (86,12) в (86,11), можно найти $ Зб~ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 4ОТ оператор Гамильтона системы фермионов в представлении чисел заполнения Н=Хв,а~;а = ~~'.~а Ю, Энергии В. и волновые функции ф, могут относиться к одноэлектронным состояниям в атомах, молекулах н твердых телах, когда пе учитывается взаимодействие между электронами, или когда взаимодействие учитывается приближенно путем введения дополнительного эффективного поля. Операторы суммарного числа частиц в системе и плотности рЦ) числа частиц в точке $ определяются интегралами У= ~ Ч" ФЧ'6)(В, Рй)= ~Ч'"Фбй — ИЧ'В')(В'.
Подставляя в эти выражения (86,12), находим их вид в предстявлении чисел заполнения Й = ~ а~та, р (в) = ~2~ а'~ав,лр' (в) ~р ($). Оператор У коммутирует с оператором Гамильтона Н, поэтому число частиц в системе является интегралом движения. В системе с 1У стабильными фермионами (электронами, протонами н т. д.) их общее число имеет определенное значение (мы не рассматриваем взаимодействие данной системы с частицами большой энергии). Следовательно, волновые функции, описывающие состояния такой системы, должны быть собственными функциями оператора суммарного числа частиц, соответствующими собственному значению 1т', т. е.
должно выполняться ра- венство 1У=) Ч" (ИЧ'6) Ф (86,13) для всех состояний рассматриваемой системы, Операторы любых других физических величин системы фер- мнонов получаются нз операторов координатного представления по следующим правилам: если оператор Р в координатном пред- ставлении изображается суммой операторов Р(в), действующих на координаты каждого электрона в отдельности, то этот опе- ратор в представлении вторичного квантования имеет вид Р=~Ч" (5)РВ)Ч"($) Ъ.
Подставляя далее в это выражение значение Ч" (Е) из (86,12), находим оператор Р в представлении чисел заполнения Р = ~2~ аеа, (з ~ Р~ 1), (86,14) Ф1 408 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. Х$ где (э(гЯ-= ~Ч,'®Р$)~р~®б$ — матричные элементы оператора координатного представления; 4х(5) — собственные функции оператора Н(е).
Если оператор 8 в координатном представлении выражается суммой операторов, действующих.на координаты р-фермионов, то этот оператор в представлении чисел заполнения имеет вид '8= — ~~абат ... ае а, ... а,(э,з ... э ~8~з' ... з',), Ь' б б1 где (ВРВ '' ар~~!зр''' э~~ = ) Ч.",($ ) " Р,*,(В,) а (Е " ° 5,)Р; (5,) " Ч, ($,) ТФ, " г(й,. Итак, в системе фермионов операторы физических величин выражаются через фермин-операторы увеличения а, и уменьшения аб числа частиц в одночастичных состояниях э такими же формулами, как в системах бозонов операторы физических величин выражались через бозе-операторы б+ и б (см.
(86,14), (86,15)). Если система состоит из фермионов разного сорта, то каждому типу' фермионов сопоставляется свой оператор Ч' и свои операторы рождения и уничтожения, которые действуют на числа заполнения фермионов данного сорта. Операторы Чб, относящиеся к разным сортам фермионов, антикоммутируют между собой. Если в системе имеются фермионы и бозоны, то операторы фермионов коммутируют с операторами бозонов.
Основное состояние системы бт' невзаимодействующих одинаковых фермионов соответствует состоянию, при котором В( состояний зь зм ..., эн наименьшей энергии заполнены электронами, а остальные состоянйя свободны. Наибольшая энергия Вр уровней, занятых в основном состоянии, называется энергией Ферми. Основное состояние системы будет соответствовать состоянию, прн котором все уровни э с энергией В, ~ Вр заполнены фермионами, а уровни с энергией Вб ) Вр свободны. Волновая функция основного состояния с точностью до знакового множителя определяется выражением Ф~= П а~!6), (86,16) б((ю $8«( НРедстАвление чисел зАпОлнения для систем ФеРмионов 4оэ где в произведении участвуют все состояния з с энергией е, -.Ее, (О) — волновая функция состояния, в котором нег частиц ни на одном уровне.
Очевидно, что функция (86,15) удовлетворяет условию (Фз ~ ~( а('а, ~ Ф„) = (((', (86,16) где й( — общее число фермионоз. Сумма ~~'., здесь и в даль. »(<е) нейшем обозначает суммирование по всем состояниям с энергией а,~ зе. Полная энергия системы фермионов в основном состоянии (нулевая энергия) определяется равенством (86,17) ~Р а „~,= а~,, если е,(е„. (86 рд) Состояние слабо возбужденных систем, состоящих из большого числа фермионов, мало отличается от состояния ФФ Изменение начального состояния сводится к освобождению некоторых уровней с энергией з. ( Зе и заполнению соответствующего числа уровней с энергией з.) зе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
