Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 65
Текст из файла (страница 65)
! дА (80,2) дЕ ! Учитывая, что — = — — го1 го1 А и решая уравнение ЛадА 4П о гранжа ',( о;„) —,"=О, получаем из (80,1) первое уравнение Максвелла ! дн — — = го1 В. с д! (80,3) Три других уравнения — — = — го1Е, йтВ=ЖЕЕ=О ! дВ с д! следуют автоматически из (80,2). Из (80,2) и (80,3) получим также уравнение движения для векторного потенциала — — сот'А = О.
дм (80,4) Согласно (80,1), обобщенный импульс Р, сопряженный векторному потенциалу, определяется выражением дЕ ! дА Р= (дА) 4псо д! ' Следовательно, функция Гамильтона, выраженная через век- торный потенциал и обобщенный импульс, принимает вид Е'= ~ ~ 2пс'В'+ — (го1 А)'~ЫЗГ (80,8) Предположим, что электромагнитное поле заключено в большой объем У, имеющий форму куба с. ребром УА, и удовлетворяет циклическим граничным условиям с периодом Уто. Тогда можно З74 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ (гл.
х провести фурье-преобразования А(4', 4) ==~~~~ Еа, Я) Ача(4) егчг. Аоа= А* о а. (80,7) 1' Р(г~ 4) = у — ~и~~~~ еа ((в)) Рва (4) е ~ ~ Ров= Р Ь а, (80,8) 4 УГ где компоненты волнового вектора 41 пробегают бесконечный ряд дискретных значений Ч44=2п(' чи4 1=1. 2 3» Т4=0, .+1, ч-2, ...; В„Щ) — единичные вещественные векторы поляризации, удовлетворяющие условиям а) Цаа®)=0, е,(Ц)е Щ)=б,а, о, р=-1, 2, 3.
(80,9) Векторный потенциал (80,7) удовлетворяет уравнению (80,4), если Ае„(4) изменяется со временем по гармоническому закону Аоа(4)=Ара(0)е '"о', юо=с'Д'. (80,10) Переход от классического к квантовому описанию состоит в замене Аею Ро, операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям (А4ю (4), Рсха (4)] = 4га1босгбаа . (80,11) В представлении чисел заполнения эти операторы выражаются через бозе-операторы рождения ат, и уничтожения а элементарных возбуждений поля — фотонов с волновым вектором 44 и поляризацией е„ Ао (4)=( — '). (о„а(4)+ и', а(4)).
(80,12) Роа (4) = 4 ~ / (ао (4) о (4)) прн этом (аоа(4), ада (4)) =Ьддбааа (аоа(4), ао а'(4)) =0 (80,13) Проведя соответствующие преобразования в (80,7) и (80,8), получим операторы векторного потенциала и сопряженного а) Вещественные векторы еа(42) определены условиями (ВОЯ) неодно. вначно. Можно ввести другую пару единичных векторов, повернутую по отношению к первой в плоское~и, перпендикулярной 42 Вместо вещественных векторов, определяющих линейную полярнвацию фотонов, можно ввести комплексные векторы ее (0) = — 2 М (ег(47)+ гев(42)1, е (О)=2 А [ег(4)) — (еа(4))1, характеривующие левую н правую нруговые поляризации. э вя квантование элакп омлгнитного поля ввз злгядов Зтз к нему обобщенного импульса, выраженные через операторы рождения и уничтожения фотонов: 4(' ) =,,')", (',l„' )'е"вам)(аее(!)+ а', а(!))» о.
а (80,14) Р(г, К)=ю'~~ —,~,) е 'о'е„(9)(а~,(Ю) — а, (Ф)). ч, »» Переходя в (80,6) к операторам (80,7) (80,8), (80,12), интегрируя по объему Ф' и учитывая равенства )' е "ч-о" '<Рг = ~lбчгг, % Х е„ф)1% Х е„®)) = 4?тб„, Н = ~ й~ (ае~,а~, + — ) . (80,15) Из (80,!5) следует, что операторы ао» в гайзенберговском представлении зависят от времени И .= (ао„Н) = Авчао„, ~ее»» или аоа (!) = аоа (О) е Переходя а (80,2) к операторам (80,14), получим операторы на- пряженностей электрического н магнитных полей ! 2лаеч уп / е„(4е) е'е'(ач, — атв ), В=с'~~~ ~ ~ ~4РХе~)е'о'(ао,„— ато,„), о а !ь»ч Вычислим оператор полного импульса поля. Согласно классической электродннамике, плотность импульса равна вектору Пойнтинга, деленному на с~. В связи с этим полный импульс в единице объема равен 4У'=(4псЧ~) ' ) (ВХВ)Изг Переходя к операторам (80,16), получаем 4т"" = ~ ЙД(ат~,ао, + — ).
найдем гамильтониан электромагнитного поля в представлении вторичного квантования ЗТВ ВТОРИЧНОЙ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОВ !Гл. х (80,17) Поскольку при суммировании по всем значениям Д каждому вектору Д соответствует'и вектор — О, то В)а = ~~'., ЬЯатч„а Е.а Операторы энергии (80,15) и импульса (80,17) диагональны в представлении квантовых чисел заполнения, так как они со- держат только операторы квантовых чисел атч а,.
Следова- тельно, в состоЯниЯх с опРеДеленным числом частиЦ !ива) энеР- гия и импульс поля определяются выражениями Е=. ~~ймч(Ива+ 2) 4) =~даава В.а ч,а Таким образом, квантование электромагнитного поля соот- ветствует введению элементарных возбуждений фотонов, имею- щих энергию йвч, импульс Щ и поляризацию еаЩ). Энергия вакуумного состояния (состояние без фотонов) Еа= — у Ьыч= ! чгт 2 21 В = Ос, так как число возможных состояний бесконечно велико.
В физических явлениях проявляются только разности энергий, поэтому энергию поля можно отсчитывать от ее вакуумного значения. Переход от классических величин А; Е, В, описывающих электромагнитное поле, к операторам называется квантованием ноля. Обычно такое квантование называется вторичным кванто- ванием. Это название используется очень часто, хотя оно не оправдано. Переход от классических величин к квантовым опе- раторам происходит только один раз.
Координаты, от которых зависят А, Е, В, играют роль параметров, а не координат ча- стиц. Фотоны, соответствующие определенному квантовому со- стоянию, совершенно тождественны. Волновая функция, изо- бражающая состояние с и фотонами одного типа, имеет вид ! и) =(и!) А(а+)" ) 0); Эта функция симметрична относительно перестановки фотонов, следовательно, фотоны являются частицами Бозе. Фотоны все. гда движутся со скоростью света, поэтому их масса покоя равна нулю.
С помощью (80,13) и (80,14) можно вычислить переста- новочные соотношения для компонент операторов векторного потенциала, относящихся к разным точкам пространства в один момент времени. Таким образом, получаем (А,(», 1), АА(»', 1))=0, .1, й=х, у, е, ~А~(», 1), ~ ' ~= 14пйсзбдб(» — » ). З ВЦ ФОТОНЫ 6 ОПРВДВЛВННЫМ МОМВНТОМ Н ЧВТНОСТЬЮ зтт Легко вычислить и перестановочные соотношения для компонент напряженностей полей: (Ея(г, Ф), Ет(г', Е)]=(Вр(г, К), В~(г', Я=О. Коммутируют также параллельные составляющие Й и В, например, (Е„.
(г, 1), В„(г', Ц = О. Однако перпендикулярные составляющие операторов Е и В не коммугируют, например, (Е:с (г~ ()у Ва (г', 1)] = (4псв ~, 6 (г — г ). Перестансвочные соотношения для других компонент получаются при циклической перестановке х, р, з. Из перестановочных соотношений следует, что перпендикулярные составляющие Е и В не могут одновременно иметь определенное значение в одной точке пространства. й 81.
Фотоны с определенным моментом и четностью В предыдущем параграфе было показано, что элементарные возбуждения электромагнитного поля — фотоны — могут характеризоваться энергией Вы, импульсом йя и состоянием поляризации, т. е. двумя векторами еь ем перпендикулярными друг другу и вектору Я. Такие состояния фотонов не являются единственно возможными.
Возможны также состояния, в которых фотоны имеют определенное значение энергии, углового момента и четности. Напомним, что и свободное движение бесспиновой частицы в некоторых состояниях характеризуется определенным значением момента и четности (см. $ 35). Фотоны с определенным моментом и четностью испускаются и поглощаются системами (атомами, молекулами, атомными ядрами и др.), состояния которых также характеризуются-определенными моментами и четностью. Фотоны являются квантами электромагнитного поля.
Чтобы исследовать фотоны с определенными угловыми моментами и четностью, надо представить потенциалы электромагнитного поля в виде суперпозиции состояний, соответствующих определенным моментам и четности. Затем методом вторичного квантования перейти к операторам чисел заполнения. Определим вначале полную систему функций, соответствующих определенному значению углового момента и четности фотона. Угловой момент любой частицы складывается из ее орбитального и спинового моментов.
Поскольку масса покоя фотона равна нулю, то обычное определение спина как момента зтв ВТОРичное кВАнтОВАниЙ систем из БозонОВ ~гл. х 3„= — ' 1 О 1 . З„= — ' г О -1 О О (81,8) Я,= О О О Они удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для компонент оператора момента. Собственные функции р„ операторов 1 О О Я, и У=У„+Ляд+3~=2 О 1 О О О 1 удовлетворяют уравнениям ЗВХш-2Хш, 5,Ь„= райш, р= 1, О, — 1. Если вместо трех взаимно ортогональных единичных векторов е„, е„, е„направленных вдоль осей декартовой системы координат, ввести три вектора 1 В, = — = (е„+ ге„); Еэ = Е„ 1'2 е, = = (е„— (е„), (81,4) ! 2 покоящейся частицы к фотону неприменимо.
Тем не менее весьма удобно ввести понятие спинового момента фотона как наименьшего из возможных значений его момента количества движения. Как показывает опыт, наименьшее изменение момента системы, испускающей или поглощающей один фотон, равно 1 (в единицах в, которыми мы будем пользоваться далее в этом параграфе). Поэтому можно считать, что спин фотона равен 1. Если обозначить оператор спина фотона через 8, а оператор орбитального момента Х, то оператор полного момента У=А+8. (81,1) Собственные функции Угь операторов Р и У, называются векторными сферическими функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
