Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(76,6) Исключая п(г) из уравнений (76,3) и (76,6) и учитывая, что для сферического поля тб = †, †„ ~г †„ !, получаем уравнение То. маса — Ферми 4е 12не(ф — А)1 7* Рассмотрим случай нейтрального атома (!о' = Е), тогда функция Ф должна удовлетворять уравнению (76,9) и граничным условиям Ф(0) = 1, Ф (хо) = Ф'(хо) = О, (76,11а) где штрихом указана производная по х. Из (76,1! а) и уравнения (76,9) следует, что все производные функции Ф по х в точке х хо обращаются в нуль.
Поэтому Ф(х) тождественно равна нулю для всех конечных значений хо. Следовательно, радиус нейтрального атома, согласно уравнению Томаса — Ферми, бесконечно велик, т. е. хо — — ао. Решение уравнения (76,9) с граничными условиями (76,11а) при хо — — ао были найдены Ферми [61[ и другими авторами численным путем.
Наиболее точные решения найдены Бушем и Колдуэллом [64[. В случае малых значений х функция Ф(х) может быть представлена рядом Ф(х) 1 — 1,588х+ — хо~+ ... 3 Как показал Зоммерфельд [65[, при больших значениях х (х ~ 10) функция Ф выражается формулой цо ъь =1+(й) 1 Из (76,4) следует, что для нейтрального атома А = О, поэтому из (76,8) имеем Подставляя это значение в (76,3), находим распределение плотности электронов в атоме п(г)= ВЯо ~ — Ф(х)~ (76,12) где. гЯ Ь гх Ь I 2ве' ! ь — ! — — В = [ — ) (Зяойз) ь о,ззьа ' 1 ь ) Из (76,12) следует, что распределение плотности электрического заряда в различных тяжелых атомах подобно. Роль характеристического параметра длины играет величина ЬЯ ь = 0,885аЕ Плотность электронов резко уменыпается при х )1, поэтому значение х = 1 можно считать характеристическим радиусом атома.
В обычных единицах )г = 0,885аŠ— 'ь. На рис. 11 указано распределение радиальной электронной плотности 0(г) = 4пп(г)го для атома ртути, вычисленное на основании теории звз квлнтовхя твогия систвм одиизковых чзстиц [гл. !х 1 з57 стАтистнчесйий метОд томАОА — ФеРми $ та1 Томаса — Ферми (сплошная кривая) . Дл я сравнения на том же рисунке изображено штриховой кривой распределение электронов, вычисленное по методу Хартри (66). (На рисунке расстояние г выражено в атомных единицах длины а = й9рез.) Статистический метод, естественно, не учитывает индивиду- альных свойств отдельных атомов и не передает строения элек'тронных оболочек и распределения плотности сравнительно акр) лвй 02 а4 б,е П,й Г Рве.
и. Раднвлввое раопределенне овз ~в атомнмт едввнцав длннвф плотвоетн електронов в атоме ртутм. слабо связанных валентных электронов. Чтобы устранить существенный недостаток теории Томаса — Ферми, приводящий к медленному спаданию плотности электронов на больших расстояниях, рядом авторов вводились различные поправки: исключение электростатической собственной энергии электронов (Ферми и Амальди [67))', учет обменной энергии (Дирак (Щ, Иенсен (69) и др.). Введение этих поправок значительно улучшило согласие теории с экспериментом. Для ионов решение уравнения Томаса — Ферми (76,9) зави- г — и сит от величины —, входящеи в третье граничное условие 888 квантовая твогия систем одинхковых частиц (гл.
~х (76,11). Притом для положительных ионов теория приводит к конечным радиусам иона даже без введения поправок. В последнее время метод Томаса — Ферми был с успехом применен к вычислению возбужденных состояний атомов щелочных металлов (см. [70[). $77. Периодичеекая система Менделеева В двух предыдущих параграфах были рассмотрены приближенные методы вычисления волновых функций и энергетических состояний атомов периодической системы элементов Менделеева. Основным результатом этих методов расчета было доказательство того, что в атомах можно приближенно говорить о движении отдельных электронов, на которые действует поле ядра и самосогласованное поле остальных электронов.
Этот результат позволяет исследовать качественные закономерности строения атомов на основе простых и элементарных рассуждений. В частноети, удается объяснить природу периодичности изменения свойств, обнаруживаемую в ряду элементов, расположенных в порядке увеличения атомного номера. Суммарное электрическое поле, действующее на электрон в атоме, отличается от кулоновского поля ядра, однако в некотором приближении его можно считать сферически симметричным. Состояние электрона в таком поле будет характеризоваться четырьмя квантовыми числами и, 1, гп, п4.
Сохраняя терминологию, введенную для атома водорода, будем называть эти квантовые числа соответственно: главным квантовым числом,' орбитальным квантовым числом, магнитным квантовым числом и спнновым квантовым числом. Три последние квантовые числа опредрляют: орбитальный момент количества движения, его проекцию на ось г н проекцию спина электрона на ось з. Главное квантовое число и в кулоновском поле однозначно определяет энергию состояния. В сложных атомах, без учета спин-орбитального взаимодействия, энергия-электрона зависит от двух квантовых чисел л и 1; эти числа используются для обозначения соответствующих энергетических состояний п1. Обычно вместо численных значений 1=0, 1, 2, ... пишутся соответственно малые латинские буквы з, р, И, 1', й; ...
Наблюдаемая обычно последовательность энергетических состояний электронов в атомах в порядке возрастания энергии указана в табл. 12. В каждой строчке таблицы приведены состояния. мало отличающиеся по энергии. Разности энергий состояний. соответствующих разным строчкам таблицы, сравнительно велики. Совокупность состояний, входящих в каждую строчку таблицы.
образует «электронную оболочку». Как видно из таблицы, Энергии состояний в сложных атомах отличаются от энер- периодическАЕ системй мяндвлеевА гни состояний атома водорода. Например, в атоме водорода состояния Зз, Зр, Ы имеют одинаковую энергию, а в сложных атомах энергии этих состояний различны. Наименьшее значение энергии имеет состояние Зз, наибольшее значение энергии — состояние 341. Эта разница в энергии может быть понята на основе простых качественных рассуждений, если учесть самосогласованное поле, действующее на данный электрон со стороны других электронов. Для учета этого эффекта можно в первом приближении использо- Таблица 12 Электронные оболочки в атомах вать волновые функции водородоподобных атомов. Как показано в $ 38, в состояниях с орбитальным моментом, соответствующим квантовому числу 1, радиальная часть волновой функции из-за наличия эффективного потенциала от- Ж(1+ 1) убы- Полное число состояний н оболочне Элентроииые состоннин Номер оболочни 2 8 8 18 18 32 1и 2н, 2р з,зр 4, Зб,бр бн, 4с1, бр 64, 41, Ы, бр 7н, 6с1, 51, .
талкивания вает, как г' при г- О. Следовательно, электроны в з-состояниях могут подходить ближе к ядру, чем электроны 41- или 1-состояний, поэтому электроны з-состояний испытывают полное притяжение ядра в большей степени, чем электроны б(- и 1-состояний. В связи с этим энергия состояния 4з оказывается меньшей, чем у состояния 341. Особенно существенно экранировка сказывается в 1-состояниях, например уровень 41 оказывается выше уровня 6з. В основном состоянии атомов электроны заполняют, в согласии с принципом Паули, нижние энергетические состояния.
В каждом з-состоянии может быть не более двух электронов, в р-состоянии — не более 6, в 41-состоянии — не более 1О, в 1-состоянии не более !4. В атоме гелия (Ней) два электрона заполняют первую оболочку (1з)й. В атоме неона (Не~о) полностью заполнены,две оболочки — конфигурация (1з)й(2з)й(2р)б. Три оболочки заполнены у атома аргона (Аг1а).
Четыре †атома криптона (Кгйб); пять — у ксенона (Хенн) и шесть оболочек заполнено у атома радона (Йпнб). У перечисленных атомов с заполненными оболочками суммарный орбитальный момент и суммарный спин равны нулю. Эти атомы очень устойчивы, с большим трудом вступают в химические соединения с другими атомами и слабо взаимодействуют между собой (инертные газы).
Начало каждой новой оболочки заполняется электроном в з-состоянии. Все атомы с одним электроном сверх заполненных Збб квантовая теория снсшм одинаковых частиц 1гл. гл оболочек имеют близкие химические свойства и относятся к щелонным металлам: 1.1в, Иап, К1в, Йваь Сзэь Егвь В табл. 13 указаны электронные конфигурации атомов первых 18 элементов периодической системы Менделеева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
