Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В общем случае можно сказать, что система частиц удовлетворяет принципу Паули, если она описывается только анти- симметричными волновыми функциями относительно переста) новки пар частиц. Следует, далее, отметить, что хотя функция (72,4) характеризует состояния системы, в которых отдельные частицы находятся в одиочастичных состояниях аь пь ..., ак, нельзя указать, какая именно частица находится в каждом из этих состояний. В нерелятивистском приближении (и в отсутствие внешнего магнитного поля) оператор Гамильтона системы одинаковых часпщ 2шЬ~~+ ( о м ' Ф) г — 1 ие содержит операторов спина частиц. Поэтому волновая функция системы может быть записана в виде произведения функции Ф, зависящей только от пространственных координат (координатная функция), на функцию у, зависящую только от спиповых переменных (ааиновая г)фикция): 1((1з1 %Фи ° ° )=Ф(ко кэ ° ..)Х(зо зь ., )> (72,5) нди в виде линейной комбинации таких произведений.
Волновая функция (72,5) в виде произведения координатной и спинозой .функций часто используется как первое приближение и при исследовании систем с операторами Гамильтона, содержащими спин-орбитальное взаимодействие. РассмотреннГзе'выше требования симметрии волновых функций по отношению к перестановкам частиц относились к полной З ТЯ СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ функции, так как перестановке частиц соответствует перестановка как пространственных, так и спиновых переменных.
Если функция ф представляется в виде произведения спинозой и координатной функций (или линейных комбинаций таких произведений), то требуемая симметрия функции (72,5) может быть обеспечена несколькими парами функций Ф и 7, обладающих симметрией некоторых типов относительно перестановки соответствующих координат. Для выяснения таких возможностей удобно воспользоваться схемами Юнга. . Каждая схема Юнга относится к определенному типу симметрии относительно перестановки независимых переменных, соответствующей перестановке частиц.
Схемы Юнга для координатной волновой функции Ф от !Ч переменных хь хь ..., хн определяются разбиением числа Ж всеми возможными способами на сумму слагаемых №+№+ ... = № Такое разбиение наглядно изображается расположением Ж клеток строками, в каждой из которых содержатся в порядке убывания числа 7У'ь !Ум ... Нацример, число й1=4 можно представить пятью способами 4=3+! 2+2=2+1+1 1+!+1+1. следовательно, при 7у' = 4 имеется 5 схем Юнга (72,6) Для краткого обозначения схем Юнга иногда используются квадратные скобки, внутри которых указываются числа клеток в' каждой строке схемы Юнга, Так, приведенные выше схемы Юнга для !у' = 4 изображаются соответственно (4), (3, !), [2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, !].
Волновые функции, относящиеся к определенной схеме Юнга, получаются путем симметризации по переменным, входящим в состав каждой строки, и антиеимметризации по переменным, входящим в состав каждого столбца, начиная с первого. Схема Юнга (4) соответствует полностью симметрияной функции. Схема Юнга (1, 1, 1, 1) соответствует полностью анти- симметричной функции. Остальные схел1ы Юнга в (72,6) изображают волновые функции смешанной симметрии. Так как переменные спинозой функции т частиц со спином '/р пробегают только два значения з = ~'/ь то функция 7 может быть аитисимметризована не более чем по двум переменным, 336 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ )ГЛ.
гк Другими словами, функции Х могут соответствовать только схемам Юнга, содержащил! не более двух строк. Например, для систелзы из четырех частиц спиновые волновые функции могут соответствовать только схемам Юнга ПППП! ЩПБ Ц эг,п Здесь стрелками в клетках условно обозначены спиновые состояния. Можно показать*), что для систем, состоящих из частиц спина !!э, волновые функции, соответству)ощие каждой схеме Юнга, изображают состояния с определенным значением полного спина системы, значение которого в единицах й будет в дальнейшем обозначаться буквой 5. Например, спиновые функции, соответствующие схемам Юнга !72,7), изображают, соот- э) Спиновая функция, соответствующая схеме Юнга, анти- Г ! ) я~ з~ Ф симметрична относительно спнновых переменных частиц ! и 4.
Поэтому зависимость этой функции от спиповых переменных частиц ! и 4 можно изобразить ! бйределнтелем~ который ! не меняется' при вращениях системы координатных осей, Следовательно, спииовые функции, соответствующие .. ю. Б-П! ° ПТ~, ~;„.ь -*.
---.. ° -.ь севами преобразования при вращении системы координат,т. е. они относятся к' одинаковым неприводимым представлениям группы вращения. В общем случае, при определении неприводимого представления, к которому относится спиновая функция, содержащая две строчки с а- и р-клетками, следует отбросить все заполненные столбцы, т. е. схемы Юнга У «егеяэ' относятся к одному неприводимому представлению. Но функции б) полностью симметричны по отношению к сг — ))спинам. Такие функции можно построить, располагая все спины в одном направлении, поэтому они соот. ! ветствуют состояниям с полным спином 3 — (а — )!). Следовательно, 2 28+ ! спиновых функций Х,, соответствующих схемам Юнга а) и б) и различакяцихся 25+ ! значениями проекции полного спина, при вращении .координатных осей преобразуются друг через друга с помощью обобщенных сферических функций !!', т.
е. Хат - Х Т'т азы. ветственно, состояния с полным спином 2, 1 и О. Схемы ю-[ЩД1,Щ~~ ~~ фу ге состоящей из трех частиц спина '/м изображают соответственно два возможных состояния со спинами зД и '/в Схемы Юнга ДД», системы двух частиц со спином '/~ изображают состояния со спином 1 и О. Схемы Юнга для спиновых функций характеризуют только полный спин системы. Поэтому каждая 'схема Юнга, соответствующая полному спину 5, изображает 25+ 1 различных спнновых состояний, которые отличаются друг от друга проекциями полного спина. Если обозначить волновые функции двух возможных спиновых состояний частицы спина '/а соответственно через а и й, то спиновая функция„соответствующая схеме Юнга . (суммарный спин равен О), будет иметь вид 11,(1, 2)==(а(1)й(2) — а(2)й(!)). (72,8) 1/2 К схеме Юнга ДД) (суммарный спин равен 1) относится три спиновые функции у„, (1, 2) = — (а (!) 8 (2) + а (2) 8 (1)), $' 2 х,з(1, 2) =а(1) а(2), Х,з(1, 2)=й(1) Р(2).
(72,9) Каждому спиновому состоянию системы й/ частиц, т. е. каждой схеме Юнга для спиновой волновой функции Х, можно найти такую схему Юнга для координатной функции Ф, чтобы полная функция. была антисимметрична относительно одновременной перестановки координатных и спиновых переменных любых двух частиц. Например, если в системе четырех частиц спиновая функция т соответствует схеме Юнга (4), то эту функцию надо умножить на координатную функцию, соответствующую схеме Юнга [1, 1, 1, 1]. В общем случае можно показать, что полная волновая функция ф будет антисимметричной, если спиновая волновая функция, соответствующая некоторой возможной схеме Юнга,,умножается на координатную функцию, соответствующую ага снмметгнчныв н хнтисиммвтгичныв ~о~но~ма егпкцин Ват 338 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ к к" .1", 'ко ' )й =ф " ПШПП, ) к ( г,-я) ~ Если система состоит из частиц полуцелого спина з ) '/з, то спниовая волновая функция будет содержать не больше чем (2з+ 1) строк.
В этом случае, 'вообще говоря, полный спин системы, сбстоящей более чем из двух частиц, не определяет однозначно схему Юнга спинозой функции. Волновые функции систем. частиц, обладающих целым спином, должны быть симметричны, поэтому они изображаются произведениями координатной и спинозой функций, относящихся к одной и той же схеме Юнга, или линейными комбинациями таких произведений. Некоторые вопросы симметрии волновой функции системы, состоящей из двух частиц' произвольного спина, будут рассмотрены в теории рассеяния 13 113). 3 73.
Элементарная теория основного состояния атомов с двумя электронами Исследуем энергетические состояния системы, состоящей из двух электронов, движущихся в кулоновском поле ядра заряда ле. К табим системам относится атом Не, содержащий два электрона и ядро с Е = 2, однократно ионизированный атом Ь|, двукратно ионизированный атом Ве и другие многократно ионнзнрованные «гелиеподобные» ионы.
Пренебрегая спин-орбиталь- ') Каждой схеме Юнга можно сопоставить несколько волновых функ. ций. Поэтому, в абгцем случае, аитнсимметрнзоваииые волновые функции представляют собой линейные комбинаоии произведений функций, относяпгихся к указанным схемам Юнга. Эти комбинации выбираются так, чтобы они были собственными функциями полного момента и других интегралов движения, [гл. гх~ транспонированной схеме Юнга* ). Например, для системы,ю:.';~ тырех 'частиц возможны три антисимметричные функции (индека,ф: " сы у функции ф указывают значение полного спина соктояния).',,"к ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМОВ С ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ ным взаимодействием, можно записать оператор Гамильтона си- стемы в виде 77о(1 ° 2)+) нов (73,1) где Оо(1, 2) = — — (т!+ Уо) — Ее ! — + — ! 2я го у (73,1а) — оператор Гамильтона двух электронов в кулоновском поле е' ядра, Рьо — — — — оператор взаимодействия между электрогм нами.
В нулевом приближении (когда не учитывается взаимодействие между электронамн) задача для обоих электронов сводится к рассмотренной в $38 задаче о движении электрона в кулоновском поле — Яео/г.,Энергия каждого электрона в этом случае определяется формулой гоео е зело где а = «о/(1оео) — боровский радиус, п — главное квантовое'число. Уровню энергии е соответствуют волновые функции ф ~ = = ),ц(г) ув (й, ф), Основное состояние системы в нулевом приближении соответствует состоянию, в котором оба электрона.находятся в состоянии !г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
