Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пользуясь операторным тождеством (60,10), можно написать (ог) (ОХ) = (ог) (о (г Х р)) = г' цог) (гр) — гз (ар)), следовательно, (ор) = —, ((гр) + 1(ОХ)!. ,р) 0 Поскольку то (ор)= а р +1 . (оц+й) (68,2) где пг —— (нг) (68„3) — эрмнтова матрица; Введем новый оператор 1( с помощью соотношения йу(=р ((ой=.) + й!. (68,4) (68,5) Двум возможным сниновым состояниям соответствует (н(о,(н) ~!. Если учесть, что ф~(г) не зависит от углон, то, подставляя (67Д6), .имеем КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТВОРИЯ [ГЛ. ЪЧ1! 316 Тогда оператор Гамильтона (68 !) приводится к виду 0 = са,р, + —, а,р2т + ()тс2 + 'к'. (68,6) где У'= (Х+ —,' йа)' — квадрат оператора полного момента электрона. Оператор л2)(2 является интегралом движения и имеет собственные значения Взйт, где ь2 )д„)„!) ! — ()+ ) Следовательно, Й= ~ ()+ я~ =й (, ~ 2..., 11 Нас будут интересовать состояния с определенным значением полного момента электрона и, следовательно, с определенным значением й.
Энергия таких состояний, согласно (68,6), вычисляется с помощью уравнения *(са р, -(- — а,()я + !)тс2+ к' — Е ~Ч'= О, (68,9) где й — число, определяемое (68.8). Матрицы а, и (! антикоммутируют между собой. Можно выбрать представление, В котором -(' ') --(' ') Тогда, используя (68,4) и вводя функцию получаем из уравнения (68,9) систему двух уравнений (68, ! О) (йс) '(Š— тс2 — 'г')Е+ — + — 22=0, (йс) (Е+ тс2 — !') б — —, + —, Е = О. -1 Л.г А дг (68,(!) Оператор К коммутирует с операторами р, а, и р„следовательно, он коммутирует и с полным гамильтонианом (68,6).
Вычислим квадрат оператора (68,5). Используя (60,(0) и операторное равенство !Х Х Х)= (ВХ, находим 82К2=(ОЕ)2+ 2л(ОХ) -(- й'= (Х+ — ла) + — =Х2+ —, (68 7) т оп Полагая 1' = — Хетаг и вводя обозначения Айс= Е+ тсо, Вйс= тсо — Е (68,12) в+ — ")Р— У+ — "!)а=о (68,14) где а = ез/(Ьс) — постоянная тонкой структуры. Решение системы уравнений (68,14) можно искать в виде рядов Р(р) =ехр( — р) ~'., р'+"'й, СО 6(р)=ехр(-р) ~ р'+'Ь„. Подставляя (68,15) в уравнения (68,14) и приравнивая козф- фициенты при р ' ', находим (й+ з) Ьо — вайо= О. — УаЬо+ (й — з) й, = О, (68,!6) в, + Е И вЂ” (з+ т+ Ь) Ь, + Ь, = О, В рЬ~12аЬо(а+тй)от+ по 1Оф А если м,ФО. (68,17) Из системы уравнений (68,16) следует йо — зз — азат = О или з = (йо — Уоао) ~.
(68,! 8) Решения, соответствующие отрицательному знаку перед корнем ,'(71,13), отброшены, так как они приводят к волновым функциям, расходящимся в нуле. Умножая первое уравнение (68,17) на Р, а второе уравнение на В н вычитая одно из другого, находим связь между коэффициентами йо и Ь„: йо(Д/ — Ха+а+ и — Ь)=Ь (~/ — (з+т+й) — Ха). (68,19) и безразмерную длину (для случая Е = тсо) р=гР, Рйс= 'Ьгтос' — Ез = дскб/ АВ, (68,13) преобразуем систему уравнений (68,11) к безразмерным пере- менным атом во внншивм мкгнитиом пола 319 9 69. Атом во внешнем магнитном поле Если на атом действует внешнее магнитное поле, то егоэнергетические состояния изменяются. Смещение энергетических уровней атома под влиянием внешнего магнитного поля называют эффектам Зеемана.
В этом параграфе мы рассмотрим элементарную квантовую теорию эффекта Зеемана. Как было показано в Ц 63 и 67, в квазирелятивистском приближении гамильтониан электрода, движущегося в электромагнитном поле с потенциалами А и Ао, определяется выра- жением [р — — А) Н= 2м +еА — 2хг (аЖ)+Г„(69,1) где М вЂ” приведенная масса; е — заряд электрона; 1Р, = а(е.е)— оператор спин-орбитального взаимодействия; а = Хео[2МЭсого)-'. Если атом находится во внешнем однородном поле найряженности Ж, то ее' 1 еАо = — — А = — [ЖХ г). е ' 2 (69,2) При малых полях в (69,1) можно пренебречь Ао и написать Н = Но+ Яг, где р* еее Но= 2М вЂ”вЂ” е (69,3) — оператор Гамильтона для атома в отсутствие внешнего поля; Яг = — АЧ вЂ” — (аЖ). зеэ ел Ме 2Ме (69,4) Для всех устойчивых атомных ядер Яа < '1, поэтому прий=-Е2, ~3, ..., что соответствует 1='/ъ о!и "., функция Ч" обращается в нуль при р- О.
При й = ~! (т. е. для г- и р-состояний) дираковская функция (68,22) является сингулярной в начале координат для всех квантовых чисел и. Однако, если ла мало, эта сингулярность очень слабая. В реальных атомах сингулярность'функций (прн Й = ~1) в нуле отсутствует, так как вследствие конечных размеров ядер потенциальная энергия отлична от кулоновской и не стремится к бесконечности при р О.
Более подробные сведении о волновых функциях Дирака для движения электрона в иулоновском поле ядра как в-случае дискретного, так .и непрерывного спектра можно найти в работах [62) и [531 АТОМ НО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 32$ Следовательно, Подставляя это значение в (69,8) и учитывая, что функции ~а1(т) являются собственными функциями операторов б и Х„ получаем (п11'т'1р„К 1п11т)=тй ем Ь Ь, (69,10) где 1(1+ 11+ (а+ 1)-~(1+ ~) ( „,,1) 2111+!) — множитель Ланде. Для электронов э = '/а. 1 = 1~'Ь.
1 = О, 1, 2, ... Поскольку отличны от нуля только диагональные элементы оператора возмущения, то энергия атома в первом приближении теории возмущений определится выражением свае Еа~ь„= Еч — 2м 'йт, где т = ~1; ~(1 — 1),... Итак, в магнитном поле (21+1)-кратное вырождение полностью снимается. Смещение уровней происходит симметрично относительно невозмущенного уровня Е„ь Расстояние между соседними расщепленными уровнями евэа 2 с о 2Мс (69, 12) (69,13) Расщепление уровней энергии, определяемое формулой (69,!3), носит название аномального эффекта Зеемана. Для частицы без спина (з = О) множитель Ланде 6 5 2 3 д = 1. В этом случае расстояние между соседними расщепленными уровнями одинаково независимо от характера состояния и равно ЬЕ= —. евзэ 2Мс ' Такое расщепление предсказывалось классической электронной теорией.
Оно носит название нормального эффекта Зеемана. 11 А. С. давнлов пропорционально напряженности магнитного поля и множителю Ланде, зависящему от квантовых чисел 1, 1 и э. В табл. 10 приведены значения множителя Л анде для нескольких Таблица 10 атомных состояний (з='/а). Значения множителя Ланде соетоааае еча а~о сад лаа саГа КВАЗИРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (гл. ч!п Нормальный эффект Зеемана 'наблюдается для некоторых состояний сложных атомов.
Как будет показано в $78, состоя'- ние сложных атомов, 'содержащих несколько электронов, в некотором приближении можно характеризовать собственными значениями операторов суммарного спина всех электронов 8 = Хан суммарных орбитальных моментов количества движения Х. = ХА; и полного момента с = А+8. Изменение.энергетических состояний таких атомов в слабом однородном внешнем магнитном поле также определяется формулой ЬЕ=2 й, елее 2Мс где У(с+!) + Х(8+ 1 — Е (Е+ () а — 1+ 2( (е+,() Из этого выражения следует, что для энергетических состояний с полным спином 5 = 0 (синглетные термы атомов с четным евж числом электронов) множитель д = 1.
В этом случае ЛЕ= —. 2Мс ' что соответствует'нормальному эффекту Зеемана. Такое расщепление наблюдается у синглетных термов атомов цинка, кадмия и других. Формула (69,12) получена методом теории возмущений, поэтому она справедлива только для таких напряженностей магнитного поля, при которых величина расщепления (69,12) будет меньше разности энергий соседних уровней в атоме без поля, т. е. при выполнении условия с ~ <<) Еи> — Еа~ 1 ° (69,14) Наименьшее расстояние между уровнями атома водорода соответствует тонкой структуре (расстояние между компонентами спинового дублета): Е з — Е 1 =0,365 см = 10 * эрг.
Таким образом, аномальный эффект Зеемана должен наблюдаться в таких магнитных полях, когда величина расщепления,' обусловленного внешним магнитным полем, меньше расстояния 'между компонентами дублета. Если учесть, что ее/(2Мс) 9Х Х10-м эрг/Э, то мы' придем к заключению, что слабыми полями для первых'возбужденных уровней атома водорода следует считать поля с напряженностью магнитного поля сэ'(1000 3. Если величина расщепления ЛЕ, вызываемого магнитным полем, велика по сравнению с дублетным расщеплением уровней, то магнитное поле называют сильным. В таком магнитном поле разрывается связь спинового и орбитального моментов количества движения, и они взаимодействуют с магнияиым полем независимо. Следовательно, в сильных магнитных полях оператор ятом во внашнвм магнитном поле взаимодействия электрона с магнитным полем можно записать в виде (69,15) В = — ДЗР= — —,', (Е,+23.) При расчете величины расщепления энергетических уровней в сильном магнитном поле можно в нулевом пуиближении пренебречь спинорбитальным взаимодействием и выбрать невозмущенные функции в виде ! а1~Ит 1 1 если т = —, е 1 если те = — —.
2' и,+2т, = т,+1, ис+ 2 — 1, Расщепление уровней (69,17) должно наблюдаться в сильных магнитных полях. Расщепление этого тяпа носит название эффекта Пашена — Бака. Оно действительно наблюдается для некоторых уровней атомов: 1.1, г(а, О и др. в. магнитных полях с напряженностью, превышающей соответственно 36000, 40000 и 90000 Э.
При более строгих вычислениях следует учесть оператор спин-орбитального взаимодействия хе' йг.=а( ), а=„„...,, 1$Ф т. е. состояния электрона в атоме можно характеризовать главным числом и, орбитальным квантовым числом 1 и квантовыми числами т~ и т„определяющими соответственно проекции орбитального и епинового моментов. В этом случае изменение энергетических уровней под влиянием поля М будет определяться формулой ЛЕ „,= — — (и,+2т,), ГеЫе так как собственные значения операторов Е, и ее равны соответственно вт~ и йте.
Следовательно, каждый энергетический уровень Еш расщееаее т пляется на 21+3 равноотстоящих (на величину — ~ ком2Ме ~ понент, соответствующих 21+ 3 возможным значениям суммы квантовых чисел (т~+ 2и,). Поскольку т, = ~'/ь то при данном 1 такими числами будут 1+ 11 1, 1 — 1, ..., — (1+1). Из этих компонент две высшие и две низшие не вйрождены, все остальные вырождены двукратно в соответствии с двумя возможными способами получения определенного значения КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
