Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Например, при энергии фотона, мало превышающей 2пие, образуются электрон и позитрон с малыми кинетическими энергиями движения. Однако, чтобы выполнялся закон сохранения импульса, необходимо, чтобы суммарный импульс образованных частиц был равен -2 глс. Процесс поглощения и испускания фотона электроном возможен только в элеитросгатическом поле ядра, которое и принимает на себя излишек импульса и очень малую долю энергии (из-за большой массы). КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл, \чц (66,2) Из (66,2) и (66,1) следует, что при действии псевдоскаляра оп на волновую функцию (66,2) две компоненты этой ф(гнкции переставляются местами: (оп) Ч'= (66,3) Поэтому для частицы с массой покоя, равной нулю, действие 'оператора (оп) на волновую функцию (66,2) эквивалентно дей- ствию матрицы /О (оп) = ~ (= — ум ~к о/ (66,3а) Вместо функций ф и Х можно ввести две их линейные комбинации Ф=-,' (~+Х) = —,' (1+-) р, (66,4) Г = — (~р — Х) = — (1 — ап) ~р.
1 1 2 2 (66,5) Складывая и вычитая уравнения (66,!), легко убедиться, что функции Ф и Г удовлетворяют соответственно уравнениям ипФ =Ф и опГ = — Г. Таким образом, функции Ф и Г, имеющие только по две компоненты, являются двумя собственными функциями оператора количества движения при 6-распаде следовало, что эти частицы обладают спинам 15. Успехи теории ()-распада, опыты по исследованию отдачи ядер при 6-распаде и опыты ~о непосредственному воздействию на нуклоны доказали реальность существования такой частицы, названной нейтрино. В связи с этим представляет интерес исследовать уравнение Дирака для частиц с массой покоя, равной нулю. Полагая в (60,8) массу частицы равной нулю, получим систему двух уравнений <р=(оп)Х, .
Х=(оп)~р, (66,1) где п = ср/з — единичный вектор', совпадающий с направлением импульса для положительных решений, когда е = Е = ср, и противоположцый направлению импульса для отрицательных решений, когда в= — ср. Полная волновая функция Ч" выражается через двухкомпонентные функции ~ и Х обычным образом: мвзвнеиив диялкА для нвитгино зот оп — проекции спина частицы на направление импульса. Два собственных значения +1 и — 1 этого оператора (или эквивалентного оператора — уз) называЮт спиральностью частицы.
Спнральность (Ье11с!!у) принято обозначать буквой й(й = ~1). Учитывая эквивалентность действия на волновую функцию операторов оп и — ум запишем их собственные функции в вцпе, 2( Уз) ' 2( +Уз) Эти выражения показывают, что умножение четырехкомпонентной функции на 1 ~ уз превращает ее в двухкомпонентную функцию. ' В состояниях с определенной спиральностью каждому значению импульса соответствует только одно спиновое состояние. При положительной спиральности направление импульса и направление спина (для состояний, при которых в= ср) параллельны.
При отрицательной спиральности они антипараллельны. Образно говоря, положительная спиральность как бы соответствует правому винту (у винта вращение связано с направлением перемещения). Отрицательная спиральность соответствует левому винту. Такие состояния могут реализоваться только у частиц с нулевой массой покоя и двигающихся, следовательно, всегда со скоростью света. Если масса покоя частицы не равна нулю, то всегда можно перейти в систему координат, где частица покоится. В этой системе импульс был бы равен нулю и нарушалась бы связь между спином и импульсом. Поэтому наличие у частиц только продольной поляризации (в смысле направления спина), однозначно связанной с направлением их движения, возможно только в случае, когда т = О.
В конце 1956 г. Салам(44], Ландау !45], Ли и Янг 146] развили теорию свойств нейтрино на основе двухкомпонентной модели с. определенной спиральностью. Эта теория базировалась на предположении, что свойства нейтрино описываются только одной из функций (66,4) нли (66,5). Нейтрино является частицей без электрического заряда, поэтому оно не взаимодействует с электромагнитным полем. Однако и для таких частиц решения уравнения Дирака допускают два типа состояний: положительные и отрицательные, которые можно рассматривать как «зарядово сопряженные состояния». Более правильно в этом случае говорить о состояниях, соответствующих частице и античастице.
Если частица описывается функцией Ч', то античастица должна описываться функцией (см. $65) Чг,= С Чг, (66,6) где С-' = ум если матрицы уя выбраны в представлении (6!.!). Различие свойств частиц и античастиц может проявляться КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [гл. ЧИГ при исследовании их взаимодействий с другими частицами. Такие взаимодействия характеризуются величинами, играющими такую же роль, как электрический заряд во взанмодеиствиях'с электромагнитным полем. Если частица тождественна античастице, т.
е. 'г = Ч"„то такая частица называется истинно нейтральной. Теория истинно нейтральных частиц рассматривалась Майорана [47) (см. также [48)), который исходил из предположения, что нейтрино и антинейтрино — одинаковые частицы. В настоящее время установлено, что нейтрино и антинейтрино являются разными частицами. Нейтрино выделяются прн позитронном распаде протона, а антинейтрино — при электронном распаде нейтрона. Нейтрино и антинейтрино различаются спиральностью.
Опытами Гольдгабера, Гродзинс и Суньяра [49) показано, что у нейтрино спин направлен против импульса— отрицательная (или левая) спиральность. Следовательно, анти- нейтрино должно иметь положительную (или правую) спираль- ность. В [962 г. было обнаружено, что нейтрино, выделяющееся при распаде нейтрона вместе с электроном, отличаются от нейт ино, выделяющихся вместе с мюоном при распаде пионов. К ервые были названы электронными нейтрино.
Им сопоставляется электронный лептонный заряд. Вторые нейтрино были названы мюонными. Они имеют мюонный лептонный заряд. Повидимому, оба типа нейтрино являются двухкомпонентнымн. Двухкомпонентные нейтрино не инвариантны относительно операции пространственного отражения, так как при этой операции импульс меняет знак, а момент количества движения (спин) остается неизменным. При пространственном отражении правый винт переходит в левый винт — антинейтрино должно переходить в нейтрино, и наоборот. Только при одновременном применении пространственного отражения и зарядового сопряжения нейтрино остается неизменным.
Произведение операций зарядового сопряжения и пространственного отражения было названо в работах Ландау комбинированной инверсией. Нейтрино инвариантно относительно операции комбинированной инверсии. Все явления, в которых участвуют нейтрино, инвариантны относительно комбинированной инверсии и не инвариантна[ относительно пространственного отражения и зарядового сопряжения в отдельности. Поэтому в этих явлениях нарушается закон сохранения четности, который является следствием инвариантности относительно пространственного отрагкения. Закон сохранения четности нарушается и в ряде других явлений, обусловленных слабыми взаимодействиями, приводящими к распаду мезонов и гнперонов. В настоящее время обнаружено слабое несохранение н комбинированной инверсии. е еп АТОМ ВОДОРОДА С УЧЕТОМ СПИНА ЭЛЕКТРОНА 309 срг (е — сгсга) (ар) (66,7) При л2=0 — Р=п, где е=~ ср, Следовательно, (66,7) переходит в (66,3а).
При т~ 0 е= ~ с'у'р2+ тесе, поэтому при значении спиральности Ь= 1 проекционный оператор 2( ге) 2~ Ср )' При значении спиральности Й = — 1 проекционный оператор (1 — 25) 11 — ) ' 2 67. Атом водорода с учетом спина электрона В Я 38 и 39 было исследовано движение электрона в кулоновском поле ядра без учета спина электрона. Исследуем теперь это движение на основе уравнения Дирака с учетом релятивистских поправок порядка (О/с)2. Сравнивая полученные результаты с решениями Я 38 и 39, можно будет оценить роль спина электрона в атоме водорода.
Для определения стационарных состояний электрона в кулоновском поле ядра с потенциальной энергией )г(г) = †сеанс (размерами ядра мы пренебрегаем) надо решить уравнение (Не+ )Р! + гР2+ 1('3) гс Е1 г (67,1) где рг Лег Не г 2ге г (67,2) ))гь )(У2, )(Уе — релятивистские поправки к оператору Гамильтона (67,2) нерелятивистского движения, рассмотренные в $62 ! В заключение этого параграфа отметим, что понятие спиральности для собственного значения оператора ар — — ар/р, т. е.
проекции матрицы а на направление импульса, сохраняется н для частиц с массой покоя, отличной от нуля. При свободном движении таких частиц оператор ар коммутирует с 'оператором Гамильтона Нгь поэтому спиральность Ь является интегралом свободного движения. Однако связь между операторами а и че имеет более сложный характер. УМНожая рааЕНСТВО уз .— — С2га» На аг, ИМЕЕМ агтз = — Сгг, нли трче = — ар. Подставляя это значение в Нэ (60,2), находим, что в состояниях, относящихся к собственному значению в оператора Нс, КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [Гл, ъчи и имеющие вид В222[г пееРВ2 [[У = — = — б(г) ап~еЕ~ 2аесе [Е+ хее(г)' 2 2уеее Юз — — (2т'с'гГ' д-Ы)=Хез(2тестгз) ' (ВХ).- (67,3) (67,4) (67,5) Учитывая (67,7) и (67,8), лагко убедиться, что полный оператор Гамильтона уравнения (67,1) коммутирует с операторами е.з, зз, Хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
