Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Последовательно применяя оператор бесконечно малого поворота во- В еп ковАРиАнтиАИ зАпись твпавнения дирдкА 233' круг оси 1, можно определить оператор конечного поворота нб угол вр зг(ф) = екр(. 2 о)ф) (61,26) й Учитывая, что — и является оператором момента количества движе-. 2 вия частицы со спииом Ув, можно иайти связь матрицы вращеиии 16),26) е введеииыми в й 43,обобщеииыми сферическими фуикциями в)~~' (Р), определяющими 'преобразоваиие сливовых волиовых функций кум при по- вороте иа угол р вокруг оси р. Согласно (4363), можно иаписать в ) в — е В вкввв-вквв.в,вв=(в' в(, ' ') —,' ), где й, лв=в4, — в!з. Для вычислеиия матричиых злемеитов проведем преобразоваиие: ехр( озй) Х ) ( 2 л) 1) 2 (2) + '"1+ (р ) ур)з ) р .
р + вор в — — — ~ — ) + ... г сез — + вор з!ив (2 3) 12) "') 2 в 2.~ в'0 Используя явиый вид матрицы оз — — ~ ) заходим окоичательио матрицу о l' р р соз зш и'(Р) =(4' (Р))- 5вп — соз— 2 2 Интересной особенностью матрицы преобразования (61,26) является то, что при полном повороте (ф = 2и) эта матрица не возвращается к своему первоначальному знач)ению, а переходиг в — 1, т.
е Я) (0) = 1, о) (2и) = — 1. Выше было показано, что при пространственном отражении (Р) преобразование функции, удовлетворяющей уравнению Ди- рака, определяется матрицей Зр — — Хув, где ) Х1= 1. Двукратное отражение можно рассматривать как тождественное преобразование и как поворот на угол 2и.
Последнее, как мы видели, Приводит к изменению знака функции; поэтому дву- кратному отражению может соответствовать оператор ,бв'=)в уз=Аз= = 1. 4 Следовательно, число А может равняться четырем значениям г Л=(, — 1, 1, — !. квлэневлягивистскхя квантовая твогия [гл. юп Возможные значения Х определяют так называемые внутренние свойства частиц (их внутреннюю четность), описываемых функциями Ч". Принято говорить, что функции Чг (спинорныв поля) могут принадлежать к четырем классам: А, В, С или 1), соответственно значениям Х= 1, — 1, 1, — 1, определяющим закон преобразования волновых функций при пространственном отражении.
Функцию, преобразующуюся по закону РЧ" Чг'= = юу,Ч", иногда называют полярным саинорным полем, а остальные — псеэдоспинорными полями. В настоящее время нет возможности установить, к какому из этих классов относятся наблюдаемые в природе спинорные поля (см. $66). Используя (61,!5), (61,16) и (61,17), легко установить свойства преобразований некоторых билинейных выражений, составленных из функций Дирака. Так, например, из (61,15) и (61,17) следует, что при ортогональных преобразованиях Чг'Ч'" = ЧгЗ 'ЯЧ" = ЧгЧ". Следовательно, величина С- Ч Ч~= Ч"у,ч~ является скаляром. Из равенств (61,7) и (61,7а) следует, что $l„= Лу„Чг является 4-вектором, т. е.
величиной, четыре компоненты которой преобразуются как координаты х„. В этом можно убедиться и непосредственно, если использовать (61,!5), (61,16) и (61,17), так как Ч"увЧ"'= Ч"5 'ув5Ч"= ХЪ~%~мЧ Таким же образом можно показать, что величины Чауву„'Г преобразуются как произведения двух координат, т. е. являются компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тензор ам второго ранга можно представить в виде суммы симметричного '/э(ац,'+ аы) и антнсимметричного тензора '/э(ам — аы).
Пользуясь (61,2), легко показать, что симметричная часть тензора второго ранга Чсу„у„Ч' сводится к скаляру 2 Ч (мяу '+ у М 1 ~йв'" Величина вэ = я (Ув'Ум УЛи) является антисимметричным тензором второго ранга (с шестью независимыми компонентами). Мнпжитель 1 перед этим выра- коВАРиАнтнАя зхпись уРАВнения диРАЕА З ец жением выбирается для того, чтобы пространственные компоненты тензорз-были действительны. Величины Ч2уву2уАЧ" преобразуются как компоненты тензорв третьего ранга. Симметричные по любым двум индексам компоненты этого тензора сводятся к тензору первого ранга.
Лнтисимметричный относительно перестановки любых двух индексов тензор третьего ранга сводится к аксиальному вектору (четыре компоненты). Произведение всех четырех матриц у„часто используется в теории„поэтому вводится специальное обозначение Уз = У1УЕУЗУ4. Из эрмитевости матриц у„(р = 1, 2, 3, 4) и соотношений (61,2) следует, что матрица уз является эрмитовой матрицей У2 (У4УУУЗУ4) У4УЗУЕУ! У!УЕУЗУ4 У5' Матрица ув антикоммутирует со всеми четырьмя матрицами у„, т.
в. УЕУР+УРУ2=0. 14= 1, 21 З1 4. Легко проверить, что уз= 1. В частном представлении матриц Дирака (59,!4) матрица При Ортогоиальных преобразованиях величина ЧРУЕЧ" преобразуется как произведение координат х4хзхзх4, т. е. как четырехмерный объем. Следовательно, эта величина остается инвариантной при пространственных вращениях и меняет знак при инс версии пространственных координат, т.
е. является псевдоскаля-' ром. Если использовать эрмитовость матриц уз и у4, то можно показать, что эрмитовой псевдоскалярней величиной будет ™У5 ~ Действительно,' (4ЧгуАЧ")~= — 1Чгтузу4Ч"=1МуАЧР. Величина Р имеет одну независимую компоненту. Учитывая определение матрицы уз. имеем У4УЕ = УЕУАУ4~ УЕУ2 — У~УАУ4 Поэтому антисимметричный тензор третьего ранга можно записать в виде АР— 1Ч~УРУАЧР. Введенные выше пять величин С, у'„, 7„„3 А„и Р исчерпывают все - возможные билинейные комбинации, которые можно КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИГЛ. 'Ъ'ИР составить из волновых функций Ф н Ч".
Всякая другая билинейная комбинация этих функпий может быть выражена через эти величины, содержащие 16 независимых компонент. В ряде приложений приходится производить преобразования произведений матриц т„. Такие вычисления легко выполняются, если использовать оснорное перестановочное свойство (61,2) матриц. Например, Ху.Ъ=4 Х УРУЛР = Х ((УЯУт+ УЛР) ув 7Л»УР) = = 2у„— 4у, = 2у (61,2У) Х увУЛАУР = Х ИЪУТ+ УЛР) ТАТР 7ЛРуА зи) = = 2 („'У', б„ЛАу,„+ уЛА) = 2 (уху, + уЛз) = 4Ц . Итак, упрощение произведения матриц, содержащего две матрицы с одинаковыми индексами, по которым производится суммирование, сводится к преобразованию произведения с помощью '(61,2) к таким произведениям, которые содержат рядом две матрицы с одинаковыми индексами. и последующему суммированию по правилам (61,2У).
Из определения матриц т„ (61,1), следует, что след, или шпур, т. е. сумма диагональных элементов каждой из этих матриц, равен нулю, т. е. Вру.=Х(у„)„=а, И=1,2, З, 4. Равен нулю и след матрицы уз. Равен нулю след произведения нечетного числа матриц у„(независимо, имеются ли среди ннх одинаковые или нет), т.
е. Яр(у, у ... у '1=0, если и — 'не- ~«',' Р,' ' Я„у четное число. При вычислении следа произведения четного числа матриц ув надо учитывать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей Бр(АВ) = Вр(ВА). й 62. Момент количества движения электрона в теории Днрвка При исследовании свободного движения частицы, удовлетворяющей уравнению Днрака (сьь $60), было показано, что состояние свободного движения с определенным импульсом можйо характеризовать знаком В/Е и проекцией вектора спина, оператор которой изображается матрицей й зз = — Фз. 2 момент количества движения элвктеонх в твогии диухкх 2вт Введем по аналогии с (62,!).
два других. оператора: й в У~ = — о, 8е=-оз 2 ' 2 и определим физический смысл вектора, соответствующего опе- ратору а=(А~ йьйз)- Пользуясь свойствами матриц от (см. (59,15), можно установить перестановочные соотношения (Яп Уг) =О, [Яр зе! ='изь (62,2) Таким образом, операторы 4; удовлетворяют перестлновочиым соотношениям, аналогичным перестаиовочным соотношенним между операторами проекций углового момента Е! (7,!3).
Поэтому можно сказать, что з является оператором некоторого момента количества движения. Этот момент количества. движения называют внутренним урловым моментом частицы, или сиинооым моментом. Определение спнновоео момента частицы можно получить.н из рассмотренных в 5 6! свойств преобразований спинозой части волновых функций уравнения Дирака прн пространственных вращениях. При вращении системы координат на угол у вокруг оси е (в направлении от оси к к оси у) спиновые части волновых функций преобразуются с помощью матрицы преобразования (61,26), а при вращении векторов, определяющих положение точек 'системы, функции преобразуются при помощи матрицы З,=ехр-~ — 2 о,ф~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
