Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(58,9) При исследований стационарных состояний движения частицы в электромагнитном поле следует в (58,4а) положить ф (х, 1) = ф (х) ехр ( — — 1) . (58,10) Тогда функция ф(х) будет удовлегворять уравнению — (в — еАв)'ф(х)= [рв' — — Ар+ — ', А'+ М'стро ф(х). (58,11) В стационарных состояниях (58, 1О) плотность электрического заряда принимает вид е (к — елв) ° Мс~ При е= Е ) еАв знак плотности заряда соответствует знаку заряда (е) частицы. Однако в области больших значений потенциальной энергии, когда'е(еАь знак р противоположен знаку е. Следовательно, в области очень сильных полей одночастичная интерпретация не может быть сохранена.
Физический смысл изменения знака р в сильных полях может быть понят только на основе теории, описывающей поведение систем с переменным числом частиц, учитывающей процессы рождения и уничтоже.ния частиц обоих знаков заряда пионов, В качестве примера использования уравнения (58,11) рассмотрим движение в кулонов ком поле ядра отрицательно заряженной часгицы, имеющей 4 А81 НАстицА нулеВОГО спинА В электгомАгнитном полВ эхв спин, равный нулю. Эта задача возникает прн исследовании движения пионов в попе атомных ядер.
Такую систему называют и-мезоннььн атомом. Если пренебречь размерами ядра, то хР ЕА~= — —, А= О и уравнение (58,11) принимает для случая е = Е ) О следующий вид: р+ г'*)' МУЕ4+ йзсзр|ф(л)= О При этом радиальная функния 1Г1(г) .удовлетворяет уравнению 1 ' 1ю н-о. г где а = Я(ас) — так называемая лостоянкоя тонкой структуры. Вводя обозначения 4 (А4'е' — Е~) (58,13) и новую переменную р = рг, можно преобразовать последнее уравнение к виду ! — + —— н2 х цг+1) — г' ' ЛР' Р2 — — ~ Р~ = О, (58,14) где Х= — > О. ВХВЕ асср (58,15) Подставляя ! 1~ = р'+')р (р) е ' ' в (58,14), получим уравнение, определяющее функцию 1у (р), р-„— р-+ (2з+ 2 — р) — „+ (Х вЂ” з — !) И7 = О, (58,16) если з(з+ 1) =! (1 + 1) — Ятоз.
(58,1У) Уравнению (58,16) удовлетворяет вырожденная гипергеометрическая функция (см. Мат. дополн. Г) Я7(р)=Р( — А+э+1, 2з+2, р). (58,18) Чтобы функция Я~ убывала при.р- со, необходимо, чтобы степенной ряд, изображаемый гипергеометрической функцией Переходя к сферическим координатам и рассматривая решения, соответсгвующие определенному значению орбитального момента частицы, можно написать 'Ф(Х)= — Р~(Г)уь„(ОЧ), 1=О, 1, 2,'... (58,12) КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [Гл. Ихн (58,18), был полиномом конечной степени. Последнее условие выполняется, если Х вЂ” з — 1 = т = О, 1. 2, ..., следовательно, Х=т+з+1.
(58,23) Рещая уравнение (58,17) относительно г и выбирая корень — — —,+1. 1'1+ —,) — г; (58,1В) обеспечивающий положительность Х (см. (58,15)), находим Х=т+ — + ~ ~1+ — ) — (Уа)т, т, 1=0, 1, 2, ... (58,20) Из (58,13) и (58,15) получаем, исключая 5, Мсе Е= р~ 1 -1- хтоех Вследствие малости постоянной тонкой структуры (сс 1/137) параметр Ха для всех атомов (за исключением очень тяжелых) будет мал по сравнению с единицей. Подставляя (58,20) в (58,21) и разлагая В ряд по степеням Уа, находим Е=Мс~~1 — —,— —,( ", — — )+ ...
~, (58,22) где а= Я+1+! является главным квантовым числом, Подставляя (58,22) в (58,13), имеем 2ХМе~ — если Уа ~ 1. с лде Первое слагаемое в (58,22) соответствуег энергии покоя части- цы. Второе слагаемое Мседеае МХее' - а = — — =Е 2ле 2яеле = л совпадает с энергией движения частицы массы М в кулонов- ском поле в нерелятивистском приближении (см. $38). Третий член пех'и' -лС-- л (4и !+'43 (58,24) определяет релятивистские поправки к энергии. Мы видим, что поправка к энергии (58,24) зависит ог квантового числа 1, что приводит к снятию вырождения, которое наблюдается в нереля- тивистском приближении. Относительная величина расщепления уровней лз и пр выражается формулой Еле — Еле 4У'а' ,ео з„ О М] ЧАСТИПА НУЛЕВОГО СПИНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 2З$ Следовательно, расщепление увеличивается с ростом 2 и уменьшается с ростом главного квантового числа л.
При п = 1 имеется только одно значение 1= О, и вырождение отсутствует. При а = 2 наблюдается наибольшее расщепление. Система уровней, соответствующая разным значениям ЬЕ ь при одинаковом и называется тонкой структурой. При данном и «полная ширина тонкой структуры», т. е. расстояние между крайними уровнями (1 = а — ! и 1 = 0), равно (58,24а) Рассмотрим далее поведение волновых функций (58,12) при р- 6. При 1Ф 0 и малых значениях заряда ядра Ю'ао « 1, г ж 1 и волновые функции (58,12) обращаются в нуль при р — й так же, как и волновые функции нерелятивистской теории (й 38). При 1= 0 волновые функции (58,12) сингулярны в начале координат.
Однако при малых значениях Уа эта сингулярность очень слабая. Для атомов с большими значениями Х эта сингулярность уже значительна, и отличие релятивистских функций От нерелятивистских становится сущее гвенным. Из (58,12) следует, что при малых Уа наиболее вероятное значение р в состоянии 1з равно 2. Тогда, учитывая (58,23), находим для наиболее вероятного значения радиуса 2 йв 'И а г =— й гм мг' где боровский радиус аж0,5.10 ' см, р — масса электрона. Поскольку для п=мезона М ж 270 р, то 2 ° Ш вЂ” см.
в х Таким образом, уже для атомов с малыми значениями 7 сравни тельно велика вероятность пребывания и -мезона внутри ядра. Следовательно, учет конечных размеров ядра, т. е. отличия электрического поля ядра от кулоновского, весьма существен при вычислении волновых функций и энергии п-мезонных атомов [391.
Если использовать гамильтонову форму (55,12) уравнения К вЂ” Г для свободного движения частицы нулевого спина, то переход (по правилу (58,3)) .к уравнению, описывающему движение частицы в электромагнитном поле с потенциалами А, Ам сводится к замене оператора Гамильтона свободного движения И~ (го + 1то) 2М + Ме тв яв о оператором 0 Оо+еА е(т,+гтв) А+ е (ев+гтв) Ат е е о —, Р 2Мев :3 явя КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (гЛ уззй/( з При написании (58,25) было использовано условие калибровки(.",, потенциалов з)(т А = О. И~ Если функция Чз=~ ! удовлетворяет уравнению )в Х зз.: дчз / е+ е(тз+ гтз) А + ез (тз+ 1тз) Ат)(Чз дз =1 ~ И Р ВМ~ / ' ",ь' (58,26) -' то зарядово сопряженная функция (55,23) :;з' (58,27) ' 'т зр / удовлетворяет уравнению .й дЧ е /7/о А е(тз+ зтз) е з ез(тз+ зтз) еезз)(ЧА з дз 1 Ме + янез / з' которое получается из (58,26) при изменении знака импульса и заряда.
В этом легко убедиться, умножив слева на матрицу тз уравнение, комплексно сопряженное к уравнению (58,26), и использовав определение (58,27). Если, далее, р = КЧз~тзЧе, то "-:: плотность электрического заряда в зарядово сопряженном состоянии (58,27) будет равна ч р, = еткзтзЧз, = — еЧ" тзЧ" = — р. Однако вектор плотности электрического тока (55,15) при переходе к зарядово сопряженному состоянию не меняет своего направления А 4; /.=./.
Это цроисходиг потому, что зарядово сопряженное состояние Ч", отличается от состояния Чг изменением знака заряда и изменением направления импульса. $59. Релятивистское уравнение Дирака В 1928 г. Дираку удалось найти релятивистское уравнение, которое оказалось пригодным для описания свойств электронов и других частиц, имеющих спин 1/2. При построении своего уравнения Дирак исходил из требования, чтобы уравнение движения приводило к уравнению непрерывности с положительно определенной плотностью вероятности. Вместо одной функции, исполь.
эуемой в яерелятивистской теории, Дирак ввел систему функций ф„(г, г), т = 1, 2; ..., определяющих плотность электрического заряда с помощью соотношения р = е ~~.", ф',зр (59,1) т РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ')огда из закона сохранения электрического заряда следует: —,', ) рю = А') ( — 'ю„ею'„— ")ю -ю.
аю,юю т Пля выполнения соотношения (59,2) необходимо, чтобы знадюрт чения производных — определялись значениями функций в дт данный момент времени. Следовательно, функции фт должны удовлетворятв уравнению первого порядка относительно производных по времени. Не ограничивая. общности, можно записать такую систему уравнений в аиде дю)т др„ —,— „+~. —,„"+ —,~)) ф„=о, где ги — масса частицы, с — скорость света, аюаю и б — постоянные, вообще говоря, комплексные коэффициенты. Здесь н в последующем знаки сумм указывают, что производится суммирование по индексам, встрелзющимся дважды. Латинские индексы й, 1, ... пробегают значения 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
