Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Протоны, йейтроны и более тяжелые частицы — гипероны имеют барионный заряд. и-мезоны (пионы), К-мезоны (каоны) и другие более тяжелые мезоны не имеют лептонного и барионного зарядов. Одной из наиболее характерных особенностей элементарных частиц является возможность их рождения, уничтожения и взаимных превращений в резульгате взаимодействий. Так, фотоны рождаются при изменении харакгера движения электронов в атомах или протонов в атомных ядрах, При столкновении нуклонов большой энергии рождаются пионы.
Нейтрон, излучая электрон и антинейтрино, превращается в протон. С другой стороны, прогоны, входящие в состав атомных ядер, испуская нейтрино и позитрон, могут превращаться в нейтрон. Нейтральный'пион превращается в два фотона; заряженный пион превращается в нейтрино и мюон. Фотоны в поле ядра могут превратиться в электрон и позитрон и т. д. Открытие возможностей (в соответствии с законами сохранения энергии, электрическою заряда и некоторых других законов сохранения) рождения, уничтожения и взаимной превращаемости элементарных частиц является одним из наиболее существенных достижений в познании объективных свойств окружающего нас мира и взаимосвязи различных явлений природы. В связи с этим понятие «элементарности» и «изолирован- э щ элементАРные чАстицы В кВАнтОВОЙ мехАнике 235 ности» одних частиц от других становится все более и более неопределенным.
Согласно современным представлениям, взаимодействия между частицами одного типа передаются с помощью частиц другого типа. Так, например, заряженные и нейтральные пионы передают ядерные взаимодействия между нуклонами. Образно говоря, протоны и нейтроны как бы окружены мезонным облаком, через которое и осуществляется взаимодействие между ними. Это мезонное облако является составной частью протонов и нейтронов и во многом определяет их свойства. С другой стороны, протоны и нейтроны в свою очередь определяют ряд свойств пионов.
В связи с этим теряет смысл понятие изолированной частицы того или иного вида. Следовательно, представление о свободном движении частицы может быть только грубой идеализацией действительности. В явлениях, сопровождающихся взаимодействием частиц большой энергии, теряет смысл представление о неизменном числе частиц. Так, например, быстрый электрон, пролетая в поле ядра, образует фотоны, фотоны в ноле ядер создают пары частиц: электрон и позитрон, которые в свою очередь создают фотоны и т. д.
Такое лавинообразное нарастание числа частиц наблюдается при попадании в атмосферу Земли первичных частиц„из космического пространства. Юписание явлений, происходящих при больших энергиях, должно базироваться на релятивистских волновых уравнениях, т. е. На уравнениях, инвариантных относительно преобразования Лоренца. Переход от нерелятивистского описания к релятивистскому связан с необходимостью пересмотра ряда понятий нерелятивистской квантовой теории. Прежде всего требует изменения понятие координаты отдельной частицы. Нерелятивистская квантовая механика допускает возможность как угодно точной локализации частицы в пространстве и времени.
В релятивистской квантовой механике одной частицы невозможна локализация частицы в пространстве, линейные размеры которого меньше й/(4тс), где ш — масса покоящейся частицы, так как в противном случае в силу соотношения неопределенностей (% 13) частице будет сообщаться энергия р9(2гп) > 2глс', которая достаточна для образования пары частиц. Таким образом', представление об одной частице можно сохранить только прн отсутствии внешних воздействий, приводящих к локализации частицы в пространстве, линейные размеры которого меньше комптоиовской длины волны (й)(тс) ) соответствующей частицы.
Для предельно релятивистских частиц — световых квантов (и = О, о = с)— понятие координаты частицы в обычном смысле полностью отсутствует. Если имеется неопределенность в положении Ьх ) Ь!(тс), то неизбежна и неопределенность во времени Ы Ьх~с) Ц(тсз). КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ~гл. Рш Итак, в релятивистской теории понятие плотности вероятности р(х,у,е, () положения частицы в определенный момент времени требует существенного пересмотра. В нерелятивистской теории с со н И может быть равно нулю.
Вторым фундаментальным понятием, используемым в нерелятивистской теории, является понятие импульса частицы. Неопределенность значения импульса определяется соотношением Лр Ь/Лх. Поскольку неопределенность скорости частицы в релятивистской теории не может превышать с, то Лх сЛТ, где И вЂ” промежуток времени, в течение которого реализуется данное состояние движения. Таким образом, Лр-Ь/(Лх) Ь/(СЛ1) В случае свободного движения частиц (стационарное состояние) й( оо. Следовательно, Лр = О. Итак, для свободного движения частицы, когда импульс не меняется с течением времени, в состояниях движения, описываемых волновыми пакетами, имеет смысл плотность вероятности определенного значения импульса р(р) в импульсном пространстве.
В связи с этим в релятивистской теории очень удобно использовать импульсное представление. Последовательная релятивистская теория элементарных частиц в последнее время развивается на основе представления о различных взаимодействующих полях, квантами которых являются частицы. Такое рассмотрение позволяет сравнительно просто объяснить процессы рождения, уничтожения и взаимо- превращений частиц при высоких энергиях. Однако теория элементарных частиц сталкивается с большими математическими трудностями, которые в некоторой степени преодолены только в квантовой электродинамике„ изучающей взаимодействие электронов с электромагнитным полем.
Теория взаимодействия мезонов с различными мезонами и другими элементарными частицами (гиперонами), а также теория самих элементарных частиц находятся еще в начальной стадии развития. Хотя представление о системах, состоящих нз постоянного числа частиц, н является грубой идеализацией (в явлениях, протекающих при больших энергиях), это представление приходится использовать как первый этап в развитии более строгой теории. Такое упрощение задачи неизбежно связано с появлением ряда трудностей, обусловленных искусственным игнорированием неразрывной связи между различными частицами и их взаимной превращаемостью.
В этой главе будут исследованы границы применимости одночастичного описания при изучении движения электронов, мезонов и нуклонов в не очень сильных внешних полях. Будут найдены приближенные выражения для учета релятивистских поправок (с точностью до О9св) к нерелятивистскому движению.
Попутно мы познакомимся с рядом новых понятий, связанных 2 щ РелятиВ. уРАВнение для чАстицы с нулеВым снином езу с внутренними степенями свободы элементарных частиц, такими, как спин частицы н ее зарядовая переменная. Полученные результаты будут применены к исследованию движения электрона в атоме водорода с учетом релятивистских поправок порядка о9с2 н к исследованию изменений энергетических уровней атомной системы во внешнем электрическом и магнитном полях.
й 54. Релятивистское уравнение для'частнцы с нулевым спнном Как было указано в $ !5, уравнение Шредингера И вЂ” =~ — — Ч'+и(х)~ф (54,1) соответствует нерелятнвнстской связи между энергией и импульсом частицы, имеющей массу М: Е= — „, +(~(). (64,2) Уравнение (54,2) можно получить формальным путем из (54,2) с помощью преобразования Е- И вЂ”, Р- — ИУ'. д д2 ' (54,3) Чтобы получить волновое уравнение для движений частицы с энергией, значительно превышающей ее энергию покоя, надо исходить нз релятивистского соотношении между энергией н импульсом.
В случае свободного движения частицы такая связь имеет вид Р2+ М2с2 (54,4) (54,5) Это уравнение обычно называется уравнением Клейна — Гордона. Оно было предложено в 1925 г. Клейном (33), Фоком [34) н Гордоном (35). Релятивистская ннвариантность соотношения (54,4) проявляется более явно, если ввести четырехмерный вектор импульса, четыре компоненты которого определяются равенством Е 1 Р~=~Р2 Р2 Р2 2 ( ° Заменяя в (54,4) энергию н импульс операторами, согласно (54,3), получаем релятивистское волновое уравнение для свободного движения ч КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ.
ЪЧ11 Тогда соотношение (54,4) примет внд 1 ~ р' = — Мзс'. в Переход к операторам с помощью (54,3) запишется в виде д р -ь)6 = — гй— дх Н где х„— (х, р, х, гсг). Используя новые обозначения, можно записать уравнение (54,5) в ковариантной форме*) (~ч.",фт+ Мзсз) ф =О. (54,6) Если умножить уравнение (54,5) .на ф' и уравнение, ему сопряженное, на ф а затем вычесть из первого уравнения второе, то найдем уравнение непрерывности д" + г)1ч у = О, (64 Т) где 2М1 Ь (54,8) (54,9) В ковариантной записи зги уравнения принимают вид Х "„= д1н Ь 1, дф дф''1 — =О, где )в= —.
(ф* — — ф — /* дхн 2МГ ( дхн д"н ) .!н=()» )ь )з 'ср). Переход от релятивистского уравнения (54,5) к нерелятивистскому уравнению Шредингера можно осуществить с помощью ч) Форма уравнения называется ковариантной, если все члены уравнения имеют одинаковую теизориую размерность (скаляр, вектор и т. д.), т. е. преобразуются одинаково при преобразовании коорнинатиых систем. Уравнение (64,6) имеет ковариаитную форму, так как М"сз и ~Ч~~Рн являются н скалярными величинами по отношению к ортогональным преобразованиям (любым поворотам и отражениям) в -четырехмерном пространстве Минковского, т.
е. в пространстве, трн измерения которого совладают с тремя измерениями ханта обычного пространства, а четвертое измерение является мнимым и пропорционально времени: хч 1са Коварнзитиая форма уравнения по отношению к ортогональным преобразованиям пространства Минковского автоматически обеспечивает инварнантность следствий, полученных из уравнения, относительно преобразования Лоренца. А м] РелятиВ. уРАВнение для ЧАстицы с нулеВым спином 229 унитарного преобразования ф (г, г) = ф (г, 1) ехр ~ — — „11. (54,10) При нерелятивистском движении полная энергия частицы мало отличается от ее энергии покоя, т. е, Е = Е' + Мсз, где Е' « « Мсз, поэтому 1)й ф ! Е'ф « Мезф.
Следовательно, можно написать 1мм~ ~Ма'С д$ ! дф гМс' ~Мс' — — — ф)е " А — — фе " (5411) д1 ~ д1 д ) Ь Ф ьи ю С помощью (54,10), (54,12) из (54,5) получаем нерелятнвнстское уравнение Шредингера для функции ф дф В' 1й — = — — 7 ф. дг 2М Подставляя далее (54,!О) в (54,8) и (54,9), мы убедимся, что для нерелятивистского движения (при учете (54,11)) эти выражения переходят в известные (см. $15) выражения нерелятивистской квантовой теории для плотности вероятности р = ф'ф и плотности тока вероятности Ь 1= 2М; (Ф УФ Фчф ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
