Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть оператор Но имеет два близких собственных значения Е! и Ем которым соответствуют собственные функции !р1 н !ро, о о а все остальные собственные значения расположены далеко от них. При вычислении поправки к волновой функции !р! методом (47,10), мы убедимся, что из-за малого знаменателя Ео! — Еоо вклад функции !р2 будет велик. Поэтому целесообразно уже в нулевом приближении искать решение в виде 2Р = а!р! + Ь!р,.
5 491 ТЕОРИЯ ВОЗМУПШНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ДВУХ ВЛИЗКИХ УРОВНЕЙ Яэ На рис. 10 на основе формулы (49,3) показаны энергии Ег и Ен как функции разности б = Нн — Нтй для некоторого фиксированного значения Н,й. Значения Нн и Нш указаны штриховыми линиями. Поправки второго порядка к значениям энергии изображаются иа рис. 10 разностью между сплошной и ближайшей штриховой линией. Интересно отметить, что поправки второго порядка к значениям Нгг и Нйт всегда увеличивают расстояние между уровнями. В связи с этим иногда говорят об !Ы Рис.
!О. УРовни еиеРгни Е, н Е, н ааинснмостн от Рааностн енеРгий й Нн-Нн неиоемУ- щенной системы. Значении Ни н Ии укаеаиы штрихонымн линками, «отталкивании уровнейр, понимая под этим явлением увес личение расстояния между двумя близкими уровнями, когда в операторе Гамильтона учитываются члены, которые отбрасывались в более упрощенной задаче.
Из уравнения (49,2) следует отношение коэффициентов а и Ь, определяющих волновую функцию (49,1), а Нге ь и — нн' Подставляя в зто выражение значения Ег и Ен из уравнения (49,3) и вводя 19:р= нн Н„ (49,5) получим соответственно Ь) с1К 2' (ь) 1К2 ° Таким образом, нормированные волновые функции состояний, !гл. у4! теОРия ВОзмущЕНИИ яео соответствующих энергиям Е! и Е2, будут иметь вид ф! = ф, соз — + !р2 з(п —, Р Р 1 21>2 = — ф! З4ц-х:+ ф2 соз -к.
Р 5 (49,6) Если выполняется неравенство (49,4), то из (49,5) следует () ж 0 и ф! ж ф4, 4р2 — ф2. Наоборот, если выполняется неравенство (49,4а), то 5 = п42, поэтому ф! и ф2 выступают в (49,6) с равными долями. Если теперь для отыскания поправок к энергии Е!' (или Е2) и волновой функции ф! (или ф2) использовать найденные в нулевом приближении уровни энергии Е! Е Езз Е и волновые функции ф! Фм фзбн ф4 9 50.
Теория возмущений при наличии вырождения Результаты предыдущего параграфа остаются справедливыми и при совпадении энергии двух уровней, т. е. при наличии двукратного вырождения. Легко обобщить эти результаты и на случай многократного вырождения. Допустим, что уровень Е! имеет вырождение 1-9 кратности.
Тогда в качестве функции нулевого приближения можно взять линейную комбинацию ф= Ха,фьм А-! (50,1) где ф42 определяются уравнением (Н,— Е~) р,„=о. Подставляя функцию (50,1) в уравнение Шредингера с оператором Н = Н, + У, получим систему 1 линейных однородных то в знаменателях сумм, определяющих энергию во втором приближении (47,11) и волновую функцию в первом приближении (47,10), не будет встречаться малая разность Е! — Е2, так как числитель соответствующего слагаемого (ф!~Н!ф2) равен нулю в силу того, что обе функции ф! и ф2 являются решениями (49,1) уравнения с полным оператором Н.
Следовательно, определение поправок более высокого порядка можно далее вести обычным'методом теории возмущений. ч вз твоеия возмзчцании пни наличии вывождвння 22! уравнений ~(Н,зз — Е25 3)аз=О, т=1, 2, ..., 7. (50,2) Ф-! Эта система уравнений имеет отличные ог нуля решения при условии равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных ам т. е. Н!! Е! Н!2 Н!3 Н2! Н22 Е! Н23 ° ° ° Нз! Нзз Нзз — Е! ° = О. (50,3) Раскрывая определитель (50,3), получим уравнение степени относительно неизвестного значения Е!. Это уравнение называют вековым, нли секулярным уравнением. Оно имеет 1 действительных корней. Если все корни уравнения (50,3) различны, то 1-кратно вырожденный уровень Е! невозмущенной задачи рас- падаетсЯ на 1 Различных УРовней Е!3, каждомУ из котоРых 6Удет соответствовать функция 2Р!3 —— ~а 3!Р, (50,4) коэффициенты а ь которой определяются из системы уравнений (50,2) при подстановке вместо Е! значения Е~д.
В этом случае говорят, что возмущение г* полностью снимает вырождение. Если один или несколько корней уравнения (50,3) .являются кратными, то снятие вырождения является неполным. Волновые функции, соответствующие кратным корням уравнения (50,3), определяются уравнениями неоднозначно. Однако их всегда можно выбрать взаимно ортогональными. Волновые функции, относящиеся к разным корням уравнения (50,3), взаимно ортогональны. Таким образом, все недиагональные матричные элементы полного оператора Н, вычисленные с помощью функций (50,4), будут равны нулю, что позволяет использовать эти функции наряду с функциями, соответствующими другим уровням, для отыскания поправок к уровням Ем в следующих приближениях. Эти поправки могут быть найдены с помощью формулы (47,11) .
В главе т'111, Я 69 и 70, мы применим теорию возмущений для определения изменения энергетических уровней атома при действии иа него постоянного внешнего электрического и магнитного поля. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ !Гл. \ч! й 51. Применение вариационного метода к приближенным расчетам В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных значений оператора Гамильтона не использует теории возмущений и ие требует знания всех решений более простых уравнений. Вариационный метод вычисления энергии Ез основного состояния системы сводится к использованию неравенства ЕОч 1 $'Йфд$, (51,1) где ф — произвольная функция, удовлетворяющая условию нормировки (51,2) Н вЂ” полный оператор Гамильтона системы.
Доказательство неравенства (51,1) легко провести путем перехода к энергетическому представлению. Если мы обозначим полный набор собственных функций оператора Н через ~р„, то любую функцию ф можно разложить по системе функций ф„, т. е. (51,3) Используя (51,3) находим ~ Ф'Нф а$ = ~~)~~! а„1 Е„~) Ед ~~ ~ а„Г = Ео. (51,4) если Практическое вычисление энергии основного состояния с помощью выражения (51,4) сводится к выбору «пробной функции», Полученное неравенство совпадает с (51,1).
Таким образом, вычисление энергии основного состояния квантовой системы сводится к вычислению минимума интеграла ~ ф Нфав при варьировании нормированной волновой функции ф Следовательно, $6п НРименение ЕАРиАционного методА Е = у (ав, ЙО, ° . ) будет близко к истинному значению Ез даже при сравнительно малом числе использованных параметров. Волновая функция основного состояния системы будет приближенно совпадать с функцией фо($, аз рз, ".).
Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариапиоыыого метода, или метода Рити~а. Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии получаются уже.при использовании одного параметра. Если обозначить через фг волновую функцию основного состояния системы, то вычисление энергии первого возбужденного состояния Е6 сводится к решению вариационной задачи Е, = ппп ~ ф",Йф, д4 (51,5) при дополнительных условиях ~ ф',ф,дую=1, ~ ф',фо6$=0. (51,6) Доказательство этого утверждения можно провести таким же Образом, как и для случая основного состояния, если мы учтем, что, в силу условия ортогональности (51,6), разложение функции ф1 по собственным функциям оператора Н .не содержит функции <ро, т.
е. ф,= ХЬ.л., Х1Ь.~=1. Вычисление второго возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи Ез=ш(п ( ф60фгг(а (51,7) содержащей некоторое число неизвестных параметров а, р, ... После вычисления интеграла ~ ф' (е; а, р, ...) нф ($; а, р...,) 6(е получают выражение Ца, (3, ...), зависящее от этих параметров. Определение искомых значений параметров, вследствие (51,4), сводится к отысканию минимума Х(а, р, ...), т. е. к ре° шению системы уравнений дХ дт да др Прн удачном выборе вида пробной функции, получаемое зна- чение тногия возмицвнип !гл.
чп при дополнительных условиях ~'ФзфзЩ=1, (ф,"ф,05= ) ф,'ф,05=0. (51,8) $2 Лч Пай Н = — — — + — хз. 2Н дх~ + 2 (61,9) При выборе пробной функции учтем, что при х-ь ~со волно- вая функция должна обращаться в нуль. Далее волновая функ- ция основного состояния не должна иметь узлов. Поэтому по- ложим ф(х. а) = Аехр( — —,'-'). (51,10) Из условия нормировки функции находим А = (а/п)дч С помощью (51,10) и (51,9) вычисляем интеграл 1(а) = ~ фНфс1х= — ( — + 1 г Ра ва'~ 41а ' а Минимум У(а) соответствует значению ао — — ры/л, поэтому энер.
гия основного состояния Ьа Ез= У(ач) = —. 2 а соответствующая волновая функция имеет вид фью )-ф(х. о) — (-;)Г) ехр(- — ). В данном случае значения энергии и волновой функции, полученные вариационным методом, совпадают с точными выражениями, найденными в $ 26. Вычисление третьею возбужденного уровня сводится к решению вариационной задачи при четырех дополнительных условиях. Следовательно, при вычислении высоких возбужденных состояний вариационная задача значительно усложняется.
В некоторых случаях требуемые условия ортогональности выполняются при подходящем выборе пробных функций просто в силу свойств симметрии. Например, при исследовании состояний дви жения частицы в центрально-симметричном поле ортогональность состояний, соответствующих разным угловым моментам, обеспечивается ортогональностью соответствующих сферических функций. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих примене-' ние вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона.
Вычислим вариационным методом энергию основного состояния одномерного гармонического осциллятора, т. е. системы, имеющей оператор Гамильтона ПРИМЕНЕНИЕ ЕАРИАЦИОННОГО МЕТОДА % зя Для вычисления энергии и волновой функции первого возбужденного состояния надо взять пробную функцию фь ортогональную к фь Простейшей функцией, удовлетворяющей этому условию, будет ф~(Х, р)=ОХЕХР( 2 РХ) ° (51, 10а) Из условия нормировки находим Ве== 2РЗЬ )я Далее вычислим интеграл У, Е) = ~ ф,нф, Ь. = — '~ — "'-+ — ""'1. (51,11) Из условия минимума У~((1) определяем значение вариационного параметра ()е — — ры/Л.
Подставляя это значение в (51,11), находим энергию первого возбужденного состояния осциллятора 3 Еь = У, (ре) =-йы. 2 Волновая функция этого состояния, согласно (51,10а), имеет вид ф(х)=(=) ~ — ") хехр( — ). В качестве следующего примера вычислим энергию и волновую функцию основного состояния атома водорода. Оператор Гамильтона в этом случае имеет вид Л~ , ее уу = — — 7з — —. (51,12) 2Р ф = А ехр ( — рг). (51,13) Из условия нормировки имеем АА = ре/п. Используя (51,12) и (51,13), находим У(р) = — ) е ае'Реа "'г'дг — 4рзее е е ге/г. (51,14) 23 а У Р а В центрально-симмегричном поле имеет определенное значение угловой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Следовательно, волновая функция может зависеть только от г и не зависит от углов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
