Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 35
Текст из файла (страница 35)
вращения твердого тела. й 44". Обобщенные сферические функции как собственные функции оператора момента Рассмотренные в предыдущем параграфе обобщенные сферические функции О~о(пру) описывают конечные вращения системы координат 5т1~ на углы Эйлера относительно лабораторной системы координат хуя. Закрепим с системой иоординатных осей ~тД некоторое твердое тело.
Тогда положение твердою тела относительно системы координатных осей хуя будет характеризоваться тремя углами Эйлера а, 3 и у. Поскольку обобщенные сферические функции Цоо описывают конечные вращения коор- ОБОБЗЦЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ динатных осей $г)Ь относительно лабораторной системы хуг, то повороты твердого тела тоже описываются функциями 0 »(айу). ! Пусть У".— оператор момента количества движения твердого тела, действующий на углы Эйлера. Проекции оператора Е на координатные оси хрз удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям (у», у-,) =уду... (44, 1) Результат действия оператора ь на 0-функции можно вычислить, зная собственные значения оператора У вЂ” момента количества движения одной частицы в состояниях, определяемых функциями )ут).
Для этого введем вспомогательную частицу, не связанную с твердым телом. Оператор момента у действует только на угловые' координаты частицы О'!р', определяемые относительно системы осей $г)ь, закрепленных с телом. Пусть функции (О'!р')ут) являются собственными функциями Р и Хс То же движение частицы описывается относительно системй координатных осей хуе с помощью функций (О!р)ут). Связь между этими функциями, согласно (43,9), определяется 0-функцией, т.
е. <Орцт>=Х0' (ару)<О'р'цу>. (44,2) Повернем систему координатных осей, связанных с телом, вокруг единичного вектора л на бесконечно малый угол б. При таком повороте, согласно (18,11), волновые функции 0 преобразуются по закону -ми (0~„ь(аЯ)>'= е "О! х = (1 — УХл — ) 0!У„х. (44,3) Волновые функции (О!р)ут), определенные относительно неподвижных осей хуз, при этом не меняются, т. е. (Огр ) ут)' = (О<р) ут).
(44,4) Функции (О'<р')ут) определены относительно системы осей $ЦД, поэтому при повороте их изменение определяется с помощью оператора (43,3), т. е. а (О'<р')уй)'=е " (О'ср')уй) ° (1+ Уп — )(О'<р')Уй). (44,5) После поворота соотношение (44,2) преобразуется к виду <Ор Ц >'=Х(0',( Ру))'(О'р'!Р>'. 200 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛВ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [Гл.
Ч1 Подставляя в это равенство (44,3) — (44,5), после простых преобразований получаем равенство ~~~~~ [ Хй> (яй) 0~~А = ~х'.~ 0~ А (ЛУ) [ (й>. (44,6) Если вектор и направлен вдоль оси ь, то (44,6) принимает вид Х[Хй>У 0"='.р,0.'АХс[Уй>. (44,7) [уй> является собственной функцией оператора Учитывая, что Хь т. е. Хс[ Уй>=йй цй>, имеем '.Р,[ уй>(Е,0' - йй0',> =6. Это равенство должно выполняться для любых функций )уя>, следовательно, КЕО~,А йИ)~ м (44,8) Вместо У,х, Х„,,Хх, Х„удобнее рассмотреть их линейные комбинации Х, = Х+ = — (Хе — ХХ„), Х, = — Х+ — — = (Хе + УХ„), (44,9) 2 2 Е,= — (У.Š— ХХ,Е), У,, = — — (ХЕ+ ХХ ).
(44,10) г'2 1/2 Тогда из (44,6) получаем 2Ый>У.0' =~0' Х !Хй>. (44,11) Используя (44.9) и (40,22), можно преобразовать правую часть этого равенства '~[уй>К,0' =-К~ОЦ(У ""+'+" ~ь!У, й+1>. Заменяя в правой части индекс суммирования Й на Й'= 1+1, получим после простых преобразований ЙР' = — Й[хьл~- ~ ~)х Рь (44!2) Таким же образом можно получить У.,0,',А й ((1 1('+ + )1 0УЧ+~ (4413) 2 ОВОВЩЕННЪ|Е СФЕРИЧЕСКИЕ ФРИКЦИИ Операторы 1. !, 6,=7.о ~, называют с!рерическими проекцияли оператора ь на координатные оси $т)ь.
Пользуясь (44,10), находим (44,14) 2 2 'г' 2 Ч )! 2 Используя (44,12), (44,13) и (44,14), легко определить правила действия операторов 7.ь н 7.ч на обобщенные сферические функции 1! м ! Действуя на (44,!2) н (44,13) операторами Х ! и Е!, соответственна получаем 1.Г 1)! = — " ')1!+Я+!) 8Ь! 2 Ий» !. !Г!!!Ф!ь = — 1!+ ~)(1 ~+ !) йети!„. (44,16) 2 Вычитая из (44,!5) равенство (44,16), находим ! з ! ((.о ~,) В:=8й)У:. Учитывая (44,8), из последнего равенства находим перестано- вочное соотношение (1-!, 7-!1 =8А (44, 17) Подставляя в (44,17) значения (44,10), находим перестановочные соотношения (Хы 1.ч] — — 1Щ, ..., отличающиеся знаком от перестановочных соотношений (44,1) между проекциями 7.
на координатные осн хуж Складывая (44,15) и (44,16), получаем (Е!Е,+1. !(.!)О'ь= — [!(1+ 1) — й'10'м (44,18) Из (44,10) следует 1,!Е, +Е !7,!= — Щ+Еф. Поэтому, используя (44,8) и (44,18), имеем Ь'П! ь =Я+ Г4 + Х5 и' = й'! О+ 1) П' „. (44,10) Для вывода правил действия проекций 7., !'.„, 7., оператора Х на обобщенные сферические функции предположим, что вспомогательная частица, которую 'мы вводили для получения равенства (44,6), жестко закреплена с телом; тогда оператор 7 будет действовать только на функции (6!р!1!и). В этом случае "Ри вРащении системы осей $т)д вокруг единичного вектора и 2О2 ДВИЖВНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛВ ЦВНТРАЛЪНЫХ СИЛ ~ГЛ. ЪЧ на бесконечно малый угол 6 функции Р по-прежнему преобразуются по правилу (44,3).
Однако (6'ф'!1 )'=(6 р ~Хт), (44,20) (Оф! Хт)' "- [1 — шХ вЂ” „) (Оф )т). (44,21) Знак минус в (44,21) связан с тем, что вращение тела на угол 6 эквивалентно повороту системы координатных осей хуа на угол — 6. Подставляя (44,3), (44,20) и (44,21) в равенство (Оф!)т)'= ~(Р'»(аДу)) (6'ф'~Хй)', получаем (ЛХ) (Оф) Хт) = Х (О'ф' ~ Хй) (ЛХ) Р~„» (44 22) Если п совпадает с осью г и Х,~ Хт) =От! (т), то из (44,22) следует Х! Хй) Х.,Р' » = йт!! т). Подставляя в правую часть полученного равенства значение (44,2), мы убедимся, что оио выполняется при условии Х.,Рт» = ЬтРт».
Образуем далее операторы Х-! = у.— (Ху — й'р) Х) = — =(Хк+ ХХР), (44.24) Х. 1==(Х,„— ХХу), Хч = — =(Х.„+ХКу), (44,25) 2 у р2 Учитывая (40,7) и (40,22), имеем Х»,~Хт)=~ й. [«т)«+ )~ '~Х, т -+- 1), (44,26) Подставляя (44,26) в (44,22), находим, учитывая (44,2), Х!!й)Х.'.,Р1, 6[«П',— +И!'*!1, т 1)= =У~Хй)[ХУ„Р~, й[«=-)« -+ )1'»Р.„,1 Следовательно. ХыР»= + О [« ~ )(' .-'- — — )1 Р~ н,», (44,27) 2 ововщенные сферические а нкции Формулы (44,8), (44,19) и (44,23) указывают, что обобщенные сферические функции Р~в являются собственными функциями операторов в".в, К, и Е~ и соответствуют собственным значениям квадрата момента Ьв(((+Ц, проекции момента йщ на ось г лабораторной системы координат и проекции момента дл на ось ~ вращающейся системы координат.
В координатном представлении проекции оператора в, на оси хуа выражаются через углы Эйлера при помощи формул / . ' д д сова д1 Е, = — 1а ! — з!па — — с1ярсоз а — + —.— ). х ! дй да Мп !1 ду)' ! д д в!па д1 Е = — 18!сова — — с18~з!па — + —.— ~, (44,28) в — ! дй да Мпй ду!' д 1., = — И вЂ”. да При этом оператор квадрата момента 1 д l. д1 1 Гдв дв дв1) Хв = — йв ~ — — р!п р — ~ + —.
~ — — 2 соз )1 1 в1пй дй '1 дй! Кпвй'сдав даду дув~1' + в1! ° (44,29) Проекция оператора момента в. на ось ь имеет вид д Ес = — 1й —. ду ' Уравнениями (44,8), (44,19) и (44,23) собственные функции операторов в'в, Е, и Ес определяются с точностью до постоянного множителя ! 1т(в) = ву' в (а!)у) = И1Р в (а5у). (44,30) Множитель 1У1 вычисляется из условия нормировки волновой функции (44,30) (1огп'Й'! 1та) — = ) вр,'„иЬ,чг з!п )1 с(р с(а с(у = 61гб бвв., (44,31) Подставляя (44,30) в (44,3Ц и используя (43,23), находим Используя (44,8), (44,12) и (44,13), легко вычислить матричные элементы (при т'= пв) от сферических проекций оператора момента Е: ()й ! Ео! 1Ц = (1й ! Гс ! 1Ц = Фй, (44,32) + ~ ~ 2 1 (44,33) йй движвнив частицы в поля цвнтгальных сил 1гл. щ С помощью матричных элементов (44,33) и соотношений (44,14) находим матричные элементы декартовых проекций моментов О, А+ Ц 1-4! 1Ч = (1А! й 1.
А+ 1) = Ф ) г(1 — А) (У+ А+ 1), (44,34) + ~ ч~1) (1 ) ч)1' + ) 2 (44,35) Пользуясь значениями матричных элементов (44,32), (44,34) и (44,35), легко определить матричные элементы квадратов операторов: ()й~Е,'))й) = й'й', (М ЯЫ~ (й) = Ы~ Г',((й')= —" ,И (1+ 1) — й'), (1, й + 2 ( К~а ~ 1й) = — (), й'+ 2 ~ 7.,', ~ )й) = = 4 Ф 0 — Ч0 — Й вЂ” 1)(1+1+1)((+й+2). (44,38) (44,36) (44,37) й 45. Вращение твердого тела. Симметричный волчок Понятие твердого тела, т. е.
системы, внутреннее состояние которой (форма, равновесные положения частиц и т. д.) не меняется, является идеализацией, отражающей свойства некоторых систем вести себя как твердое тело при малых внешних возмущениях. Эта возможность есть проявление квантовых свойств систем: если энергия внешнего воздействия меньше энергии возбуждения первого внутреннего состояния системы, то система будет находиться в основном состоянии. К таким системам относятся, например, молекулы и атомные ядра. В связи с этим возникает задача изучения движения идеализированных систем — твердых тел.
Движение гвердого тела можно подразделить на поступательное движение тела как единого целого и вращение тела вокруг центра масс. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим вращение твердого тела вокруг закрепленной точки„ совпадающей с центром масс.
Закрепим систему координатных осей 9~~ с твердым телом, тогда ориентация тела будет определяться тремя углами Эйлера а()у, характеризующими положение системы $т~~ относительно лабораторной системы хуа. Если координатные оси направлены вдоль главных осей инерции твердого тела, то классическая энергия вращения твердого тела выражается формулой т 4Я ВРАЩение тВеРдого телА. симметРичный ВОлчОК 2оч где 1~,, 1!ь 1т — главные моменты инерции твердого тела; Ем Е„, Е! — проекции момента! количества движения на оси фт1~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
